Neunerrest

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Der Neunerrest einer ganzen Zahl ist der Rest , den sie bei Division durch 9 lässt, also eine der neun natürlichen Zahlen 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 oder 8.

Dabei ist die Modulo-Funktion, die den Rest einer ganzzahligen Division ermittelt, hier also den Rest von .

Dass diesem Divisionsrest ein eigener Name zugesprochen wurde, rührt von seiner Bedeutung für die sogenannte Neunerprobe her.

Berechnung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Um den Neunerrest einer natürlichen Zahl zu ermitteln, berechnet man zuerst die dezimale Quersumme dieser Zahl, anschließend die Quersumme dieser Quersumme, also , und so weiter, bis die iterierte Quersumme einstellig wird. Falls sich dabei 9 ergibt, wird 9 durch 0 ersetzt, denn der Neunerrest von 9 ist wegen („9 dividiert durch 9 ist gleich 1, Rest 0“) nicht gleich 9, sondern gleich 0.

Dieser Berechnungsweg des Neunerrests lässt sich auch auf negative Zahlen ausdehnen, indem man für die Quersumme die Beziehung

heranzieht. Man kann eventuell auftretende negative Neunerreste in positive Reste überführen, indem man (gegebenenfalls auch mehrmals) 9 addiert. Somit kann eine Verallgemeinerung der Neunerrest-Berechnung auf die Menge der ganzen Zahlen erreicht werden.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • n = 5387: q(5387) = 5 + 3 + 8 + 7 = 23; q(23) = 2 + 3 = 5. Der Neunerrest von 5387 ist 5.
  • n = 5643: q(5643) = 5 + 6 + 4 + 3 = 18; q(18) = 1 + 8 = 9. Der Neunerrest von 5643 ist 0.
  • n = –418: q(–418) = –q(418) = –(4 + 1 + 8) = –13; q(–13) = –q(13) = –(1 + 3) = –4; negatives Ergebnis, also 9 hinzuaddieren: –4 + 9 = 5. Der Neunerrest von –418 ist 5.
  • n = +418: q(418) = 4 + 1 + 8 = 13; q(13) = 1 + 3 = 4. Der Neunerrest von +418 ist hingegen 4.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Satz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es gilt, dass stets eine (ohne Rest) durch 9 teilbare Zahl entsteht, wenn man von einer natürlichen Zahl deren Quersumme subtrahiert:

Beispiel 1[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Herleitung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mit der dezimalen Zifferndarstellung

einer -stelligen natürlichen Zahl ergibt sich:

Dabei ist

, mit ,

die -te Repunit (im Dezimalsystem), ihre Ziffern sind alle gleich 1.

Beispiel 2[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bei ist , , und . 5 ist also tausendmal, 4 hundertmal, 3 zehnmal und 2 einmal enthalten. Zieht man die Quersumme ab, bleiben , , und übrig, was offensichtlich sowohl einzeln als auch in Summe ohne Rest durch 9 teilbar ist:

Andere Stellenwertsysteme[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das oben beschriebene Verfahren zur Ermittlung des Neunerrests ist nur im Dezimalsystem gültig. Für andere Stellenwertsysteme gibt es aber eine analoge Regel: An die Stelle von 9 tritt dort die größte Ziffer des Systems, also die um 1 verminderte Basis des Stellenwertsystems. Im Hexadezimalsystem wird daher mit F16 (= dezimal 15) gerechnet, im Oktalsystem mit 78. Man spricht dann vom hexadezimalen „F-Rest“ oder 15er-Rest bzw. vom oktalen 7er-Rest.

Beispiele im Hexadezimalsystem[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • n = AD37E9: q(AD37E9) = A + D + 3 + 7 + E + 9 = 38; q(38) = 3 + 8 = B. Der hexadezimale „F-Rest“ (auch 15er-Rest genannt) von AD37E9 ist gleich B.
  • n = 210F84: q(210F84) = 2 + 1 + 0 + F + 8 + 4 = 1E; q(1E) = 1 + E = F; aus F wird 0. Der hexadezimale „F-Rest“ von AD37E9 ist gleich 0.

Beispiele im Oktalsystem[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • n = 17365: q(17365) = 1 + 7 + 3 + 6 + 5 = 26; q(26) = 2 + 6 = 10; q(10) = 1 + 0 = 1. Der oktale 7er-Rest von 17365 ist gleich 1.
  • n = 52016734: q(52016734) = 5 + 2 + 0 + 1 + 6 + 7 + 3 + 4 = 34; q(34) = 3 + 4 = 7; aus 7 wird 0. Der oktale 7er-Rest von 52016734 ist gleich 0.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]