Umkehrfunktion

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Die Umkehrfunktion

Die Umkehrfunktion oder inverse Funktion einer bijektiven Funktion ist die Funktion, die jedem Element der Zielmenge sein eindeutig bestimmtes Urbildelement zuweist.

Eine Funktion ordnet jedem ein eindeutig bestimmtes Element zu, das mit bezeichnet wird. Umgekehrt kann es sein, dass für ein kein mit existiert oder es kann mehr als ein mit geben. Eine Funktion , bei der für jedes genau ein mit existiert, wird bijektiv genannt. Für solche Funktionen kann man eine Funktion bilden, die jedem dieses eindeutig bestimmte mit zuordnet. Diese Funktion ist dann die Umkehrfunktion von .

Eine Funktion, deren Umkehrfunktion existiert, wird auch als invertierbar bezeichnet.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wenn eine bijektive Funktion ist, dann bezeichnet die Umkehrfunktion. Dabei ist die hochgestellte nicht mit einer negativen Potenz bezüglich der Multiplikation zu verwechseln; es handelt sich vielmehr um die Umkehrung bezüglich der Hintereinanderausführung (Verkettung) von Funktionen.

Der Funktionswert ist definiert als das (eindeutig bestimmte) , das die Gleichung erfüllt.

Eine alternative Schreibweise ist (f quer)[1], was allerdings leicht mit der komplexen Konjugation verwechselt wird.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Sei die Menge der 26 Buchstaben des lateinischen Alphabets und sei . Die Funktion , die jedem Buchstaben die entsprechende Nummer im Alphabet zuordnet, ist bijektiv und ist gegeben durch „der n-te Buchstabe im Alphabet“.
  • Sei die Funktion mit . Diese ist bijektiv und die Umkehrfunktion ist gegeben durch
.
  • Sei die Menge der nichtnegativen reellen Zahlen und mit eine eingeschränkte Quadratfunktion. Dann ist bijektiv und die Umkehrfunktion ist gegeben durch .
  • Für mit gilt .

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Die Umkehrfunktion der Umkehrfunktion ist die ursprüngliche Funktion, d. h.
.
  • Ist eine bijektive Funktion, dann gilt für die Umkehrfunktion:
für alle ,
für alle .
Mit Hilfe der Verkettung von Funktionen lässt sich dies auch so schreiben:
.
  • Sind und zwei Funktionen mit den Eigenschaften
für alle und
für alle ,
dann sind beide Funktionen bijektiv und ist die Umkehrfunktion von .
  • Sind die Funktionen und bijektiv, dann gilt dies auch für die Verkettung . Die Umkehrfunktion von ist dann .
  • Eine Funktion kann ihre eigene Umkehrfunktion sein. Es gilt dann und man nennt eine Involution.
  • Ist eine bijektive Funktion, wobei und Teilmengen von sind, dann entsteht der Graph der Umkehrfunktion, indem man den Graph von an der Geraden spiegelt.
  • Ist differenzierbar, und , dann gilt die folgende Umkehrregel:
.
Diese Aussage findet seine Verallgemeinerung im Satz von der Umkehrabbildung.

Berechnung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist eine Funktion und gelingt es, die Gleichung durch Äquivalenzumformung in die Form zu bringen, also äquivalent nach aufzulösen (wobei , und gilt), dann ist als bijektiv nachgewiesen und die Umkehrfunktion von (nämlich ) bestimmt.

Beispiele:

  • Sei mit . Die folgenden Gleichungen sind äquivalent:
Die Umkehrfunktion von lautet daher . Da es üblich ist, das Argument mit zu bezeichnen, schreibt man auch: .
  • Sei mit . Die folgenden Gleichungen sind äquivalent (man beachte, dass gilt):
(Die zweite Lösung der quadratischen Gleichung entfällt, da als positiv vorausgesetzt ist.) Die Umkehrfunktion lautet also:

Verallgemeinerungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für allgemeinere Anwendungen ist der oben eingeführte Begriff der Umkehrfunktion als Inverses einer Bijektion zu eng. Entsprechend existieren Verallgemeinerungen für solche Gegebenheiten, von denen zwei nachfolgend vorgestellt werden.

Links- und Rechtsinverse[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für eine Funktion heißt eine Funktion Linksinverse (oder Retraktion), wenn

Das heißt, die Funktion g erfüllt

g muss also gleich der Umkehrfunktion von f im Wertebereich von f sein, kann aber beliebige Werte für Elemente aus Y annehmen, die nicht Resultat von f sind. Eine Funktion f hat Linksinverse genau dann, wenn sie injektiv (linkseindeutig) ist.

Eine Rechtsinverse (Koretraktion) von f (oder, bei Faserbündeln, ein Schnitt von f) ist eine Funktion , so dass

Das heißt, die Funktion h erfüllt

kann also jedes Element von X sein, das von f auf y abgebildet wird. Eine Funktion f hat Rechtsinverse genau dann, wenn sie surjektiv (rechtstotal) ist. (Die Konstruktion solch einer Inversen erfordert im Allgemeinen das Auswahlaxiom.)

Eine Funktion kann mehrere Links- oder Rechtsinverse haben; es gibt jedoch nur eine eindeutige Funktion, die zugleich Links- als auch Rechtsinverse ist.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Linksinverse treten oft als Inverse von Einbettungen auf.

Zum Beispiel sei f eine Funktion, die jedem Farbnamen ('rot', 'grün', 'blau' usw.) seine Farbe zuweist. Dann wäre ein Retrakt eine Funktion g, die für jede Farbe einen Farbnamen ergibt.

Als numerisches Beispiel sei f die Einbettung von in . g kann dann z. B. die größte ganze Zahl liefern, die kleiner oder gleich dem Argument ist.

Rechtsinverse treten oft als Funktionen auf, die Repräsentanten einer Menge bestimmen.

Sei beispielsweise eine Funktion, die jeder Art ihre Gattung zuweist. Das Rechtsinverse h ist eine Funktion, die für jede Gattung eine typische Art benennt. Politische Vertretung liefert viele Beispiele. Hier könnte f etwa die Staatsangehörigkeit eines Menschen sein, h das Staatsoberhaupt eines Staates.

Als mathematisches Beispiel für ein Rechtsinverses wäre f eine Auswertungsfunktion, die Termen einen Wert zuweist (diese ausrechnet). So haben etwa die Terme '2/4', '3/6', '1-1/2' usw. alle denselben Wert 0,5. h wäre dann eine Funktion, die für jeden Wert einen typischen Term liefert, hier vielleicht '1/2'.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Helmut Sieber und Leopold Huber: Mathematische Begriffe und Formeln für Sekundarstufe I und II der Gymnasien, Ernst Klett Verlag

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

 Wiktionary: Umkehrfunktion – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen