Ortsoperator

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Der Ortsoperator gehört in der Quantenmechanik zur Ortsmessung von Teilchen.

Der physikalische Zustand eines Teilchens ist in der Quantenmechanik mathematisch gegeben durch den zugehörigen Vektor eines Hilbertraumes H. Dieser Zustand wird folglich in der Bra-Ket-Notation durch den Vektor beschrieben. Die Observablen werden durch selbstadjungierte Operatoren auf H dargestellt.

Speziell ist der Ortsoperator die Zusammenfassung der drei Observablen , so dass

der Mittelwert (Erwartungswert) der Messergebnisse der j-ten Ortskoordinate des Teilchens im Zustand ist.

Definition und Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Daraus folgt, dass die drei Ortskoordinaten gemeinsam messbar sind und dass ihr Spektrum (Bereich der möglichen Messwerte) aus dem gesamten Raum besteht. Die möglichen Orte sind also nicht quantisiert, sondern kontinuierlich.

Ortsdarstellung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Ortsdarstellung ist durch die Spektraldarstellung des Ortsoperators definiert. Der Hilbertraum ist der Raum der quadratintegrierbaren komplexen Funktionen des Ortsraums , jeder Zustand ist durch eine Ortswellenfunktion gegeben.

Die Ortsoperatoren sind die Multiplikationsoperatoren mit den Koordinatenfunktionen, d. h. der Ortsoperator wirkt auf Ortswellenfunktionen durch die Multiplikation der Wellenfunktion mit der Koordinatenfunktion

Dieser Operator ist als Multiplikationsoperator ein dicht definierter Operator und abgeschlossen. Er ist auf dem Unterraum definiert, der in H dicht liegt.

Der Erwartungswert ist

Der Impulsoperator wirkt auf Ortswellenfunktionen (bei geeigneter Wahl der Phasen) als Differentialoperator:

Impulsdarstellung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In der Impulsdarstellung wirkt der Impulsoperator multiplikativ auf Impulswellenfunktionen

und der Ortsoperator als Differentialoperator:

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]