Radiodrome

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Die Radiodrome („Leitstrahlkurve“, v. lat. radius „Strahl“ und griech. dromos „Lauf, Rennen“), oder Verfolgungskurve ist eine spezielle ebene Kurve. Sie beschreibt die Bewegung eines Punktes, der einen anderen Punkt verfolgt. Beide Punkte bewegen sich dabei mit konstanter, aber nicht notwendigerweise gleicher Geschwindigkeit.

Konstruktionsprinzip der Geraden Radiodrome, x und y positiv

Die gerade Radiodrome beschreibt den einfachen Fall, in dem der Verfolgte sich auf einer Gerade bewegt. Pierre Bouguer beschrieb sie 1732 erstmals. Sie ist eine der Kurven, die mit dem Trivialnamen Hundekurve bezeichnet werden, nach einer Formulierung der Fragestellung mit einem Hund, der seinen Herrn verfolgt. Pierre-Louis Moreau de Maupertuis erweiterte die Problematik schon bald darauf auf beliebige Leitkurven. Dies führte zur Definition der allgemeinen Radiodrome.

Die Kurve tritt typischerweise in Tracking-Problemen in der Robotik und dynamischen Simulationen auf (Verfolgungsprobleme).

Spezielle Radiodrome[Bearbeiten]

Gerade Radiodrome[Bearbeiten]

Bildungsgesetz
Sei A0 der Startpunkt eines „Verfolgten“, und P0 der Startpunkt eines „Verfolgers“.
Wandert der Punkt A mit der Geschwindigkeit v = const. auf einer Geraden, und bewegt sich der Punkt P mit der Geschwindigkeit w = const. immer in Richtung des Punktes A, dann durchläuft P eine Radiodrome.
Sei weiters das Geschwindigkeitsverhältnis k = v / w.
Funktionsgleichung in Kartesischen Koordinaten
A0(0|0) im Ursprung, P0(1|0) auf der x-Achse, A bewegt sich entlang der y-Achse:
 y(x) = {1 \over 2} \left( { {1-x^{(1-k)}} \over (1-k) } -{ {1-x^{(1+k)}} \over { (1+k)} } \right) \quad \text{ für } k \ne 1
 y(x) = {1 \over 4} \cdot \left( {x^2} -\ln {x^2} -1 \right) \quad \text{ für } k = 1
Den zweiten Fall nennt man eigentliche Radiodrome. Sie stellt den einfachsten Spezialfall dar.

Herleitung[Bearbeiten]

  1. Für die Bewegung eines Punktes P mit der Geschwindigkeit w auf einem Funktionsgraphen gilt grundsätzlich:  w = \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t} =  \frac{\sqrt{\mathrm{d}x^2+\mathrm{d}x^2}}{\mathrm{d}t}=\frac{\sqrt{1+\frac{\mathrm{d}y^2}{\mathrm{d}x^2}}\cdot \mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=\sqrt{1+y'^2}\cdot \dot x. Da hier die Bewegung nach links verlaufen soll, x also abnimmt, ist  \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} negativ. Soll w durch einen positiven Wert dargestellt werden, so verwendet man hier  \dot x = - \frac{w}{\sqrt{1+y'^2}},  w = konstant.
  2. Ebenfalls grundsätzlich gilt:  \dot y = \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}= y'\cdot \dot x sowie (y'\dot) = \frac{\mathrm{d}y'}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}y'}{\mathrm{d}x}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}= y''\cdot \dot x  .
  3. Nun fährt A mit der konstanten Geschwindigkeit v auf der y-Achse nach oben, hat also zum Zeitpunkt t den Wert A(0|v\cdot t). Dann zeigt die Tangente an den gesuchten Graphen von P auf A, und man erhält die Tangentenbedingung  \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =  \frac{y-vt}{x} . Das ergibt die Differentialgleichung:   y' \cdot x +  v\cdot t = y .
  4. Differentiation nach t liefert (y'\dot)\cdot x + y' \cdot \dot x +  v = \dot y. Mit dem unter 2. Gesagten ergibt sich daraus y'' \cdot \dot x \cdot x + y'\cdot \dot x + v = y'\cdot \dot x, was sich zu y'' \cdot \dot x \cdot x  + v = 0 vereinfacht.
  5. Ersetzt man nun  \dot x nach 1., erhält man - y'' \cdot  \frac{w}{\sqrt{1+y'^2}} \cdot x  + v = 0
  6. Die Lösung gelingt mit Integration durch die Substitution u = y', somit  u' = y'' . Daraus folgt u' \cdot  \frac{w}{\sqrt{1+u^2}} \cdot x  = v und durch Trennung der Variablen zu \frac{\mathrm{d}u}{\sqrt{1+u^2}} = k \cdot \mathrm{d}x mit  k = \frac{v}{w}.
  7. Integrieren liefert \operatorname{arsinh} (u) = k\cdot\ln x + C (siehe arsinh), sowie Rücksubstitution und Anwenden der Definitionsformel des sinh x, mit C1 = eC, zu:  y' = \frac{\mathrm{d}y} {\mathrm{d}x} = \frac{1}{2} \left[ C_1 \cdot x^{k} - \frac{1}{C_1} \cdot x^{-k} \right]
  8. Hierauf erneutes Integrieren, unter Berücksichtigung von C2 liefert:  y  =  {1 \over 2}  \left( \begin{matrix} \quad \\   {C_1 \cdot x^{(1+k)} \over (1+k) } \\ \quad \end{matrix} -\left \lbrace \begin{matrix} { x^{(1-k)} \over C_1\cdot(1-k) } \\ {\ln {x} \over C_1} \end{matrix} \right \rbrace \right)  +C_2 \begin{cases} {k \neq 1} \\ {k=1} \end{cases}
  9. Einsetzen der Startwerte von y' bzw. P liefern die Werte für C1 und C2.


