Partielle Integration

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Die partielle Integration (teilweise Integration, Integration durch Teile, lat. integratio per partes), auch Produktintegration genannt, ist in der Integralrechnung eine Möglichkeit zur Berechnung bestimmter Integrale und zur Bestimmung von Stammfunktionen. Sie kann als Analogon zur Produktregel der Differentialrechnung aufgefasst werden. Der Gaußsche Integralsatz aus der Vektoranalysis mit einigen seiner Spezialfälle ist eine Verallgemeinerung der partiellen Integration für Funktionen mehrerer Variablen.

Regel der partiellen Integration[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist ein Intervall und sind zwei stetig differenzierbare Funktionen auf , dann gilt

Diese Regel wird partielle Integration genannt.[1] Ihren Namen hat sie erhalten, weil bei ihrer Anwendung nur ein Teil des Integrals auf der linken Seite des Gleichheitszeichens bestimmt wird, nämlich , und der zweite Ausdruck, nämlich , noch ein Integral beinhaltet. Diese Regel ist daher dann sinnvoll anzuwenden, wenn die Stammfunktion zu bekannt, beziehungsweise leicht zu berechnen ist, und wenn der Integralausdruck auf der rechten Seite einfacher zu berechnen ist.[2]

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Als Beispiel wird das Integral

betrachtet, wobei der natürliche Logarithmus ist. Setzt man und , so erhält man

und .

Dies ergibt dann

Weitere Beispiele sind im Abschnitt Unbestimmte Integrale und partielle Integration dieses Artikels zu finden. Im Unterschied zu diesem Beispiel werden dort nur unbestimmte Integrale berechnet. Das heißt, dass an den Integralen keine Grenzen stehen, die dann, wie hier im Beispiel geschehen, im letzten Schritt in die Funktion eingesetzt werden.

Geschichte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine geometrische Form der Regel der partiellen Integration findet sich schon in Blaise Pascals Arbeit Traité des Trilignes Rectangles et de leurs Onglets (Abhandlung über Kurvendreiecke und ihre ‚adjungierten Körper‘), die 1658 als Teil des Lettre de A. Dettonville à M. Carcavy erschien. Da zu jener Zeit der Integralbegriff noch nicht geprägt war, wurde diese Regel nicht mittels Integralen, sondern durch Summation von Infinitesimalen beschrieben.[3]

Gottfried Wilhelm Leibniz, der zusammen mit Isaac Newton als der Erfinder der Differential- und Integralrechnung gilt, bewies die in moderner Notation lautende Aussage

Sie ist ein Spezialfall der Regel zur partiellen Integration. Leibniz nannte diese Regel Transmutationstheorem und teilte sie Newton in seinem Brief mit, den er als Antwort auf die epistola prior, den ersten Brief Newtons, nach England schickte. Mithilfe dieses Theorems untersuchte Leibniz den Flächeninhalt eines Kreises und konnte die Formel

beweisen. Sie wird heute Leibniz-Reihe genannt.[4]

Unbestimmte Integrale und partielle Integration[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die partielle Integration kann auch dafür verwendet werden, um unbestimmte Integrale zu berechnen – also um Stammfunktionen zu bestimmen. Dazu werden in der Regel zur partiellen Integration die Integralgrenzen gestrichen, daher muss nun die Integrationskonstante beachtet werden.

Regel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Seien und zwei stetig differenzierbare Funktionen und ist die Stammfunktion von bekannt, dann kann mit der Regel zur partiellen Integration

eine Stammfunktion zu gefunden werden.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In diesem Abschnitt wird an zwei Beispielen aufgezeigt, wie mit Hilfe der partiellen Integration eine Stammfunktion ermittelt wird. Im ersten Beispiel wird keine Stammfunktion bestimmt. Dieses Beispiel zeigt auf, dass beim Bestimmen einer Stammfunktion mit der partiellen Integration auch auf die Integrationskonstante geachtet werden muss. Im zweiten Beispiel wird die Stammfunktion des Logarithmus und im dritten Beispiel wird eine Stammfunktion zu einer gebrochenrationalen Funktion bestimmt.

Kehrwertfunktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In diesem Beispiel wird das unbestimmte Integral von betrachtet und partiell integriert. Obgleich nicht hilfreich zur konkreten Bestimmung der Stammfunktion von , verdeutlicht es doch, dass auf die Integrationskonstante geachtet werden muss. Es gilt

Im Sinne unbestimmter Integrale ist diese Gleichung richtig, denn die Funktionen und sind beide Stammfunktionen der Funktion . Würde man diesen Ausdruck als bestimmtes Integral mit den Grenzen betrachten, so würde der mittlere (der integralfreie) Term wegfallen, denn es gilt

.

Logarithmusfunktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Steht nur ein Term im Integrand, auf dessen Stammfunktion ohne Tabellenwert nicht ohne weiteres zu schließen ist, kann man gelegentlich durch Einfügen des Faktors partiell integrieren. Dies funktioniert beispielsweise bei der Logarithmusfunktion . Um die Stammfunktion von zu bestimmen, wird bei der partiellen Integration der Logarithmus differenziert und von der Eins-Funktion die Stammfunktion gebildet. Es gilt also[5]

Produkt von Sinus- und Kosinusfunktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Manchmal kann man es sich zunutze machen, dass nach mehreren Schritten der partiellen Integration das ursprüngliche Integral auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens wiederkehrt, welches man dann durch Äquivalenzumformung mit dem ursprünglichen Integral auf der linken Seite zusammenfassen kann.

Als Beispiel wird das unbestimmte Integral

berechnet. Dazu setzt man und , so ergibt sich

und

und man erhält

.

Addiert man auf beiden Seiten der Gleichung das Ausgangsintegral, folgt

.

Wird nun auf beiden Seiten durch 2 dividiert, so ergibt sich

und man hat eine Stammfunktion gefunden. Alle Stammfunktionen sehen daher so aus:

.

Vertauscht man bei der partiellen Integration die Rollen von und , so ergibt sich analog

.

was man auch durch Einsetzen von in die zuerst gefundene Formel erhält. Man kann daher mit gleicher Berechtigung sowohl als auch als Stammfunktion angeben, beide unterscheiden sich nur durch eine Konstante.

Produkt von Polynom- und Exponentialfunktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bei manchen unbestimmten Integralen bietet es sich an, für einen Term zu wählen, der sich bei der Integration nicht oder nur unwesentlich verändert, beispielsweise die natürliche Exponentialfunktion oder die trigonometrischen Funktionen.

Als Beispiel wird das unbestimmte Integral

betrachtet. Setzt man bei jedem partiellen Integrationsschritt und für den übrigen Term unter dem Integral, so ergibt sich

Herleitung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Produktregel aus der Differentialrechnung besagt, dass für zwei stetige differenzierbare Funktionen und die Gleichheit

gilt und mittels Termumformung folgt

Mittels des Hauptsatzes der Integral- und Differentialrechnung folgt

woraus sich die Regel

zur partiellen Integration ergibt.

Mehrdimensionale partielle Integration[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die partielle Integration in mehreren Dimensionen ist ein Sonderfall des Gaußschen Integralsatzes: Sei kompakt mit abschnittsweise glattem Rand . Der Rand sei orientiert durch ein äußeres Normalen-Einheitsfeld . Sei ferner ein stetig differenzierbares Vektorfeld auf einer offenen Umgebung von und ein stetig differenzierbares Skalarfeld auf . Dann gilt

mit der Abkürzung . Dann folgt die Verallgemeinerung der partiellen Integration in mehreren Dimensionen

.

Regel der partiellen Integration für Stieltjesintegrale[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es seien und zwei Funktionen von finiter Variation, dann gilt

bzw. anders geschrieben

.

Schwache Ableitung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Schwache Ableitung

In der Theorie der partiellen Differentialgleichungen wurde mittels der Methode der partiellen Integration eine Verallgemeinerung der Ableitung einer differenzierbaren Funktion gefunden.

Betrachtet man eine auf einem offenen Intervall (klassisch) differenzierbare Funktion und eine beliebig oft differenzierbare Funktion mit kompaktem Träger in , dann gilt

.

Hierbei wurde die partielle Integration eingesetzt. Der Randterm, also der Term ohne Integral, fehlt, da die Funktion eben einen kompakten Träger hat und daher und gilt.

Wird die Funktion nun als eine -Funktion gewählt, dann kann, selbst wenn nicht differenzierbar ist (genauer: keinen differenzierbaren Vertreter in der Äquivalenzklasse besitzt), eine Funktion existieren, die die Gleichung

für jede Funktion erfüllt. Eine solche Funktion heißt schwache Ableitung von . Die so entstehende Menge von schwach differenzierbaren -Funktionen ist ein Vektorraum und er gehört zur Klasse der Sobolev-Räume. Die glatten Funktionen mit kompaktem Träger, deren Vektorraum mit bezeichnet wird, heißen Testfunktionen.

Existiert jedoch keine Funktion mit der geforderten Bedingung, so kann immer eine Distribution gefunden werden, so dass obige Bedingung im Distributionensinn erfüllt ist. Dann heißt die Distributionenableitung von .

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Konrad Königsberger: Analysis 1. Springer-Verlag, Berlin u. a., 2004, ISBN 3-540-41282-4, S. 202.
  2. Yvonne Stry: Mathematik kompakt: für Ingenieure und Informatiker. 3., bearb. Auflage, Springer-Verlag, 2010, ISBN 3642111912, S. 314.
  3. Thomas Sonar: 3000 Jahre Analysis, Springer, Berlin 2011, ISBN 978-3-642-17203-8, S. 273.
  4. Thomas Sonar: 3000 Jahre Analysis, Springer, Berlin 2011, ISBN 978-3-642-17203-8, S. 418–421.
  5. Otto Forster: Analysis Band 1: Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. Vieweg-Verlag, 8. Aufl. 2006, ISBN 3-528-67224-2, S. 210.