Positive und negative Zahlen

Die reellen Zahlen ohne die Null ($\mathbb {R} \backslash \{0\}$) werden in der Mathematik in positive und negative Zahlen unterschieden. Eine Zahl, die größer als null ist wie beispielsweise 3, nennt man positiv; ist sie kleiner als null wie z. B. −3 nennt man sie negativ. Positive Zahlen tragen ein Pluszeichen und negative Zahlen ein Minuszeichen als Vorzeichen. Das Pluszeichen wird normalerweise weggelassen. Die Null ist weder positiv noch negativ.

Die gleiche Unterscheidung kann bei Teilmengen der reellen Zahlen vorgenommen werden, wie zum Beispiel bei den rationalen Zahlen oder den ganzen Zahlen.

Da man bei einigen Zahlenmengen (z. B. komplexe Zahlen) keine mit der Addition und Multiplikation verträgliche Ordnung definieren kann, kann man für diese Zahlen auch nicht von größer oder kleiner als Null sprechen. Für die genauen Anforderungen an eine derartige Ordnungsrelation siehe geordneter Körper.

Darstellung

Positive Zahlen werden ohne Vorzeichen oder mit einem Pluszeichen, negative Zahlen mit einem Minuszeichen gekennzeichnet oder, speziell im Finanzbereich, in Klammern geschrieben. Auf der Zahlengerade ist der Bereich der positiven Zahlen spiegelsymmetrisch zum Bereich der negativen Zahlen. Der Abstand einer Zahl a zur 0 ist gleich dem Abstand der 0 zur Zahl −a.

Eigenschaften

Gegenzahl

−a heißt Gegenzahl zu a; a ist umgekehrt Gegenzahl zu −a. 0 ist seine eigene Gegenzahl. Der Betrag einer Zahl a ist gleich dem Betrag ihrer Gegenzahl.

Natürliche Zahlen

Der Begriff "positive" bzw. "negative Zahl" kann auf die ganzen Zahlen (eingebettet in die reellen Zahlen) übertragen werden. Die natürlichen Zahlen sind die positiven (oder bei entsprechender Definition) die nichtnegativen ganzen Zahlen. Hierbei hat sich die Schreibweise $\mathbb {N}$ (nur positive ganze Zahlen) bzw. $\mathbb {N} _{0}$ (nichtnegative ganze Zahlen) eingebürgert.

Multiplikationsgruppe

Fasst man die positiven reellen (oder rationalen) Zahlen zur Menge P zusammen und die negativen reellen (oder rationalen) Zahlen zur Menge N, so ist die Vereinigung der Mengen P und N eine abelsche Gruppe bezüglich der Multiplikation.

Da z. B. die ganze Zahl 2 (bezüglich der Multiplikation) keine inverse ganze Zahl hat (1/2 ist keine ganze Zahl), gilt dies nicht für die ganzen Zahlen.

Minus mal minus gleich Plus

Die Einheitengruppe {1; −1} des Rings der ganzen Zahlen ist zyklisch mit Länge 2. Anschaulich gesprochen bedeutet dies, dass man eine positive Zahl erhält, wenn man zwei negative oder zwei positive Zahlen miteinander multipliziert, jedoch eine negative, wenn man eine positive mit einer negativen Zahl multipliziert.

Vorzeichenfehler

Viele Rechenfehler beruhen auf einer Verwechslung des Vorzeichens.

berühmte Beispiele

Hochrheinbrücke, bei der die Höhe der Brückenpfeiler in der Schweiz beziehungsweise in Deutschland mit einer um das Vorzeichen falschen Höhenkorrektur berechnet wurden. Eigentlich wollte man die in beiden Ländern unterschiedlichen Höhensysteme ausgleichen.

Weitere Definition von "Positiv"

In Bereichen der Physik kommt den positiven reellen Zahlen mit oder ohne Null eine besondere Bedeutung zu, da einige Zustandsgrößen keine negativen Werte und praktisch oft auch nicht den Wert 0 annehmen können. Beispiele sind die thermodynamische Temperatur, der Druck oder der elektrische Widerstand. Ist eine der Zustandsgrößen das Ergebnis einer quadratischen Gleichung oder einer Gleichung höherer Ordnung, so fallen nicht nur alle imaginären Lösungen der Gleichung, sondern auch alle negativ reellen Lösungen der Gleichung weg. Für die Menge der positiven reellen Zahlen wird das Symbol $\mathbb {R} ^{+}$ und für die Menge der positiven reellen Zahlen einschließlich 0 das Symbol $\mathbb {R} _{0}^{+}$ verwendet.

Unter den nichtnegativen Zahlen versteht man die positiven Zahlen und die Null zusammen. Analog versteht man unter den nichtpositiven Zahlen die negativen Zahlen und die Null zusammen. Die Null ist also weder positiv noch negativ, weshalb bisweilen ±0 oder, seltener, ∓0 geschrieben wird.

Siehe auch

• Signum
• Positivbereich