PT2-Glied

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PT2-Glied im Strukturbild

Als PT2-Glied bezeichnet man ein LZI-Übertragungsglied in der Regelungstechnik, welches ein proportionales Übertragungsverhalten mit einer Verzögerung 2. Ordnung aufweist. Bedingt durch seine konjugiert komplexen Pole antwortet das PT2-Glied (auch -Glied bezeichnet) gegenüber einer Eingangssignal-Änderung mit einem oszillatorisch gedämpften Ausgangssignal.

Der Dämpfungsgrad bestimmt mit dem Zeitverhalten die Schwingeigenschaften des Systems. Bei einem Dämpfungsgrad lässt sich das PT2-Glied in zwei PT1-Glieder zerlegen. Bei einem Dämpfungsgrad entsteht Instabilität mit steigenden Schwingamplituden.

Schwingfähige lineare Übertragungsglieder entstehen durch Energieaustausch seiner verkoppelten Einzelelemente. Besteht ein Regelkreis mit einer Regelstrecke aus zwei -Gliedern und einer P-Verstärkung von ca. entsteht bereits nach einer Eingangserregung ein gedämpft schwingendes Ausgangsverhalten.

In der Regelungstechnik ist ein schwaches Überschwingverhalten eines Regelkreises in der Größenordnung von ca. 10 % des Sollwertes häufig erwünscht, weil die Regelgröße schneller den Sollwert erreicht.

Differentialgleichung und Übertragungsfunktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gebräuchliche Beispiele eines PT2-Gliedes sind in der Elektrotechnik der R-L-C-Schwingkreis und im Maschinenbau das gedämpfte Federmassependel.

Die allgemeine Form der zugehörigen Differentialgleichung mit der Eingangsvariable und der Ausgangsvariable lautet in den verschiedenen Schreibweisen:

[1].
und sind die Koeffizienten (Gewichte) der Differentialglieder.

Wird die Differentialgleichung eines Übertragungssystems mittels des Laplace-Differentiationssatzes in den s-Bereich (auch Bildbereich) transformiert, entsteht aus einer linearen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten die Übertragungsfunktion als eine rational gebrochene Funktion in Polynom-Darstellung. Sie ist ein wichtiges mathematisches Hilfsmittel zur Lösung von Differentialgleichungen.

Laplace-Transformation der oben genannten Differentialgleichung:

.

Die Übertragungsfunktion ist definiert als das Verhältnis des Ausgangssignals zum Eingangssignal eines Systems als Funktion der komplexen Frequenz :

Die Übertragungsfunktion wird in eine Normalform des -Gliedes gebracht, indem alle Terme durch dividiert werden. Der Term wird gleichgesetzt.

Damit entsteht die Normalform der Übertragungsfunktion des -Schwingungsgliedes mit als Eigenkreisfrequenz:

oder mit :

Hierbei bezeichnet:

die Übertragungskonstante bzw. den Verstärkungsfaktor,
die Kennkreisfrequenz oder Eigenkreisfrequenz und
die dimensionslose Dämpfung (der Dämpfungsgrad). Häufig wird auch für Dämpfung verwendet.
ist die unabhängige Laplace-Variable im komplexen Frequenzbereich (Bildbereich, s-Bereich) mit als Realteil [2] und als Imaginärteil. Sie erlaubt beliebige algebraische Operationen im s-Bereich, ist aber nur ein Symbol für eine vollzogene Laplace-Transformation und enthält keinen Zahlenwert. Exponenten von s entsprechen dem Grad der Ableitung der Differentiale.

Bestimmung der Pole[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Nullstellen des Nennerpolynoms (= Pole) einer Übertragungsfunktion bestimmen ausschließlich das Zeitverhalten eines Übertragungssystems.

Die Pole bewirken folgendes globales Systemverhalten:

  • Pol reell,
Die Sprungantwort eines Übertragungssystems höherer Ordnung mit nur reellen Polen hat ein globales asymptotisches Systemverhalten. Es enthält lauter -Glieder.
  • Pole konjugiert komplex, . Unter Konjugation versteht man in der s-Ebene einen um die reelle Achse gespiegelten Doppelpol. Bei -Gliedern mit Schwinganteilen sind die Pole konjugiert komplex.
Die Sprungantwort eines Übertragungssystems höherer Ordnung mit nur einem konjugiert komplexen Doppelpol hat ein globales gedämpftes Schwingverhalten.
  • Pol entspricht einem fehlenden Abschlussglied der Übertragungsfunktion. Koeffizient
Die Sprungantwort eines Übertragungssystems höherer Ordnung ohne Abschlussglied bildet die Teilübertragungsfunktion und bewirkt ein globales integrales Systemverhalten.

