Partielle Integration

Die partielle Integration, auch Produktintegration genannt, ist in der Integralrechnung eine Möglichkeit zur Bestimmung von Stammfunktionen. Sie kann als die Umkehrung der Produktregel der Differentialrechnung aufgefasst werden.

Für die partielle Integration verwendet man die folgende Regel, die für stetig differenzierbare Funktionen $f$ und $g$ gilt:

$\int _{a}^{b}f'(x)\cdot g(x)\,\mathrm {d} x=[f(x)\cdot g(x)]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}f(x)\cdot g'(x)\,\mathrm {d} x.$

Diese Regel ist insbesondere dann von Vorteil, wenn durch Ableiten von $g$ eine einfachere Funktion entsteht und eine Stammfunktion zu $f'\,$ (d. h. die Funktion $f$) leicht zu finden ist.

Herleitung

Die Produktregel über die Ableitung eines Produktes zweier Funktionen $u(x)$ und $v(x)$ besagt:

$(u\cdot v)'=u'\cdot v+u\cdot v',$ also

$u'\cdot v=(u\cdot v)'-u\cdot v'$

Daraus folgt für die partielle Integration:

${\begin{aligned}\int u'\cdot v&=\int (u\cdot v)'-\int u\cdot v'\\&=\ \ \ \ \,u\cdot v\ \,-\int u\cdot v'\end{aligned}}$

Folglich gilt für bestimmte Integrale:

$\int _{a}^{b}f'(x)\cdot g(x)\,\mathrm {d} x=f(b)\cdot g(b)-f(a)\cdot g(a)-\int _{a}^{b}f(x)\cdot g'(x)\,\mathrm {d} x$

oder dasselbe, wie man es in vielen Mathematikbüchern finden kann:

$\int _{a}^{b}f'(x)\cdot g(x)\,\mathrm {d} x=[f(x)\cdot g(x)]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}f(x)\cdot g'(x)\,\mathrm {d} x.$

Für die konkrete Ausführung ist es oft übersichtlicher, sich zunächst auf das unbestimmte Integral zu beschränken, da die Grenzen die Sicht auf das Wesentliche versperren.

Beispiel

Als Beispiel wird das Integral

$\int x\cdot \ln(x)\,\mathrm {d} x$

betrachtet, wobei $\ln(x)$ der natürliche Logarithmus ist. Setzt man $f'(x)=x$ und $g(x)=\ln(x)$, so erhält man

$f(x)={\frac {1}{2}}x^{2}$ und $g'(x)={\frac {1}{x}}.$

Dies ergibt dann:

$\int x\cdot \ln(x)\,\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}{x^{2}}\cdot \ln(x)-\int {\frac {1}{2}}{x^{2}}\cdot {\frac {1}{x}}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}{x^{2}}\cdot \ln(x)-{\frac {1}{4}}{x^{2}}+C$

Alternative Schreibweise

Es seien $u$ und $v$ beliebige Funktionen, $U$ und $V$ ihre Stammfunktionen und $u'$ und $v'$ die Ableitungen.

Es sei $u$ die Funktion, die man bevorzugt ableiten möchte, $v$ die Funktion, die man bevorzugt integrieren möchte. Dann gilt:

${\begin{aligned}\int _{a}^{b}u(x)\cdot v(x)\,\mathrm {d} x&=u(b)\cdot V(b)-u(a)\cdot V(a)-\int _{a}^{b}u'(x)\cdot V(x)\,\mathrm {d} x\\&=[u(x)\cdot V(x)]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}u'(x)\cdot V(x)\,\mathrm {d} x\end{aligned}}$

Methoden der partiellen Integration

Zur effektiven Nutzung der partiellen Integration gibt es verschiedene Standardtricks.

Beispiel 1

Manchmal kann man es sich zunutze machen, dass nach mehreren Schritten der partiellen Integration das ursprüngliche Integral auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens wiederkehrt, welches man dann durch Äquivalenzumformung mit dem ursprünglichen Integral auf der linken Seite zusammenfassen kann.

