Potenzturm

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In der Mathematik, insbesondere der Zahlentheorie, spricht man von einem Potenzturm, wenn der Exponent einer Potenz noch weitere Male potenziert wird und sich die Exponenten somit zu einem Turm addieren. Die Schreibweise wird üblicherweise für Zahlen verwendet bei denen der Exponent in normaler Schreibweise zu groß wäre, z. B.:

Je größer die Zahl wird, desto deutlicher wird der verkürzende Vorteil dieser Schreibweise.

Schon der Exponent dieser Zahl (zur Basis 2) hätte, in Dezimalschreibweise notiert, 19.728 Stellen. Das Gesamtergebnis wäre damit kaum noch nutzbar oder verständlich.

Dabei ist zu beachten, dass Potenztürme von oben nach unten abgearbeitet werden, da

Mit Hilfe dieser Schreibweise lassen sich sehr große Zahlen darstellen, die schnell jenseits jeder direkten Vorstellbarkeit liegen und die sich in absoluter Länge und als einfache Potenz nicht mehr oder nur umständlich darstellen lassen.

Dennoch gibt es Zahlen, die so groß sind, dass selbst diese Schreibweise nicht mehr ausreicht, um sie darzustellen. Wenn also ein Potenzturm zu viele Stufen hat, als dass man sie noch darstellen könnte, nutzt man alternative Schreibweisen wie den Hyper-Operator.

Darstellung mit Folgen und unendliche Potenztürme[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein endlicher Potenzturm der Form (siehe auch Pfeilschreibweise)

mit und stimmt mit dem Folgeglied  der Folge überein:

Die Folge selbst wird als Partialturmfolge bezeichnet und mit dem unendlichen Potenzturm identifiziert (analog zum Begriff der unendlichen Reihe).

InfinitePowerTower.gif

Ist konvergent mit dem Grenzwert dann heißt der (unendliche) Potenzturm konvergent mit

Schon Leonhard Euler hat erkannt, dass der Potenzturm

genau dann konvergiert, wenn

.


Ist      für ein dann gilt:

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]