Problem invarianter Unterräume

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Das Problem invarianter Unterräume ist eine mathematische Problemstellung aus der Funktionalanalysis. Die Fragestellung lautet, ob jeder nicht-triviale beschränkte und lineare Operator auf einem Banach-Raum einen invarianten Unterraum besitzt.

Ein erstes Gegenbeispiel wurde 1975 von dem schwedischen Mathematiker Per Enflo gefunden. Für Hilbert-Räume ist das Problem nach wie vor offen.

Problemstellung

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Grundbegriffe:

Sei ein komplexer Vektorraum und ein linearer Operator. Ein Unterraum ist -invariant, falls , das heißt also für alle .[1] Gilt zusätzlich und , dann ist nicht-trivial.

Ein Unterraum ist invariant unter der Familie von Operatoren , falls -invariant für alle ist.

Ein Unterraum ist hyperinvariant für , falls er invariant für alle Operatoren ist, die mit kommutieren ().

Mit bezeichnen wir den Raum der beschränkten und linearen Operatoren auf .

Das Problem invarianter Unterräume für Banach-Räume

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Sei ein komplexer Banach-Raum mit und . Existiert dann ein abgeschlossener, nicht-trivaler -invarianter Unterraum?[2]

Die Problemstellung lieferte viele Teillösungen, die sich in zwei unterschiedliche Gruppen aufteilen lassen:[3]

  1. Banach-Räume, auf denen jeder Operator einen invarianten Teilraum besitzt.
  2. Operatoren ohne invariante Teilräume auf einer großen Klasse von Funktionenräumen.

Schlüsselergebnisse

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1950 bewies John von Neumann, dass jeder kompakte Operator auf einem Hilbert-Raum einen nicht-trivialen hyperinvarianten Unterraum besitzt.[2]

1973 publizierte Viktor Lomonossow den Satz von Lomonossow, welcher sagt, dass wenn der Operator auf einem Banach-Raum mit einem kompakten Operator kommutiert, einen nicht-trivialen invarianten Unterraum hat.[4]

1976 wurde der erste Operator auf einem speziellen Banach-Raum ohne invarianten Unterraum von Per Enflo publiziert.[5] Seitdem gab es weitere Beispiele auch auf klassischen Funktionenräumen. Für Hilbert-Räume ist das Problem weiterhin ungelöst.

Einzelnachweise

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  1. Peter D. Lax: Functional Analysis. Hrsg.: John Wiley & Sons, Inc. 2002, ISBN 0-471-55604-1 (englisch).
  2. a b Isabelle Chalendar, Jonathan R. Partington: An overview of some recent developments on the Invariant Subspace Problem. In: Concrete Operators. Nr. 1, 2012, S. 53–56, doi:10.2478/conop-2012-0001.
  3. V. I. Lomonosov, V. S. Shulman: Invariant Subspaces for Commuting Operators on a Real Banach Space. In: Functional Analysis and Its Applications. Nr. 52, 2018, S. 53–56, doi:10.1007/s10688-018-0207-6.
  4. V.I. Lomonosov: Invariant subspaces of the family of operators that commute with a completely continuous operator. In: Functional Analysis and Its Applications. Vol. 7, 1973, S. 213–214, doi:10.1007/BF01080698.
  5. Per Enflo: On the invariant subspace problem for Banach spaces. In: Acta Math. Nr. 158, 1987, S. 213–313, doi:10.1007/BF02392260.