$\int \sin(x)\cdot \cos(x)\,\mathrm {d} x$

Setzt man $f(x)=\cos(x)$ und $g'(x)=\sin(x)$, so ergibt sich

$f'(x)=-\sin(x)\,$ und $g(x)=-\cos(x)\,$

und man erhält

$\int \sin(x)\cdot \cos(x)\,\mathrm {d} x=-\cos ^{2}(x)-\int \sin(x)\cdot \cos(x)\,\mathrm {d} x.$

Das Ausgangsintegral steht jetzt auf beiden Seiten der Gleichung und es scheint anfänglich, dass man der Lösung nicht näher gekommen ist. Addiert man jedoch auf beiden Seiten der Gleichung das Ausgangsintegral, ergibt sich Unteres. Diese Vorgehensweise wird auch Phönix aus der Asche genannt.

$2\int \sin(x)\cdot \cos(x)\,\mathrm {d} x=-\cos ^{2}(x)$

Dividiert man beide Seiten durch 2, so erhält man schließlich:

$\int \sin(x)\cdot \cos(x)\,\mathrm {d} x=-{\tfrac {1}{2}}\cos ^{2}(x)$

Vertauscht man $f(x)$ und $g(x)$, so ergibt sich:

$\int \sin(x)\cdot \cos(x)\,\mathrm {d} x={\tfrac {1}{2}}\sin ^{2}(x)$.

Wegen $\sin ^{2}(x)=1-\cos ^{2}(x)$ erkennt man, dass es keine ausgezeichnete Stammfunktion gibt.

Beispiel 2

Bei manchen Integralen bietet es sich an, für $g'(x)$ einen Term zu wählen, der sich bei der Integration nicht oder nur unwesentlich verändert, beispielsweise die Exponentialfunktion oder die trigonometrischen Funktionen. Dann kann der andere Term "abgeräumt" werden.

$\int e^{x}\cdot \left(2-x^{2}\right)\,\mathrm {d} x$

Setzt man jedes Mal $g'(x)=e^{x}$ und für $f(x)$ den übrigen Term unter dem Integral, so ergibt sich

${\begin{aligned}\int e^{x}\cdot \left(2-x^{2}\right)\,\mathrm {d} x&=e^{x}\cdot \left(2-x^{2}\right)-\int e^{x}\cdot (-2x)\,\mathrm {d} x\\&=e^{x}\cdot \left(2-x^{2}\right)+e^{x}\cdot 2x-\int 2\cdot e^{x}\,\mathrm {d} x\\&=e^{x}\cdot \left(2-x^{2}\right)+e^{x}\cdot 2x-2\cdot e^{x}\\&=e^{x}\cdot \left(2-x^{2}+2x-2\right)\\&=e^{x}\cdot \left(2x-x^{2}\right)\end{aligned}}$

Beispiel 3

Steht nur ein Term unter dem Integral, auf dessen Stammfunktion ohne Tabellenwert nicht ohne weiteres zu schließen ist, kann man gelegentlich durch Einfügen des (unsichtbar vorhandenen) Faktors "1" partiell integrieren.

$\int \ln(x)\,\mathrm {d} x=\int 1\cdot \ln(x)\,\mathrm {d} x=\int g'(x)\cdot \ln(x)\,\mathrm {d} x$

Setzt man $f(x)=\ln(x)\,$ und $g'(x)=1\,$, so erhält man

${\begin{aligned}\int 1\cdot \ln(x)\,\mathrm {d} x&=x\cdot \ln(x)-\int x\cdot {1 \over x}\,\mathrm {d} x\\&=x\cdot \ln(x)-\int 1\,\mathrm {d} x\\&=x\cdot \ln(x)-x\end{aligned}}$.