Sind die Realteile von Nullstellen und Polstellen negativ, handelt es sich um ein stabiles System. Negative Realteile der Pole bedeuten asymptotische Stabilität des Teilsystems.

Die Pole (Nullstellen des Nennerpolynoms) lassen sich nun bestimmen, indem das Nennerpolynom der Übertragungsfunktion gleich Null gesetzt wird.

Sind Zahlenwerte einer Übertragungsfunktion in der Polynomdarstellung gegeben, können mit verschiedenen Methoden, wie mit der pq-Formel, die Pole für Systeme zweiter Ordnung bestimmt werden. Im Internet stehen verfügbare Programme bis 4. Ordnung mit dem Aufruf - "Nullstellen (Lösungen) von Polynomen bestimmen" zur Verfügung.

Für Systeme mit Polynomen 2. Ordnung der Form errechnen sich die Nullstellen bzw. die Pole:

.

Bestimmung der Eigenfrequenz des -Gliedes[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Aus der Normalform der Übertragungsfunktion kann die Eigenkreisfrequenz aus dem Koeffizienten gebildet werden. Bei einer gegebenen Übertragungsfunktion sind die Koeffizienten wie auch je Zahlenwerte.

Aus dem Koeffizienten wird die Kreisfrequenz bestimmt.

.

Damit lautet die Eigenfrequenz der Sprungantwort des -Gliedes:

.

Die Periodendauer der Eigenfrequenz beträgt:

.

Bestimmung der Übertragungsfunktion eines -Gliedes aus einer gegebenen graphischen Darstellung der Sprungantwort[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist die Sprungantwort dieses Systems grafisch gegeben, kann die Übertragungsfunktion des -Gliedes (Schwingungsglied) aus dem Amplitudenverhältnis der zwei ersten Halbwellen errechnet werden.

Mit wird die Amplitude in positiver Richtung und mit die Amplitude in negativer Richtung der ersten Schwingung bezeichnet.

Zunächst wird die Dämpfung der Schwingung berechnet:

Der Koeffizient T errechnet sich aus der Periodendauer der 1. Schwingung und aus der Dämpfung D:

Damit ergibt sich die Übertragungsfunktion mit den errechneten Werten von K=1, D und T zu:

Sprungantwort eines PT2-Gliedes mit konjugiert komplexen Polen.

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gegeben Übertragungsfunktion mit Nennerpolynom für

Gesucht: Pole, Dämpfung, Eigenfrequenz , Periodendauer .

Polynom: ,
,

Ergebnis: Das -Glied lässt sich nicht in weitere -Glieder zerlegen.

Ermittlung der Dämpfung :

Durch Faktorenvergleich aus der gegebenen Normalform der Übertragungsfunktion ergibt sich die Beziehung:
. Mit
.

Bestimmung der Eigenfrequenz nach einem Eingangssprung :

Die Eigenfrequenz der Sprungantwort des -Gliedes lautet:

.

Die Periodendauer der gedämpften Schwingung lautet:

Ergebnis: Siehe Periodendauer der Grafik!


Bestimmung der Übertragungsfunktion für reelle Pole :

Gegeben: Übertragungsfunktion
Gesucht: Zerlegung in weitere -Glieder:
Polynom:
.

Das zu Null gesetzte Polynom wurde oben durch den Faktor dividiert und muss berücksichtigt werden.

