Nichtkonforme finite Elemente

Nichtkonforme finite Elemente sind eine Variante der Methode der finiten Elemente, bei der die Finiten-Elemente-Räume die notwendigen Bedingungen (z. B. Stetigkeitsbedingungen) für die Konformität der Methode nicht erfüllen. Wichtig sind sie etwa für Probleme vierter Ordnung, bei denen eine konforme Diskretisierung stetig differenzierbare Ansatzfunktionen verlangen würde.

Das Crouzeix-Raviart-Element

Das Crouzeix-Raviart-Element ist das einfachste nichtkonforme $P_{1}$-Element zur Diskretisierung von elliptischen Randwertaufgaben zweiter Ordnung. Als Freiheitsgrade wählt man für den Finite-Elemente-Raum $V_{h}$ auf einer Dreieckszerlegung die Funktionswerte in den Seitenmitten der Dreiecke. Damit gibt es in $V_{h}$ unstetige Elemente, es gilt $V_{h}\not \subset H^{1}$. Will man nun die Randwertaufgabe

$-\triangle u=f\quad {\rm {in}}\,\,\Omega ,\quad u=0\quad {\rm {auf}}\,\,\partial \Omega .$

mit dem Crouzeix-Raviart-Element diskretisieren, so ist von der Bilinearform

$a(u,v):=\int _{\Omega }\nabla u\nabla v$

der Ausdruck $a(u_{h},v_{h})$ für $u_{h},v_{h}\in V_{h}$ gar nicht definiert. Eine naheliegende Idee ist nun, stattdessen stückweise zu integrieren und eine neue Bilinearform zu definieren durch

$a_{h}(u,v):=\sum _{K}\int _{K}\nabla u\nabla v$.

Dann kann man die Finite-Elemente-Approximation $u_{h}\in V_{h}$ einführen durch

$a_{h}(u_{h},v_{h})=(f,v_{h})\quad \forall \,\,v_{h}\in V_{h}.$

Definiert man eine Norm $||w||_{h}$ noch durch

$||w||_{h}^{2}:=a_{h}(w_{h},w_{h})$,

so folgt aus der $V_{h}$-Elliptizität der neuen Bilinearform die Existenz der Approximation $u_{h}\in V_{h}$ und man kann hoffen, dass man den Fehler ähnlich wie bei einer konformen FEM abschätzen kann (s. Fehlerabschätzung für die Finite-Elemente-Methode). Und tatsächlich kann man unter ähnlichen Voraussetzungen wie für stetige lineare Elemente zeigen

$||u-u_{h}||_{h}\leq C\,h.$

Die Herleitung dieser Abschätzung verlangt aber eine Analyse des sogenannten Konsistenzfehlers, dies ist nicht so einfach. Ältere Versuche, mit dem sogenannten Patch-Test die Konvergenz nichtkonformer FEM zu erklären, waren nicht erfolgreich.

Der Konsistenzfehler

Die Fehlerabschätzung für die Finite-Elemente-Methode basiert auf der Elliptizität der Bilinearform $a(\cdot ,\cdot )$ und der Galerkin-Orthogonalität

$a(u-u_{h},v_{h})=0\quad \forall \,\,v_{h}\in V_{h}.$

Deshalb gilt nämlich

$a(u_{h}-v_{h},u_{h}-v_{h})=a(u-v_{h},u_{h}-v_{h})+a(u_{h}-u,u_{h}-v_{h})=a(u-v_{h},u_{h}-v_{h}),$

und die Möglichkeit der beliebigen Wahl von $v_{h}$ führt den Diskretisierungsfehler zurück auf den Approximationsfehler bzw. Interpolationsfehler. Wird aber eine modizierte Bilinearform $a_{h}(\cdot ,\cdot )$ zur Definition des diskreten Problems genutzt, so gilt nur

$a_{h}(u_{h}-v_{h},u_{h}-v_{h})=a_{h}(u-v_{h},u_{h}-v_{h})+a_{h}(u_{h}-u,u_{h}-v_{h})=a_{h}(u-v_{h},u_{h}-v_{h})+[(f,u_{h}-v_{h})-a_{h}(u,u_{h}-v_{h})].$

Zusätzlich zum Interpolationsfehler entsteht aus dem Term in eckigen Klammern der Konsistenzfehler gemäß

$E_{cons}=\sup _{w_{h}\in V_{h}}{\frac {|(f,w_{h})-a_{h}(u,w_{h})|}{||w_{h}||_{h}}}.$

Abschätzungen des Konsistenzfehlers sind technisch schwierig, für einige nichtkonforme Methoden in der angegebenen Literatur zu finden.

