Plus-Konstruktion

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Die Plus-Konstruktion (häufig als Quillens Plus-Konstruktion bezeichnet) ist ein Verfahren der algebraischen Topologie, das unter anderem bei der Definition der algebraischen K-Theorie Anwendung findet.

Konstruktion im Fall perfekter Fundamentalgruppen

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Satz: Sei ein zusammenhängender CW-Komplex mit . Dann gibt es einen durch Ankleben von 2- und 3-Zellen konstruierten einfach zusammenhängenden CW-Komplex und eine Inklusion , so dass die induzierten Morphismen der Homologiegruppen

für alle Isomorphismen sind.

Konstruktion/Beweisidee: Seien Repräsentanten für ein Erzeugendensystem der Fundamentalgruppe . Durch Ankleben von 2-Zellen mittels der Abbildungen erhält man einen einfach zusammenhängenden CW-Komplex . Die lange exakte Sequenz

spaltet weil von den 2-Zellen frei erzeugt wird, man hat also einen Isomorphismus

und der Summand wird von den erzeugt. Weil einfach zusammenhängend ist, sind nach dem Satz von Hurewicz die Elemente von der Form für Abbildungen . (Hier bezeichnet die Fundamentalklasse.) Durch Ankleben von 3-Zellen mittels der Abbildungen erhält man einen einfach zusammenhängenden CW-Komplex mit . Weil die angeklebten 3-Zellen ihren Rand nicht in haben, gilt , und weil lediglich 2- und 3-dimensionale Zellen angeklebt wurden, gilt für . Also hat man auch für alle Homologiegruppen ab Grad 3 einen Isomorphismus.

Konstruktion im allgemeinen Fall

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Satz: Sei ein zusammenhängender CW-Komplex und ein perfekter Normalteiler. Dann gibt es einen durch Ankleben von 2- und 3-Zellen konstruierten CW-Komplex und eine Inklusion , so dass der induzierte Morphismus der Fundamentalgruppen

die Quotientenabbildung und die induzierten Morphismen der Homologiegruppen

für alle Isomorphismen sind.

Konstruktion/Beweisidee: Seien Repräsentanten für ein Erzeugendensystem von . Durch Ankleben von 2-Zellen mittels der Abbildungen erhält man einen CW-Komplex , so dass der durch die Inklusion erzeugte Homomorphismus der Fundamentalgruppen die Quotientenabbildung ist. Sei die universelle Überlagerung von und das Urbild von , also und (weil perfekt ist) . Analog zu oben hat man einen Isomorphismus und der Summand ist der von den erzeugte freie -Modul. Weil einfach zusammenhängend ist, gibt es realisierende Abbildungen und durch Ankleben von 3-Zellen mittels der Abbildungen erhält man wieder einen einfach zusammenhängenden CW-Komplex mit den gewünschten Eigenschaften.

Funktorialität

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Es sei eine stetige Abbildung zwischen zusammenhängenden CW-Komplexen und es seien perfekte Normalteiler mit . Dann induziert eine bis auf Homotopie eindeutige stetige Fortsetzung .[1]

Sei der klassifizierende Raum einer diskreten Gruppe und ein perfekter Normalteiler. Sei die Homotopiefaser der Plus-Konstruktion , dann ist die universelle zentrale Erweiterung von und .[2]

Algebraische K-Theorie

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Sei ein unitärer Ring, die Gruppe der invertierbaren Matrizen über und der klassifizierende Raum von , d. h. ein asphärischer Raum mit Fundamentalgruppe . Weil die Gruppe der Elementarmatrizen perfekt und ein Normalteiler ist, kann man die Plus-Konstruktion anwenden. Die algebraische K-Theorie des Ringes ist definiert als

für .

Beispiel: endliche Körper

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Sei ein endlicher Körper mit Elementen, dann gibt es nach einem Satz von Quillen eine Homotopieäquivalenz

,

wobei die Faser der Abbildung

(für die Wirkung der Adams-Operation auf dem klassifizierenden Raum der unitären Gruppe) ist. Die Homotopiegruppen von können mit Bott-Periodizität berechnet werden, als Ergebnis erhält man

.

ist ein H-Raum mittels einer von Loday definierten Verknüpfung.[3] Die Plus-Konstruktion ist universell für Abbildungen in H-Räume, d. h. jede stetige Abbildung in einen H-Raum faktorisiert über .

Einzelnachweise

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  1. Rosenberg, op.cit., Proposition 5.2.4
  2. Weibel, op.cit., Proposition IV.1.7
  3. Jean Louis Loday: Structure multiplicative en K-théorie algébrique. C. R. Acad. Sci. Paris Sér. A 279 (1974), 321–324.