Neuner- und Elferprobe

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

Neuner- und Elferprobe sind Verfahren, um Rechenfehler in Addition, Subtraktion oder Multiplikation zu erkennen. Der Vorteil dieser Proben liegt darin, dass sich die Richtigkeit des Ergebnisses einer langwierigen Rechnung anhand leichterer alternativer Rechenwege auf Glaubwürdigkeit prüfen bzw. gegebenenfalls die Fehlerhaftigkeit einer Rechnung nachweisen lässt.

Umgangssprachlich wird der Begriff Neunerprobe auch allgemein für eine überschlägige Prüfung von Ergebnissen verwendet.

Vorgehensweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Neunerrest[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Um den Neunerrest einer natürlichen Zahl zu ermitteln, berechnet man zuerst die Quersumme dieser Zahl, anschließend die Quersumme der Quersumme und so fort , bis letztendlich nur mehr eine einstellige Zahl übrigbleibt. Falls sich dabei 9 ergibt, wird 9 durch 0 ersetzt.

Beispiel 1: Der Neunerrest von 5919 ist 6 und berechnet sich wie folgt:

5 + 9 + 1 + 9 = 24, und 2 + 4 = 6

Beispiel 2: Der Neunerrest von 81 ist 0 und berechnet sich wie folgt:

8 + 1 = 9, und aus 9 wird 0

Elferrest[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Elferrest berechnet sich ähnlich, nur dass hier die alternierende Quersumme berechnet wird. Bei dieser werden die Ziffern der Zahl , beginnend bei der letzten Ziffer, abwechselnd addiert und subtrahiert.

Beispiel: Der Elferrest von 5919 ist 1 und berechnet sich wie folgt:

9 − 1 + 9 − 5 = 12, und 2 − 1 = 1

Neunerprobe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Neunerprobe für eine Ausgangsberechnung, z. B. 12 + 47 = 69, besteht darin, die entsprechende Berechnung mit den jeweiligen Neunerresten der an der Berechnung beteiligten Zahlen (Operanden und Ergebnis) durchzuführen, was hier also zur Gleichung 3 + 2 = 6 führt (Neunerrest von 12 ist 3, Neunerrest von 47 ist 2, Neunerrest von 69 ist 6).

  • Geht diese Probe nicht auf, wie in diesem Beispiel (3 + 2 = 5 ≠ 6), wo die korrekte Lösung ja 59 und nicht 69 lautet, so hat man (100-prozentig sicher!) einen Fehler in der Ausgangsberechnung aufgedeckt.
  • Geht die Probe jedoch auf, so ist die Ausgangsberechnung wahrscheinlich richtig – sicher ist dies natürlich nicht, denn beispielsweise schon ein einfacher Zahlendreher verfälscht zwar das Ergebnis der Ausgangsberechnung, nicht jedoch das Ergebnis der Neunerprobe, weil bei der Quersumme (und somit beim Neunerrest) die Reihenfolge der Ziffern keine Rolle spielt.

Bei einer erfolgreichen Neunerprobe weicht ein falsches Ergebnis in der Ausgangsberechnung immer genau um ein ganzzahliges Vielfaches von 9 vom korrekten Ergebnis ab. Deswegen kann man sagen, dass die Neunerprobe 8 von 9 Fehlern aufdeckt, was einer Fehlererkennungswahrscheinlichkeit von 88,8 % entspricht.

Damit die die Aussagekraft der Neunerprobe wie geschildert gegeben ist, ist es Voraussetzung, dass die Neunerprobe selbst komplett fehlerfrei durchgeführt wird.

Elferprobe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Elferprobe erfolgt analog zur Neunerprobe. Es wird also die entsprechende Berechnung mit den Elferresten durchgeführt und überprüft, ob diese Probe aufgeht. Die Elferprobe selbst muss fehlerfrei erfolgen, damit sie ihre Aussagekraft nicht verliert.

Die Elferprobe allein durchgeführt, deckt 10 von 11 Fehlern auf, was einer Fehlererkennungswahrscheinlichkeit von 90,90 % entspricht.

Kombination von Neuner- und Elferprobe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine höhere Sicherheit wird erzielt, indem sowohl die Neuner- als auch die Elferprobe angewandt werden. Führt man beide Proben erfolgreich durch, ist das Ergebnis in 98 von 99 Fällen richtig, was also eine Fehlererkennungswahrscheinlichkeit von 98,98 % bedeutet.

Allgemeines[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Verfahren Neuner- und Elferprobe lassen sich gleichermaßen auf Additionen, Subtraktionen und Multiplikationen anwenden, nicht jedoch auf Divisionen und Potenzen.

Man kann eventuell auftretende negative Neunerreste (bzw. Elferreste) in positive Reste überführen, indem man gegebenenfalls auch mehrmals 9 (bzw. 11) addiert. Beispielsweise ist der Elferrest von 492 gleich 2 – 9 + 4 = –3; durch Addition von 1 × 11 erhält man 8.

Rechenbeispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Addition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Rechnung Neunerprobe Elferprobe
 
573
+492
+145
1210
 
Rest Probe
5+7+3=15; 1+5=6 6
4+9+2=15; 1+5=6 +6
1+4+5=10; 1+0=1 +1
1+2+1+0=4 131+3=4
4 = 4
Rest Probe
3–7+5=1 1
2–9+4=–3; –3+11=8 +8
5–4+1=2 +2
0–1+2–1=0 111–1=0
0 = 0

Sowohl die Neuner- als auch die Elferprobe gehen hier auf. Dies bedeutet, dass die Beispiel-Addition mit einer Wahrscheinlichkeit von insgesamt richtig ist. Jedenfalls kann hier weder anhand der Neuner- noch der Elferprobe bewiesen werden, dass das Additionsergebnis falsch wäre.

Subtraktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Rechnung Neunerprobe Elferprobe
 
573
−492
18
 
Rest Probe
5+7+3=15; 1+5=6 6
4+9+2=15; 1+5=6 −6
1+8=99–9=0 0
0 = 0
Rest Probe
3–7+5=1 1
2–9+4=–3; –3+11=8 –8
8–1=7 –7–7+11=4
7 ≠ 4

Bei diesem Beispiel liegt ein Zahlendreher vor. Die richtige Antwort wäre 81, fälschlicherweise wird im Beispiel 18 berechnet. Die Neunerprobe ist hier nicht in der Lage, diesen Zahlendreher zu erkennen, da er die Quersumme nicht verändert: . Die Elferprobe kann bei diesem Beispiel hingegen den Zahlendreher erkennen und beweist, dass das Ergebnis 18 sicher falsch ist.

Multiplikation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Rechnung Neunerprobe Elferprobe
 
573
×492
281916
 
Rest Probe
5+7+3=15; 1+5=6 6
4+9+2=15; 1+5=6 ×6
2+8+1+9+1+6=27; 2+7=9 363+6=9
9 = 9
Rest Probe
3–7+5=1 1
2–9+4=–3; –3+11=8 ×8
6–1+9–1+8–2=19; 9–1=8 8
8 = 8

Sowohl die Neuner- als auch die Elferprobe gehen hier auf. Dies bedeutet, dass die Beispiel-Multiplikation mit einer Wahrscheinlichkeit von insgesamt richtig ist. Jedenfalls kann hier weder anhand der Neuner- noch der Elferprobe bewiesen werden, dass das Multiplikationsergebnis falsch wäre.

Kombination von Addition, Subtraktion und Multiplikation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das folgende Beispiel soll die Anwendung von Neuner- und Elferprobe anhand einer Ausgangsberechnung veranschaulichen, bei der eine Kombination von Addition, Subtraktion und Multiplikation vorkommt.

Ausgangsberechnung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

–25198 + 519948 × (18192 – 717) = 9086066102

Neunerreste[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Neunerrest von 25198 ist 7, da 2 + 5 + 1 + 9 + 8 = 25; 2 + 5 = 7
  • Neunerrest von 519948 ist 0, da 5 + 1 + 9 + 9 + 4 + 8 = 36; 3 + 6 = 9; aus 9 wird 0
  • Neunerrest von 18192 ist 3, da 1 + 8 + 1 + 9 + 2 = 21; 2 + 1 = 3
  • Neunerrest von 717 ist 6, da 7 + 1 + 7 = 15; 1 + 5 = 6
  • Neunerrest von 9086066102 ist 2, da 9 + 0 + 8 + 6 + 0 + 6 + 6 + 1 + 0 + 2 = 38; 3 + 8 = 11; 1 + 1 = 2

Neunerprobe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Anhand der Ausgangsberechnung erhält man die folgende Gleichung, wobei die ursprünglichen Zahlen durch ihre jeweiligen Neunerreste ersetzt werden:

–7 + 0 × (3 – 6) = 2

Nun löst man diese Gleichung:

–7 + 0 × (–3) = 2
–7 + 0 = 2
–7 = 2
–7 + 9 = 2 … negative Neunerreste werden durch (gegebenenfalls wiederholtes) Addieren von 9 in positive Neunerreste übergeführt
2 = 2

Man stellt fest, dass die Gleichung zu einer wahren Aussage führt, die Neunerprobe also aufgeht. Somit ist die Ausgangsberechnung mit einer Wahrscheinlichkeit von korrekt. Jedenfalls kann hier anhand der Neunerprobe nicht bewiesen werden, dass die Ausgangsberechnung falsch wäre.