E. W. Weisstein gibt in (3) eine geschlossene Parameterdarstellung.

Bemerkungen
  • C1 >0, da C1 = eC
  • ist w>v, also k<1, so holt P A ein, der Graph hat also dort einen Schnittpunkt mit der y-Achse. ist w\le v, also k \ge 1, so holt P A nicht ein, der Graph nähert sich also asymptotisch der y-Achse.
  • Ist die Startrichtung nicht normal auf der Leitgeraden, so erhält man andere Randbedingungen. Der Tiefpunkt errechnet sich aus y' = 0.
  • Für eine allgemeine Lage der Leitgerade ist eine geeignete Koordinatentransformation vorzunehmen.
Beispiel
Beispiel Radiodrome.JPG

A werde von P mit doppelter Geschwindigkeit verfolgt, also k = v/w = 0,5. Legt man ein Koordinatensystem mit A im Ursprung und y-Achse in Bewegungsrichtung von A an, senkrecht dazu durch A also die x-Achse, so möge sich P gerade in P(9|3,75) befinden. P bewegt sich nun auf den Ursprung zu, die Tangente der Radiodrome hat also bei P die Steigung 3,75/9=5/12. Dies eingesetzt in die Gleichung aus 7. liefert mit x=9:  \frac{5}{12} = \frac{1}{2} \left[ C_1 \cdot 9^{0,5} - \frac{1}{C_1} \cdot 9^{-0,5}\right]= \frac{1}{2} \left[ 3 \cdot C_1 - \frac{1}{3 \cdot C_1} \right] , was auf die quadratische Gleichung C_1^2  - \frac{5}{18}\cdot C_1 - \frac{1}{9} mit den Lösungen C_1 = \frac{1}{2} bzw. - \frac{2}{9} führt, wobei nur die positive Lösung verwendbar ist (s. 1. Bemerkung). In die Gleichung für y aus 8. eingesetzt erhält man:  y=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{3} \cdot x \cdot \sqrt{x}-4 \cdot \sqrt{x} \right) + C_2. Einsetzen von P(9|3,75) liefert C2=5,25. Damit ergibt sich  y=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{3} \cdot x \cdot \sqrt{x}-4 \cdot \sqrt{x} \right) + 5,25 mit  y' = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{2} \cdot \sqrt{x} - \frac{2}{ \sqrt{x}}\right]= \frac{1}{4 \cdot \sqrt{x}} \left(x - 4 \right). Bei x=4 und damit  y = 2\frac{7}{12} hat der Graph einen Tiefpunkt, bei x=0 und damit y = 5,25 holt P A ein. Auch die Länge des von P zurückgelegten Weges lässt sich leicht berechnen:  \sqrt{1 + y'^2}= \sqrt{1 + \frac{x^2-8x+16}{16x}}= \sqrt{\frac{x^2+8x+16}{16x}}= \frac{1}{4 \cdot \sqrt{x}} (x + 4)=\frac{\sqrt{x}}{4}+ \frac{1}{\sqrt{x}} mit der Stammfunktion  F(x)=\frac{x\cdot \sqrt{x}}{6}+2\cdot \sqrt{x}. Der von P von x=9 bis zum Tiefpunkt bei x=4 zurückgelegte Weg beträgt dann F(9)-F(4)=5\frac{1}{6}. Die dort waagerechte Tangente zeigt auf A und hat die Höhe  y = 2\frac{7}{12} (s.o.), A hat also den Weg  2\frac{7}{12} zurückgelegt, genau die Hälfte von 5\frac{1}{6}, da A halb so schnell ist wie P. Von x=9 bis x=0 legt P den Weg F(9)-F(0)=10,5 zurück, A die Hälfte, also 5,25, weshalb A bei A(0|5,25) von P getroffen wird.

