Ortsoperator

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Der Ortsoperator gehört in der Quantenmechanik zur Ortsmessung von Teilchen.

Der physikalische Zustand \Psi eines Teilchens ist in der Quantenmechanik mathematisch gegeben durch den zugehörigen Vektor eines Hilbertraumes H. Dieser Zustand wird folglich in der Bra-Ket-Notation durch den Vektor |\Psi \rangle beschrieben. Die Observablen werden durch selbstadjungierte Operatoren auf H dargestellt.

Speziell ist der Ortsoperator die Zusammenfassung der drei Observablen \hat{\mathbf{x}} = (\hat{x}_1,\hat{x}_2,\hat{x}_3), so dass

E(\hat{x}_j) = {\langle \hat{x}_j\,\Psi,\Psi \rangle}_\mathrm{H} \ ,\quad j = 1,2,3

der Mittelwert (Erwartungswert) der Messergebnisse der j-ten Ortskoordinate des Teilchens im Zustand \Psi ist.

Definition und Eigenschaften[Bearbeiten]

 [\hat{x}_j,\hat{p}_k]=\mathrm i\,\hbar\,\delta_{jk}\ ,\quad
[\hat{x}_j,\hat{x}_k]= 0 = [\hat{p}_j,\hat{p}_k]\ ,\quad j,k\in \{1,2,3\}
  • Daraus folgt, dass die drei Ortskoordinaten gemeinsam messbar sind und dass ihr Spektrum (Bereich der möglichen Messwerte) aus dem gesamten Raum \mathbb{R}^3 besteht. Die möglichen Orte sind also nicht quantisiert, sondern kontinuierlich.

Ortsdarstellung[Bearbeiten]

Die Ortsdarstellung ist durch die Spektraldarstellung des Ortsoperators definiert. Der Hilbertraum H = L^2(\R^3;\C) ist der Raum der quadratintegrierbaren komplexen Funktionen des Ortsraums \R^3, jeder Zustand \Psi ist durch eine Ortswellenfunktion \psi(\mathbf{x}) gegeben.

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Die Ortsoperatoren \hat{\mathbf{x}} = (\hat{x}_1,\hat{x}_2,\hat{x}_3) sind die Multiplikationsoperatoren mit den Koordinatenfunktionen, d. h. der Ortsoperator \hat{x}_j wirkt auf Ortswellenfunktionen \psi(\mathbf{x}) durch die Multiplikation der Wellenfunktion mit der Koordinatenfunktion x_j
(\hat{x}_j \, \psi)(\mathbf{x})= x_j \cdot \psi(\mathbf{x})
Der Erwartungswert ist
E(\hat{x}_j) = {\langle \hat{x}_j\,\Psi,\Psi \rangle}_{L^2} =
\int_{\R^3} x_j\,\psi(\mathbf{x})\,\overline{\psi(\mathbf{x})} \, \mathrm{d} x = \int_{\R^3} x_j \, |\psi(\mathbf{x})|^2 \mathrm{d} x
Der Impulsoperator wirkt auf Ortswellenfunktionen (bei geeigneter Wahl der Phasen) als Differentialoperator:
\bigl(\hat{p}_k\psi \bigr)(\mathbf x)= -\mathrm i \, \hbar \, \frac{\partial}{\partial x_k} \psi (\mathbf x)

Impulsdarstellung[Bearbeiten]

In der Impulsdarstellung wirkt der Impulsoperator multiplikativ auf Impulswellenfunktionen \tilde{\psi}(\mathbf{p})

(\hat{p}_k \, \tilde{\psi})(\mathbf{p}) = p_k \cdot \tilde{\psi}(\mathbf{p})
und der Ortsoperator als Differentialoperator:
(\hat{x}_j \, \tilde{\psi})(\mathbf{p}) = \mathrm i \, \hbar \, \frac{\partial}{\partial p_j} \tilde{\psi}(\mathbf{p})