Nilpotentes Element

Ein nilpotentes Element ist ein Begriff aus der Ringtheorie, einem Teilgebiet der Mathematik: Ein Element x eines Rings R wird als nilpotent bezeichnet, wenn eine positive natürliche Zahl n existiert, so dass $x^{n}=0$. Ein Ideal I von R wird als nilpotent bezeichnet, wenn eine positive natürliche Zahl n existiert, so dass $I^{n}=0$.

Beispiele

• Diese Definition lässt sich insbesondere auf quadratische Matrizen anwenden. Beispielsweise ist die Matrix

$A={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}$

nilpotent, weil $A^{3}=0$.

Für spezielle Eigenschaften nilpotenter Matrizen siehe den Artikel nilpotente Matrix.

• Im Restklassenring $\mathbb {Z} /8\mathbb {Z}$ sind die Restklassen von 0, 2, 4 und 6 nilpotent, da jeweils ihre dritte Potenz kongruent zu 0 modulo 8 ist. In diesem Ring ist jedes Element entweder nilpotent oder Einheit.

• Im Restklassenring $\mathbb {Z} /12\mathbb {Z}$ sind die nilpotenten Elemente genau die Restklassen von 0 und 6.

• Das Nullelement eines Ringes ist stets nilpotent, da $0^{1}=0$ ist.

Eigenschaften

Die Menge aller nilpotenten Elemente eines kommutativen Ringes bildet ein Ideal, das so genannte Nilradikal.

Der Durchschnitt aller Primideale in einem kommutativen Ring mit 1 ist genau das Nilradikal.

Sei im folgenden R ein Ring, a ein nilpotentes Element von R und n die kleinste natürliche Zahl mit $a^{n}=0$.

• Ist $a\neq 0$, dann ist $n>1$ und a ist Nullteiler, denn $aa^{n-1}=0$ und $a^{n-1}\neq 0$.

Ist zusätzlich R ein Ring mit 1, dann gilt:

• a ist nicht invertierbar (bzgl. der Multiplikation), denn aus $ab=1$ für ein Ringelement b folgt der Widerspruch $0=a^{n}b=a^{n-1}$ (n war minimal gewählt!).
• 1-a ist invertierbar, denn es gilt $(1-a)\left(1+a+a^{2}+...+a^{n-1}\right)=1-a^{n}=1=\left(1+a+a^{2}+...+a^{n-1}\right)(1-a)$.
• Ist b eine Einheit von R, dann ist auch $b+a$ invertierbar, was man durch Betrachtung der Darstellung als $b+a=b\cdot \left(1-\left(-b^{-1}a\right)\right)$ sieht.

Sei R ein Restklassenring $\mathbb {Z} /m\mathbb {Z}$ und p das Produkt aller Primteiler von m, d. h. aller Primzahlen die in der Primfaktorzerlegung (PFZ) von m auftreten. Z. B. für $m=12=2^{2}\cdot 3$ ist $p=6=2\cdot 3$. Dann sind die nilpotenten Elemente von R genau die Restklassen von ganzen Zahlen, die Vielfache von p sind. Die Beweisidee ist folgende: Ist k der größte Exponent, der in der PFZ vom m auftritt, dann ist $p^{k}$ ein Vielfaches von m; jede Zahl, für die eine Potenz ein Vielfaches vom m ist, muss bereits selbst jeden Primteiler von m besitzen.