Eigenschaften[Bearbeiten]

  • Die Verbindungslinie von entsprechenden A und P ist Tangente an die Radiodrome.
  • Offensichtlich ist y nicht negativ für alle x, falls der Startpunkt oberhalb der x-Achse liegt.

Analyse des Geschwindigkeitsparameters k

k >= 1:

  • Bei k>1 ist A schneller als P, Die Kurve nähert sich asymptotisch der y-Achse:

Der Verfolger ist langsamer und erreicht den Verfolgten nicht, noch kreuzt er seine Bahn.

  • Bei gleicher Geschwindigkeit (k = 1) läuft der Verfolger in zunehmend gleichem Abstand hinter dem Verfolgten her: Die Kurve zeigt das Grenzwert-Verhalten einer Traktrix.

k < 1: Es gibt es genau einen Endpunkt des Graphen am linken Rand (x=0) der Definitionsmenge. Der Verfolger ist schneller als der Verfolgte und erreicht jenen in endlicher Zeit. Wir nennen diesen Punkt Treffpunkt oder Fangpunkt, die Kurve ist im Fangpunkt tatsächlich zu Ende.

Der Fall k = 0 ist trivial, nämlich eine Gerade. Der Verfolger ist „unendlich“ schnell, oder der Verfolgte steht still.

Für rationales k \neq 1 degeneriert die Funktion zu einer algebraischen Kurve – sind beispielsweise v,w \in \N, so ist diese Kurve vom Grad \tfrac{vw+w\max\{v,w\}}{ggt^2(v,w)}\quad\text{falls}\ v\ne w.

Kreis-Radiodrome[Bearbeiten]

Kreis-Radiodrome (rot), bei der der Verfolger den Verfolgten nach einem Umlauf einholt.

Bewegt sich der "Verfolgte" auf einer Kreislinie und startet der "Verfolger" im Mittelpunkt, so ergibt sich eine weitere Version. Haben Verfolgter und Verfolger die gleiche Geschwindigkeit, so wird der Verfolgte "nach unendlicher Zeit" eingeholt.

Allgemeine Radiodrome[Bearbeiten]

Der Begriff der Radiodrome lässt sich verallgemeinern:

Sei t eine reelle Zahl im Sinne eines Zeitparameters, A_0 ein Punkt einer Kurve a zum Zeitpunkt t=0, und P_0 ein beliebiger Punkt. Sei d_0 der Abstand \overline{A_0 P_0}.
Nun wandert der Punkt A(t), A(0) = A_0 für wachsendes t mit der Geschwindigkeit v(t) = |\dot A| entlang der Kurve a, und der Punkt P(t), P(0) = P_0 “verfolgt“ ihn mit der Geschwindigkeit w(t) = |\dot P|.
Die Menge aller Punkte, die P(t) durchläuft, ergibt die Kurve p. Man bezeichnet diese als Radiodrome der Kurve a.
 {\bold A(t)} = {\bold P(t)} +\xi(t) \cdot {\bold {\dot P}(t)}
mit  d(t) = \left| {\bold P(t)} -{\bold A(t)} \right|,\ \xi(t) = {d(t) \over | {\bold {\dot P}(t)} |} = {d(t) \over w(t)},\ t: {\bold {\dot P}(t)} \neq 0
 {\bold A(t)} = {\bold P(t)} + |{\bold A(t)}-{\bold P(t)}| \cdot \frac{ \bold {\dot P}(t)}{|\bold {\dot P}(t)|}
oder  { { {\bold P} -{\bold A} } \over d } \cdot { \bold {\dot P} \over w } = 1 ..Tangentenbedingung

Die allgemeine Radiodrome gehört als Spezialfall zur Klasse der Schielwinkelkurven.

Siehe auch[Bearbeiten]

 Commons: Curve of pursuit – Album mit Bildern, Videos und Audiodateien

Weblinks[Bearbeiten]