Pythagoraszahl

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Die Pythagoraszahl eines Körpers ist definiert als das kleinste , so dass sich jede endliche Summe von Quadraten in schon als Summe von Quadraten schreiben lässt.[1]

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für einen Körper sei

die Menge der endlichen Quadratsummen, die ungleich Null sind.

Mit

bezeichnen wir die Menge der Quadratsummen in , die höchstens Länge haben. Offensichtlich gilt für alle . Unklar ist dagegen, ob immer ein existiert, so dass . Als Pythagoraszahl von bezeichnen wir die folgende Größe:

wobei genau dann, wenn für alle gilt. Es ist stets .

Die Pythagoraszahl einiger Zahlenkörper[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Nach dem Satz des Pythagoras gibt es für ein , so dass . Damit ist die Pythagoraszahl der reellen Zahlen . Anders ausgedrückt: Man kann aus jeder Quadratsumme in die Wurzel ziehen. Es ist wahrscheinlich, dass die Pythagoraszahl ihren Namen aus dieser Überlegung herleitet.
  2. Die Pythagoraszahl der komplexen Zahlen .
  3. Nach dem Satz von Euler-Lagrange ist die Pythagoraszahl der rationalen Zahlen , d.h. jede Summe von Quadraten rationaler Zahlen lässt sich schon als Summe von höchstens vier Quadraten schreiben.

Weitere Beispiele und Beweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Satz Falls nicht-reeller Körper ist, (das heißt ,) lässt sich die Pythagoraszahl von abschätzen durch die Stufe von :

Beweis: Siehe Wikibooks-logo.svg Satz (Pythagoraszahl nicht-reeller Körper)


Falls ein nicht-reeller Körper mit positiver Charakteristik ist, gilt ein Lemma aus dem Buch Squares von A. R. Rajwade [2], nach dem für einen beliebigen Körper mit gilt, dass (zum Beweis vgl. Stufe).

Damit gilt für alle nicht-reellen Körper mit positiver Charakteristik, dass .


Ganz exakt kann man im Fall werden, wo eine ungerade Primpotenz ist. Es gilt:

Satz für alle wo prim und ist.

Beweis: Siehe Wikibooks-logo.svg Satz (Pythagoraszahl von Körpern mit Charakteristik einer Primpotenz)

Die Pythagoraszahl bei Körpererweiterungen der rationalen Zahlen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine endlich erzeugte Körpererweiterung über den rationalen Zahlen, sei weiter der Transzendenzgrad von über .

Unter Verwendung der Milnorschen Vermutung (vgl. K-Theorie: Milnorvermutung), die von Wladimir Wojewodski bewiesen wurde, lässt sich zeigen, dass für alle gilt.

Wegen ist diese Abschätzung scharf für .

Für wurde bisher gezeigt [3]. Vermutlich gilt aber sogar , was dann wegen eine scharfe Abschätzung wäre. [4]

Eine ausführliche Darstellung des Beweises von findet sich in der Arbeit Über die Pythagoraszahl von Funktionenkörpern, s.u.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Bröcker L., Über die Pythagoraszahl eines Körpers, Archiv der Mathematik, Birkhäuser Basel, Volume 31, Number 1, Dezember 1978, S. 133-136
  2. A.R. Rajwade, Squares, Cambridge University Press, 1993
  3. Florian Pop, bislang unveröffentlichter Artikel
  4. Y. Pourchet, Sur la representation en somme de carres des polynomes a une indeterminee sur un corps de nombres algebraiques, Acta Arith. 19, 1971

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]