Satz von Plancherel

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

Der Satz von Plancherel ist eine Aussage aus dem mathematischen Teilgebiet der Fourier-Analysis, das zur Funktionalanalysis gehört. Der Satz besagt, dass die Fourier-Transformation auf dem Raum der quadratintegrierbaren Funktionen eine Isometrie ist, also dass eine Funktion und ihre Fourier-Transformierte die gleiche -Norm haben. Im Jahr 1910 wurde die Aussage von Michel Plancherel bewiesen, nach dem der Satz auch benannt ist.

Aussage[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es existiert eine Isometrie , die unitär ist und eindeutig durch

für alle bestimmt ist, wobei die Fourier-Transformation und den Schwartz-Raum bezeichnet.

Bemerkungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Die Gleichheit gilt nicht nur für , sondern auch für , da sowohl in als auch in dicht liegt. Da auf und die Fourier-Transformation auf definiert ist, kann man als Fortsetzung der Fourier-Transformation auf verstehen. Diese Fortsetzung wird ebenfalls wieder Fourier-Transformation oder seltener Fourier-Plancherel-Transformation genannt.
  2. Der Satz von Parseval ist das Analogon des Satzes von Plancherel für Fourier-Reihen. Jedoch hängen die Sätze nicht direkt zusammen, da bei der kontinuierlichen Fourier-Transformation kein Orthogonalsystem zugrunde liegt.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Walter Rudin: Functional Analysis. McGraw-Hill, New York 1991, S. 188–189, ISBN 0070542368

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]