Normaler Operator

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In der Funktionalanalysis verallgemeinert der normale Operator den Begriff der normalen Matrix aus der linearen Algebra.

Definition[Bearbeiten]

Ist X ein Hilbertraum und bezeichnet \mathcal{L}(X) die Menge aller stetigen Endomorphismen von X, so heißt ein Operator A \in \mathcal{L}(X) normal, falls er mit seinem adjungierten Operator A^{\ast} kommutiert, also wenn

 A A^{\ast} = A^{\ast} A

gilt.

Beispiele[Bearbeiten]

Eigenschaften[Bearbeiten]

Sei A\in\mathcal{L}(X) ein normaler Operator. Dann gilt:

Verwandte Begriffe[Bearbeiten]

Ein Operator A\in\mathcal{L}(X) heißt

  • quasinormal, falls A\,\! mit A^{\ast}A vertauscht, das heißt AA^{\ast}A=A^{\ast}AA.
  • subnormal, falls es einen Hilbertraum Y gibt, so dass X Unterraum von Y ist, und einen normalen Operator B\in\mathcal{L}(Y), so dass B(X)\subset X und A=B|_X\,\!
  • hyponormal, falls \|A^{\ast}x\| \le  \|Ax\| für alle x\in X.
  • paranormal, falls  \|Ax\|^2 \le \|A^2x\| \|x\| für alle x\in X.
  • normaloid, falls Operatornorm = Spektralradius, d.h.:  \|A\| = \sup\{|\lambda|; \lambda \in \sigma(A)\} .

Es gelten folgende Implikationen:

normal \Rightarrow quasinormal \Rightarrow subnormal \Rightarrow hyponormal \Rightarrow paranormal \Rightarrow normaloid.

Unbeschränkte Operatoren[Bearbeiten]

Ein unbeschränkter Operator A: D(A) \subseteq X \to X mit Definitionsbereich D(A) heißt normal falls

 \| A x\| = \|A^\ast x\|, \qquad \forall x\in D(A)=D(A^\ast)

gilt. Oben genannte äquivalente Charakterisierung der Normalität zeigt, dass es sich um eine Verallgemeinerung der Normalität beschränkter Operatoren handelt. Alle selbstadjungierten Operatoren sind normal, denn für diese gilt A^\ast = A.

Literatur[Bearbeiten]