Normaler Operator

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In der Funktionalanalysis verallgemeinert der normale Operator den Begriff der normalen Matrix aus der linearen Algebra.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist ein Hilbertraum und bezeichnet die Menge aller stetigen Endomorphismen von , so heißt ein Operator normal, falls er mit seinem adjungierten Operator kommutiert, also wenn

gilt.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei ein normaler Operator. Dann gilt:

  • für alle
  • für alle
  • Die Operatornorm von ist gleich dem Spektralradius: Dabei bezeichnet das Spektrum von .
  • Die von erzeugte C*-Algebra und die von erzeugte Von-Neumann-Algebra sind kommutativ. Dieser Sachverhalt ermöglicht einen Funktionalkalkül.
  • Die Diagonalisierbarkeit normaler Matrizen in der linearen Algebra verallgemeinert sich auf normale Operatoren in Form des Spektralsatzes.
  • Eine Klassifikation normaler Operatoren besteht bzgl. unitärer Äquivalenz modulo kompakter Operatoren, indem man zur Calkin-Algebra übergeht, die im endlich-dimensionalen Fall ist. Das ist im Artikel zur Calkin-Algebra ausgeführt.
  • Ein beschränkter Operator in einem komplexen Hilbertraum lässt sich zerlegen in mit dem „Realteil“ und dem „Imaginärteil“ Dabei sind die Operatoren selbstadjungiert. ist genau dann normal, wenn .

Verwandte Begriffe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Operator heißt

  • quasinormal, falls mit vertauscht, das heißt .
  • subnormal, falls es einen Hilbertraum gibt, so dass Unterraum von ist, und einen normalen Operator , so dass und
  • hyponormal, falls für alle .
  • paranormal, falls für alle .
  • normaloid, falls Operatornorm = Spektralradius, d.h.: .

Es gelten folgende Implikationen:

normal quasinormal subnormal hyponormal paranormal normaloid.

Unbeschränkte Operatoren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein unbeschränkter Operator mit Definitionsbereich heißt normal falls

gilt. Oben genannte äquivalente Charakterisierung der Normalität zeigt, dass es sich um eine Verallgemeinerung der Normalität beschränkter Operatoren handelt. Alle selbstadjungierten Operatoren sind normal, denn für diese gilt .

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]