Übertragungsfunktion in Pol-Darstellung und Zeitkonstanten-Darstellung:

Methoden der Berechnung des Zeitverhaltens von Übertragungsgliedern [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Lösung aus der gewöhnlichen Differentialgleichung bis maximal zweiter Ordnung (sehr umständlich).
  • Lösung aus der Übertragungsfunktion:
    • durch Partialbruchzerlegung in einfache additive Terme, die sich leicht in den Zeitbereich transformieren lassen.
    • durch Anwendung von Laplace-Transformationstabellen, welche die korrespondierenden Gleichungen im Zeitbereich enthalten.
Anmerkung: enthält ein Übertragungssystem Schwingungsanteile, ergeben sich laut Transformationstabellen aufwendige trigonometrische Gleichungen.
  • Benutzung fertiger kommerzieller Programme, wie Matlab und Simulink.
  • Umwandlung von gewöhnlichen Differentialgleichungen eines Übertragungssystems in Differenzengleichungen, die sich tabellarisch leicht lösen lassen.

Die Berechnung des Zeitverhaltens eines -Gliedes aus der Übertragungsfunktion wird üblicherweise für normierte Eingangssignale durchgeführt. Zur Berechnung der Sprungantwort mit dem Eingangssignal wird der Übertragungsfunktion der Term multiplikativ angehängt. Wird letzteres nicht durchgeführt, erhält man an Stelle der Sprungantwort die Impulsantwort.

Berechnung der Sprungantwort eines -Gliedes im Zeitbereich[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die in jedem guten Fachbuch der Regelungstechnik dargestellten wichtigsten Laplace-Transformationstabellen erlauben die Berechnung des Zeitverhaltens eines Übertragungssystems für eine gegebene Übertragungsfunktion .

Die Korrespondenz-Tabellen enthalten für die nachfolgend dargestellten definierten Formen der Eingangssignale U(s) die zugehörigen Gleichungen zur Berechnung des Ausgangssignals im Zeitbereich y(t). Um die Gleichung zur Berechnung das Zeitverhaltens des Übertragungssystem zu bestimmen, muss die gegebene Übertragungsfunktion mit der Art des Eingangssignals multipliziert werden.

Folgende normierte Laplace-transformierte Eingangssignale lauten:

  • Impulsfunktion: .
  • Einheitssprung, Sprungfunktion: .
  • Anstiegsfunktion .
  • Sinusfunktion .

Für die Bestimmung des Zeitverhaltens eines -Gliedes lautet die in der Transformationstabelle zu suchende Form der Gleichung:

.
.

Die Laplace-Rücktransformation in den Zeitbereich mit Hilfe von Laplace-Transformationstabellen erfolgt mit der gesuchten Funktion , multipliziert mit dem gewünschten Eingangssignal .

Für den Einheitssprung auf das -Glied gilt:

oder

Fallunterscheidung der Sprungantwort nach dem Dämpfungsgrad [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Für verschwindet der Term in der Übertragungsfunktion und die Gleichung für die Berechnung des Zeitverhaltens vereinfacht sich.
  • Für vereinfacht sich die Gleichung zur Berechnung des Zeitverhaltens, weil das Übertragungsverhalten durch zwei -Glieder der Übertragungsfunktion bestimmt wird.
Bei sind die Zeitkonstanten der Übertragungsfunktion .
  • Für ergibt sich ein konjugiert komplexer Doppelpol mit positivem Realteil. Der Term wird negativ. Das Übertragungsglied antwortet mit instabilen zunehmend steigenden Amplituden.
Anmerkung: Die instabilen Verzögerungsglieder, fälschlicherweise instabile -Glieder genannt, haben kein proportionales Verhalten.

Zeitverhalten der Sprungantwort eines -Gliedes als Funktion der Dämpfung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Anmerkung: Die Übertragungsfunktion als Suchfunktion in den Laplace-Transformationstabellen ändert sich für die Dämpfungsgrade oder . Damit ändern sich auch die Gleichungen für den Zeitbereich. [3]

Dämpfung Normierte Sprungantwort Kommentar

Kriechfall

Der asymptotische Zeitverlauf der Sprungantwort wird durch zwei -Glieder mit unterschiedlichen Zeitkonstanten bestimmt. Die größere Zeitkonstante dominiert den Verlauf.

aperiodischer Grenzfall

Der asymptotische Zeitverlauf der Sprungantwort wird durch zwei -Glieder mit gleichen Zeitkonstanten bestimmt. Der Verlauf ist angenähert S-förmig.

stabiler Schwingfall

T=0,5; D=0,125
T=0,5; D=0; K=1
T=0,5; D=-0,125

grenzstabiler Schwingfall

instabiler Schwingfall

instabiler Kriechfall

Die Sprungantwort steigt für und in Abhängigkeit eines beliebigen Eingangssignals exponentiell bis zu einer Begrenzung an und geht auch nicht zurück, wenn wieder zurückgenommen wird.

