Satz von Plancherel

Der Satz von Plancherel (nach Michel Plancherel, der ihn 1910 bewies) ist eine Aussage aus dem mathematischen Teilgebiet der Fourier-Analysis, das zur Funktionalanalysis gehört. Er besagt, dass die Fourier-Transformation auf dem Raum $L^{2}$ der quadratintegrierbaren Funktionen eine Isometrie ist, also dass eine Funktion und ihre Fourier-Transformierte die gleiche $L^{2}$-Norm haben.

Aussage

Es existiert eine Isometrie $\Psi \colon L^{2}(\mathbb {R} ^{n})\to L^{2}(\mathbb {R} ^{n})$, die unitär und eindeutig bestimmt ist durch

$\Psi (f)={\mathcal {F}}(f)$

für alle $f\in {\mathcal {S}}$, wobei

• ${\mathcal {F}}$ die Fourier-Transformation und
• ${\mathcal {S}}$ den Schwartz-Raum bezeichnet.

Bemerkungen

1. Die Gleichheit $\Psi (f)={\mathcal {F}}(f)$ gilt nicht nur für $f\in {\mathcal {S}}$, sondern auch für $f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})\cap L^{2}(\mathbb {R} ^{n})$, da ${\mathcal {S}}$ sowohl in $L^{1}(\mathbb {R} ^{n})$ als auch in $L^{2}(\mathbb {R} ^{n})$ dicht liegt. Da $\Psi$ auf $L^{2}(\mathbb {R} ^{n})$ und die Fourier-Transformation ${\mathcal {F}}$ auf $L^{1}(\mathbb {R} ^{n})$ definiert ist, kann man $\Psi$ als Fortsetzung der Fourier-Transformation auf $L^{2}(\mathbb {R} ^{n})$ verstehen. Diese Fortsetzung wird ebenfalls wieder Fourier-Transformation oder seltener Fourier-Plancherel-Transformation genannt.
2. Der Satz von Parseval ist das Analogon des Satzes von Plancherel für Fourier-Reihen. Jedoch hängen die Sätze nicht direkt zusammen, da bei der kontinuierlichen Fourier-Transformation kein Orthogonalsystem (sondern zumindest für Hilberträume sog. „Frames“) zugrunde liegt.

Siehe auch

• Harmonische Analyse

Literatur

• Walter Rudin: Functional Analysis. McGraw-Hill, New York 1991, S. 188–189, ISBN 0-07-054236-8

Weblinks

• Plancherel's Theorem by Mathworld