Die biharmonische Gleichung der Ordnung vier

Betrachtet wird als Modell einer dünnen, am Rand eingespannten Platte die Randwertaufgabe

$\triangle \triangle u=f\quad {\rm {in}}\,\,\Omega ,\quad u={\frac {\partial u}{\partial n}}=0\quad {\rm {auf}}\,\,\partial \Omega .$

Die zugeordnete schwache Formulierung lebt im Raum $H_{0}^{2}(\Omega )$ und ist

$a(u,v)=\int _{\Omega }\triangle u\triangle v=\int _{\Omega }f\,v\,\,.$

Eine konforme Finite-Elemente-Diskretisierung verlangt dann stetig differenzierbare Elemente, diese sind kompliziert und werden deshalb wenig verwendet.

Für eine nichtkonforme Diskretisierung ist es naheliegend, analog zum entsprechenden Vorgehen beim Crouzeix-Raviart-Element statt der Bilinearform $a(\cdot ,\cdot )$ die neue Bilinearform

$a_{h}(u_{h},v_{h})=\sum \int _{K}\triangle u_{h}\triangle v_{h}$

einsetzen zu wollen. Das funktioniert aber nicht so gut, weil man mitunter mit dieser Bilinearform Schwierigkeiten mit der $V_{h}$-Elliptizität bekommt. Deswegen wird folgender Trick angewandt: Mit einem Parameter $0<\sigma <1$ wird eine neue Bilinearform definiert durch

$a_{h}^{\sigma }(u_{h},v_{h})=\sigma a_{h}(u_{h},v_{h})+(1-\sigma )\sum _{K}\int _{K}({\frac {\partial ^{2}u_{h}}{\partial x^{2}}}{\frac {\partial ^{2}v_{h}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{h}}{\partial y^{2}}}{\frac {\partial ^{2}v_{h}}{\partial y^{2}}}+2{\frac {\partial ^{2}u_{h}}{\partial x\partial y}}{\frac {\partial ^{2}v_{h}}{\partial x\partial y}}).$

Mit der neuen Bilinearform hat man $V_{h}$-Elliptizität z. B. für das sogenannte Morley-Element. Es bleibt dann, für ein konkretes Element den Konsistenzfehler zu untersuchen.

Das Morley-Element lebt auf einer Dreieckszerlegung. Auf einem Dreieck sind die Ansatzfunktionen quadratisch und die 6 Vorgabewerte sind die Funktionswerte in den Ecken und die Werte der Normalableitungen in den Seitenmitten. Ein Morley-Element ist global nicht stetig, trotzdem für eine nichtkonforme Diskretisierung der biharmonischen Gleichung geeignet. Nach der (schwierigen) Analyse des Konsistenzfehlers erhält man für den Fehler in einer stückweisen $H^{2}$-Seminorm die Fehlerordnung Eins.

Weitere Plattenmodelle

Komplizierte Plattenmodelle werden ausführlich im Buch von Braess behandelt. Dabei werden für die Diskretisierung einer Kirchhoff-Platte oder einer Mindlin-Reissner-Platte sowohl gemischte (s. Gemischte finite Elemente) als auch nichtkonforme Methoden eingesetzt.

Literatur

• D. Braess: Finite Elemente: Theorie, schnelle Löser und Anwendungen in der Elastizitätstheorie. 5. Auflage. Springer, 2013, ISBN 978-3-642-34796-2.
• Herbert Goering, Hans-Görg Roos, Lutz Tobiska: Die Finite-Elemente-Methode. 4. Auflage. Wiley, 2010, ISBN 978-3-527-40964-8.
• C. Grossmann, Hans-Görg Roos: Numerische Behandlung partieller Differentialgleichungen. Teubner 2005, ISBN 3-519-22089-X.
• S. Ganesan, L. Tobiska: Finite elements. Cambridge 2017, ISBN 978-1-108-41570-5.
• A. Ern, J.-L. Guermond: Theory and practice of finite elements. Springer, Berlin 2004, ISBN 0-387-20574-8