Für und und erreicht einen Wert von .

Für und und erreicht einen Wert von .

Sprungantwort eines PT2-Gliedes (K = 2, T = 1, D = 0.2; 1; 5)


Beispielverläufe der Sprungantwort für unterschiedliche -Werte (D=0; D=0{,}2; D=1; D=5).

Die Übertragungsfunktionen der dargestellten Grafikverläufe lassen sich anhand von Faktorenvergleich mit der Grundform bestimmen. Für alle Verläufe gilt T=1; K=2:

  • Für das -Glied mit lautet die Übertragungsfunktion:
  • Für das -Glied mit lautet die Übertragungsfunktion:
  • Für das -Glied mit lautet die Übertragungsfunktion:
  • Für das -Glied mit lautet die Übertragungsfunktion (Verfahren siehe Berechnungsbeispiel):
mit

Grafische Methoden des Bodediagramms und der Ortskurve zur Bestimmung der Stabilität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Phasenverschiebung von φ < −180° und eine Verstärkung > 1 führt von der Gegenkopplung zur Mitkopplung und damit zur oszillierenden Instabilität, wenn der Regelkreis geschlossen wird.

Aus diesem Verhalten hat der amerikanische Physiker Harry Nyquist Stabilitätskriterien abgeleitet, die sich auf den offen Regelkreis beziehen und für die Schließbedingung des Regelkreises anzuwenden sind.

Die grafischen Stabilitätsverfahren über das Bodediagramm und der Ortskurve des Frequenzgangs dienen dem Verständnis von Teilgebieten der Systemtheorie, sind aber keine Alternativen zur numerischen Berechnung eines Regelkreises, bei dem tabellarisch das innere Teil-Systemverhalten für jede Berechnungsfolge y(k·Δt) dargestellt und grafisch der zeitliche Signalverlauf verschiedener Ausgangsgrößen für eine beliebige Eingangsgröße gezeigt wird.

Bodediagramm[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Beim PT2-Glied ist

der Frequenzgang. Daher gilt für den Amplituden- und Phasengang im Bodediagramm:

Die folgende Abbildung zeigt den Amplituden- und Phasengang. Typisch für ein PT2-Glied ist der Abfall der Amplitude um 40 dB je Dekade. Auch ist die Phasenverschiebung von 180° kennzeichnend. An der Überhöhung im Amplitudengang kann man erkennen, dass für die Dämpfung gelten muss. Keine Überhöhung bedeutet eine Dämpfung .

Bei der Kennkreisfrequenz (= Eckfrequenz ) hat die Phasenverschiebung einen Wert von -90°. Mit zunehmend steigenden Frequenzen beträgt die Phasenverschiebung maximal |-180|°.

Bodediagramm eines PT2-Gliedes (K = 2, T = 1, D = 0.2; 1; 5)

Ortskurve des Frequenzgangs[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Frequenzganggleichung des offenen Kreises wird nach Realteil und Imaginärteil aufgelöst und in ein Koordinatensystem eingetragen. Die senkrechte Achse zeigt die Daten der Imaginärteile, die waagerechten Achse die Realteile.

Die Ortskurve () des PT2-Gliedes verläuft vom Punkt K auf der positiven reellen Achse in Abhängigkeit von der Dämpfung d durch den vierten und dritten Quadranten für aus Richtung der negativen reellen Achse in den Punkt 0.

Ortskurve eines PT2-Gliedes (K = 2, T = 1, D = 0.2; 1; 5)

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. H. Lutz, W. Wendt: Taschenbuch der Regelungstechnik. 7. ergänzte Auflage. Wissenschaftlicher Verlag Harri Deutsch, ISBN 978-3-8171-1807-6.
  2. Autor: Jan Lunze / Regelungstechnik 1; Springer Vieweg, Berlin, 8. Auflage 2014, ISBN 978-3-642-53943-5; Hauptkapitel: Übertragungsfunktion, Unterkapitel: Pole und Nullstellen.
  3. Lutz / Wendt: Taschenbuch der Regelungstechnik, Kapitel: PT2-Element, Proportional-Element mit Verzögerung II. Ordnung.