Der numerische Wertebereich ist ein Begriff aus der Funktionalanalysis und der linearen Algebra .
Für einen komplexen Hilbertraum
H
{\displaystyle H}
Skalarprodukt
⟨
⋅
,
⋅
⟩
{\displaystyle \langle {\cdot },{\cdot }\rangle }
linearen Operator
T
:
H
→
H
{\displaystyle T\colon H\to H}
T
{\displaystyle T}
W
(
T
)
:=
{
⟨
T
x
,
x
⟩
:
‖
x
‖
=
1
}
,
{\displaystyle W(T):=\left\{\langle Tx,x\rangle :\lVert x\rVert =1\right\},}
wobei
‖
⋅
‖
{\displaystyle \lVert {\cdot }\rVert }
⟨
⋅
,
⋅
⟩
{\displaystyle \langle {\cdot },{\cdot }\rangle }
H
{\displaystyle H}
induzierte Norm ist.
Analog zum Spektralradius definiert man den numerischen Radius durch
w
(
T
)
:=
sup
{
|
λ
|
:
λ
∈
W
(
T
)
}
{\displaystyle w(T):=\sup\{|\lambda |:\lambda \in W(T)\}}
Im Spezialfall komplexwertiger, quadratischer Matrizen
A
∈
C
n
×
n
{\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{n\times n}}
W
(
A
)
=
{
x
∗
A
x
x
∗
x
:
x
∈
C
n
∖
{
0
}
}
.
{\displaystyle W(A)=\left\{{\frac {x^{*}Ax}{x^{*}x}}:x\in \mathbb {C} ^{n}\setminus \{0\}\right\}.}
W
(
A
)
{\displaystyle W(A)}
Bildbereich des Rayleigh-Quotienten .
Die folgenden Eigenschaften gelten für beschränkte lineare Operatoren
T
:
H
→
H
{\displaystyle T\colon H\to H}
W
(
T
)
⊆
{
λ
∈
C
:
|
λ
|
≤
‖
T
‖
}
{\displaystyle W(T)\subseteq \{\lambda \in \mathbb {C} :|\lambda |\leq \lVert T\rVert \}}
w
(
T
)
≤
‖
T
‖
{\displaystyle w(T)\leq \lVert T\rVert }
‖
T
‖
{\displaystyle \lVert T\rVert }
Operatornorm von
T
{\displaystyle T}
Der numerische Wertebereich von
T
{\displaystyle T}
konvex . (Satz von Toeplitz-Hausdorff)
Das Spektrum
σ
(
T
)
{\displaystyle \sigma (T)}
Abschluss von
W
(
T
)
{\displaystyle W(T)}
σ
(
T
)
⊆
W
(
T
)
¯
{\displaystyle \sigma (T)\subseteq {\overline {W(T)}}}
H
{\displaystyle H}
σ
(
T
)
⊆
W
(
T
)
{\displaystyle \sigma (T)\subseteq W(T)}
Jedes
λ
∈
W
(
T
)
{\displaystyle \lambda \in W(T)}
|
λ
|
=
‖
T
‖
{\displaystyle |\lambda |=\lVert T\rVert }
Eigenwert von
T
{\displaystyle T}
Der rechte reelle Achsenabschnitt des numerischen Wertebereichs ist die logarithmische Norm , bei einer Matrix
A
{\displaystyle A}
μ
(
A
)
=
max
{
x
∗
A
x
:
x
∗
x
=
1
}
.
{\displaystyle \mu (A)=\max \left\{x^{*}Ax:\ x^{*}x=1\right\}.}
Mit ihr kann eine Schranke für die Spektralnorm des Matrixexponentials angegeben werden, es gilt
‖
e
t
A
‖
2
≤
e
t
μ
(
A
)
,
t
≥
0.
{\displaystyle \|e^{tA}\|_{2}\leq e^{t\mu (A)},\ t\geq 0.}
Denn
y
(
t
)
=
e
t
A
y
0
{\displaystyle y(t)=e^{tA}y_{0}}
y
′
(
t
)
=
A
y
(
t
)
,
y
(
0
)
=
y
0
{\displaystyle y'(t)=Ay(t),\,y(0)=y_{0}}
N
(
t
)
=
‖
y
(
t
)
‖
2
{\displaystyle N(t)=\|y(t)\|^{2}}
N
′
(
t
)
=
2
y
(
t
)
∗
y
′
(
t
)
=
2
y
(
t
)
∗
A
y
(
t
)
≤
2
μ
(
A
)
y
(
t
)
∗
y
(
t
)
=
μ
(
A
)
N
(
t
)
{\displaystyle N'(t)=2y(t)^{*}y'(t)=2y(t)^{*}Ay(t)\leq 2\mu (A)y(t)^{*}y(t)=\mu (A)N(t)}
N
(
t
)
≤
e
2
t
μ
(
A
)
N
(
0
)
{\displaystyle N(t)\leq e^{2t\mu (A)}N(0)}
E. Hairer, G. Wanner, Solving ordinary differential equations II , Springer, 1991. 