Beispiel 4

Eine weitere Möglichkeit besteht darin, ein bereits bekanntes Integral so partiell zu integrieren, dass das gewünschte Integral entsteht. Beispiel:

Um $\int {\frac {\mathrm {d} x}{(1+x^{2})^{2}}}$ zu bestimmen, integrieren wir das folgende ähnliche Integral partiell:

${\begin{aligned}\arctan x&=\int 1\cdot {\frac {1}{1+x^{2}}}\,\mathrm {d} x\\&=x\cdot {\frac {1}{1+x^{2}}}+\int x\cdot {\frac {2x}{(1+x^{2})^{2}}}\,\mathrm {d} x\\&={\frac {x}{1+x^{2}}}+\int \left({\frac {2x^{2}}{(1+x^{2})^{2}}}+{\frac {2}{(1+x^{2})^{2}}}\right)\,\mathrm {d} x-\int {\frac {2}{(1+x^{2})^{2}}}\,\mathrm {d} x\\&={\frac {x}{1+x^{2}}}+2\int {\frac {1+x^{2}}{(1+x^{2})^{2}}}\,\mathrm {d} x-2\int {\frac {1}{(1+x^{2})^{2}}}\,\mathrm {d} x\\&={\frac {x}{1+x^{2}}}+2\arctan x-2\int {\frac {\mathrm {d} x}{(1+x^{2})^{2}}}.\end{aligned}}$

Durch Umstellen folgt

$\int {\frac {\mathrm {d} x}{(1+x^{2})^{2}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {x}{1+x^{2}}}+\arctan x\right).$

Mehrdimensionale partielle Integration

Die partielle Integration in mehreren Dimensionen ist ein Sonderfall des Gaußschen Integralsatzes: Sei $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ kompakt mit abschnittsweise glattem Rand $\partial \Omega$. Der Rand sei orientiert durch ein äußeres Normalen-Einheitsfeld ${\vec {n}}$. Sei ferner ${\vec {v}}$ ein stetig differenzierbares Vektorfeld auf einer offenen Umgebung von $\Omega$ und $\varphi$ ein stetig differenzierbares Skalarfeld auf $\Omega$. Dann gilt

$\int _{\Omega }\operatorname {div} (\varphi {\vec {v}})\;\mathrm {d} V=\int _{\Omega }(\varphi \,\operatorname {div} \,{\vec {v}}+{\vec {v}}\cdot \operatorname {grad} \,\varphi )\;\mathrm {d} V=\int _{\partial \Omega }\varphi \,{\vec {v}}\cdot \mathrm {d} {\vec {S}}$

mit der Abkürzung $\mathrm {d} {\vec {S}}={\vec {n}}\;\mathrm {d} S$. Dann folgt die Verallgemeinerung der partiellen Integration in mehreren Dimensionen

$\int _{\Omega }\varphi \,\operatorname {div} \,{\vec {v}}\;\mathrm {d} V=\int _{\partial \Omega }\varphi \,{\vec {v}}\cdot \mathrm {d} {\vec {S}}-\int _{\Omega }{\vec {v}}\cdot \operatorname {grad} \,\varphi \;\mathrm {d} V$.

Stieltjesintegrale

Es seien $g$ und $f$ zwei Funktionen von finiter Variation, dann gilt

$f(t)g(t)-f(0)g(0)=\int _{0}^{t}f(s)\;\mathrm {d} g(s)+\int _{0}^{t}g(s-)\;\mathrm {d} f(s)$

bzw. anders geschrieben

$f(t)g(t)-f(0)g(0)=\int _{0}^{t}f(s-)\;\mathrm {d} g(s)+\int _{0}^{t}g(s-)\;\mathrm {d} f(s)+\sum _{0<s\leq t}\Delta f(s)g(s).$

Siehe auch

• Integration durch Substitution, eine weitere wichtige Regel zur Berechnung von Integralen

Literatur

• Otto Forster: Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. Vieweg, Braunschweig ⁷2004. ISBN 3-528-67224-2
• Konrad Königsberger: Analysis 1 Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-41282-4