Pythagoraszahl

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Die Pythagoraszahl eines Körpers ist definiert als das kleinste , so dass sich jede endliche Summe von Quadraten in schon als Summe von Quadraten schreiben lässt.[1]

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für einen Körper sei

die Menge der endlichen Quadratsummen, die ungleich Null sind.

Mit

bezeichnen wir die Menge der Quadratsummen in , die höchstens Länge haben. Offensichtlich gilt für alle . Unklar ist dagegen, ob immer ein existiert, so dass . Als Pythagoraszahl von bezeichnen wir die folgende Größe:

wobei genau dann, wenn für alle gilt. Es ist stets .

Die Pythagoraszahl einiger Zahlenkörper[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Nach dem Satz des Pythagoras gibt es für ein , so dass . Damit ist die Pythagoraszahl der reellen Zahlen . Anders ausgedrückt: Man kann aus jeder Quadratsumme in die Wurzel ziehen. Es ist wahrscheinlich, dass die Pythagoraszahl ihren Namen aus dieser Überlegung herleitet.
  2. Die Pythagoraszahl der komplexen Zahlen .
  3. Nach dem Satz von Euler-Lagrange ist die Pythagoraszahl der rationalen Zahlen , d. h. jede Summe von Quadraten rationaler Zahlen lässt sich schon als Summe von höchstens vier Quadraten schreiben.

Weitere Beispiele und Beweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Satz Falls nicht-reeller Körper ist, (das heißt ,) lässt sich die Pythagoraszahl von abschätzen durch die Stufe von :

Beweis: Siehe Wikibooks-logo.svg Satz (Pythagoraszahl nicht-reeller Körper)


Falls ein nicht-reeller Körper mit positiver Charakteristik ist, gilt ein Lemma aus dem Buch Squares von A. R. Rajwade [2], nach dem für einen beliebigen Körper mit gilt, dass (zum Beweis vgl. Stufe).

Damit gilt für alle nicht-reellen Körper mit positiver Charakteristik, dass .


Ganz exakt kann man im Fall werden, wo eine ungerade Primpotenz ist. Es gilt:

Satz für alle wo prim und ist.

Beweis: Siehe Wikibooks-logo.svg Satz (Pythagoraszahl von Körpern mit Charakteristik einer Primpotenz)

Die Pythagoraszahl bei Körpererweiterungen der rationalen Zahlen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine endlich erzeugte Körpererweiterung über den rationalen Zahlen, sei weiter der Transzendenzgrad von über .

Unter Verwendung der Milnorschen Vermutung (vgl. K-Theorie: Milnorvermutung), die von Wladimir Wojewodski bewiesen wurde, lässt sich zeigen, dass für alle gilt.

Wegen ist diese Abschätzung scharf für .

Für wurde bisher gezeigt [3]. Vermutlich gilt aber sogar , was dann wegen eine scharfe Abschätzung wäre. [4]

Eine ausführliche Darstellung des Beweises von findet sich in der Arbeit Über die Pythagoraszahl von Funktionenkörpern, s. u.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Bröcker L., Über die Pythagoraszahl eines Körpers, Archiv der Mathematik, Birkhäuser Basel, Volume 31, Number 1, Dezember 1978, S. 133–136
  2. A.R. Rajwade, Squares, Cambridge University Press, 1993
  3. Florian Pop, bislang unveröffentlichter Artikel
  4. Y. Pourchet, Sur la representation en somme de carres des polynomes a une indeterminee sur un corps de nombres algebraiques, Acta Arith. 19, 1971

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]