Elferreste[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Elferrest von 25198 ist 8, da 8 – 9 + 1 – 5 + 2 = –3; –3 + 11 = 8
  • Elferrest von 519948 ist 0, da 8 – 4 + 9 – 9 + 1 – 5 = 0
  • Elferrest von 18192 ist 9, da 2 – 9 + 1 – 8 + 1 = –13; –13 + 11 = –2; –2 + 11 = 9
  • Elferrest von 717 ist 2, da 7 – 1 + 7 = 13; 3 – 1 = 2
  • Elferrest von 9086066102 ist 3, da 2 – 0 + 1 – 6 + 6 – 0 + 6 – 8 + 0 – 9 = –8; –8 + 11 = 3

Elferprobe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Anhand der Ausgangsberechnung erhält man die folgende Gleichung, wobei die ursprünglichen Zahlen durch ihre jeweiligen Elferreste ersetzt werden:

–8 + 0 × (9 – 2) = 3

Nun löst man diese Gleichung:

–8 + 0 × 7 = 3
–8 + 0 = 3
–8 = 3
–8 + 11 = 3 … negative Elferreste werden durch (gegebenenfalls wiederholtes) Addieren von 11 in positive Elferreste übergeführt
3 = 3

Man stellt fest, dass die Gleichung zu einer wahren Aussage führt, die Elferprobe also aufgeht. Somit ist die Ausgangsberechnung mit einer Wahrscheinlichkeit von korrekt. Jedenfalls kann hier anhand der Elferprobe nicht bewiesen werden, dass die Ausgangsberechnung falsch wäre.

Neuner- und Elferprobe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Nachdem bei diesem Beispiel sowohl die Neuner- als auch die Elferprobe aufgehen, ist die Ausgangsberechnung hieraus mit einer Wahrscheinlichkeit von richtig. Jedenfalls kann hier weder anhand der Neuner- noch der Elferprobe bewiesen werden, dass die Ausgangsberechnung falsch wäre.

Herkunft[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Verfahren ist – wohl durch arabische Vermittlung – bereits seit dem 12. Jahrhundert in Europa bekannt.

Im al-Khwarizmis „Algorismus“ (9. Jh.) wird die Neunerprobe, aber ohne Verwendung der Quersummen, zum ersten Mal für die Verdopplung und Multiplikation besprochen. Die Faktoren bzw. das Produkt werden durch 9 dividiert und der Rest wird aufgeschrieben. Die so ermittelten Reste entsprechen den Neunerresten der Faktoren bzw. des Produkts.

Einschränkung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mit der Neunerprobe kann man nicht, wie vielfach angenommen, die Richtigkeit, sondern nur die Fehlerhaftigkeit einer Rechnung nachweisen. Während das Misslingen der Neunerprobe klar ausschließt, dass man korrekt gerechnet hat, lässt ihr Gelingen die Korrektheit des Ergebnisses lediglich wahrscheinlicher werden: das Ergebnis könnte beispielsweise durch Vertauschen der Ziffern trotz erfolgreicher Neunerprobe falsch sein. Zur weiteren Prüfung kann die Elferprobe angeschlossen werden, deren zusätzliches Gelingen die Wahrscheinlichkeit der Korrektheit auf 98:99 = 98,98 % erhöht.

Mathematischer Hintergrund und andere Basen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Allgemeines[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die besondere Bedeutung der Neuner- und Elferprobe im Dezimalsystem ergibt sich daraus, dass sich der Neunerrest einfach als Quersumme und der Elferrest als alternierende Quersumme berechnen lassen.

In einem Stellenwertsystem zur Basis lassen sich wegen

  • und

die Proben mit den Zahlen

  • und

besonders einfach durchführen.

Fehlererkennungswahrscheinlichkeiten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Die er-Probe allein durchgeführt, deckt von Fehlern auf, was einer Fehlererkennungswahrscheinlichkeit von entspricht.
  • Die er-Probe allein durchgeführt, deckt von Fehlern auf, was einer Fehlererkennungswahrscheinlichkeit von entspricht.
  • Führt man beide Proben erfolgreich durch, ist das Ergebnis in von Fällen richtig, was also eine Fehlererkennungswahrscheinlichkeit von bedeutet. (kleinstes gemeinsames Vielfaches)

Beispiel für Hexadezimalsystem[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Beispielsweise ergibt im Hexadezimalsystem (Basis = 16) die Quersumme den 15er-Rest (auch „F-Rest“ genannt) und die alternierende Quersumme den 17er-Rest. Die 15er- und die 17er-Probe sehen dann für die Beispiel-Rechnung A1F + C02 folgendermaßen aus:

Rechnung 15er-Probe 17er-Probe
 
A1F
+C02
1621
 
Rest Probe
A+1+F=1A; 1+A=B B
C+0+2=E +E
1+6+2+1=A 2510=19161+9=A
A = A
Rest Probe
F–1+A=18; 8–1=7 7
2–0+C=E +E
1–2+6–1=4 2110=15165–1=4
4 = 4

Sowohl die 15er- als auch die 17er-Probe gehen hier auf. Dies bedeutet, dass die Beispiel-Addition mit einer Wahrscheinlichkeit von insgesamt richtig ist. Jedenfalls kann hier weder anhand der 15er- noch der 17er-Probe bewiesen werden, dass das Additionsergebnis falsch wäre.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Quellen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Mohammed ibn Musa Alchwarizmi's Algorismus: Das frühste Lehrbuch zum Rechnen mit indischen Ziffern : Nach der einzigen (lateinischen) Handschrift (Cambridge Un. Lib. Ms. Ii.6.5.) in Faksimile mit Transkription und Kommentar - Hrsg. von Kurt Vogel - Otto Zeller: Aalen, 1963.