Radiodrome

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Die Radiodrome („Leitstrahlkurve“, v. lat. radius „Strahl“ und griech. dromos „Lauf, Rennen“), oder Verfolgungskurve ist eine spezielle ebene Kurve. Sie beschreibt die Bewegung eines Punktes, der einen anderen Punkt verfolgt. Beide Punkte bewegen sich dabei mit konstanter, aber nicht notwendigerweise gleicher Geschwindigkeit.

Konstruktionsprinzip der geraden Radiodrome, x und y positiv

Die „gerade Radiodrome“ beschreibt den einfachen Fall, in dem der Verfolgte sich auf einer Gerade bewegt. Pierre Bouguer beschrieb sie 1732 erstmals. Sie ist eine der Kurven, die mit dem Trivialnamen „Hundekurve“ bezeichnet werden, nach einer Formulierung der Fragestellung mit einem Hund, der seinen Herrn verfolgt. Pierre-Louis Moreau de Maupertuis erweiterte die Problematik schon bald darauf auf beliebige Leitkurven. Dies führte zur Definition der „allgemeinen Radiodrome“.

Die Kurve tritt typischerweise in Tracking-Problemen in der Robotik und dynamischen Simulationen auf (Verfolgungsprobleme).

Allgemeine Gleichung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei die Bewegung des verfolgten Punktes und die Verfolgerkurve. Dann hat man die Gleichung

für alle Zeitpunkte , wobei das Skalarprodukt bedeutet. Diese Gleichung ergibt sich aus der Gleichung

,

welche beschreibt dass die Tangente in parallel zur Geraden durch und ist (das Skalarprodukt sich also als Produkt der Längen der Vektoren ergibt) und der Bedingung .[1]

Spezielle Radiodrome[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gerade Radiodrome[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bildungsgesetz
Sei der Startpunkt eines „Verfolgten“, und der Startpunkt eines „Verfolgers“.
Wandert der Punkt mit der Geschwindigkeit auf einer Geraden, und bewegt sich der Punkt mit der Geschwindigkeit immer in Richtung des Punktes , dann durchläuft eine Radiodrome.
Funktionsgleichung in kartesischen Koordinaten
Sei weiters das Geschwindigkeitsverhältnis .
im Ursprung, auf der x-Achse, A bewege sich entlang der y-Achse. Dann bewegt sich auf der Kurve
Den zweiten Fall nennt man eigentliche Radiodrome. Sie stellt den einfachsten Spezialfall dar.

Herleitung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Für die Bewegung eines Punktes mit der Geschwindigkeit auf einem Funktionsgraphen gilt grundsätzlich: Da hier die Bewegung nach links verlaufen soll, also abnimmt, ist negativ. Soll w durch einen positiven Wert dargestellt werden, so verwendet man hier konstant.
  2. Ebenfalls grundsätzlich gilt: sowie .
  3. Nun fährt mit der konstanten Geschwindigkeit auf der -Achse nach oben, hat also zum Zeitpunkt den Wert . Dann zeigt die Tangente an den gesuchten Graphen von P auf A, und man erhält die Tangentenbedingung . Das ergibt die Differentialgleichung: .
  4. Differentiation nach liefert . Mit dem unter 2. Gesagten ergibt sich daraus , was sich zu vereinfacht.
  5. Ersetzt man nun nach 1., erhält man
  6. Die Lösung gelingt mit Integration durch die Substitution somit . Daraus folgt und durch Trennung der Variablen zu mit .
  7. Integrieren liefert (siehe arsinh), sowie Rücksubstitution und Anwenden der Definitionsformel des sinh x, mit C1 = eC, zu:
  8. Hierauf erneutes Integrieren, unter Berücksichtigung von C2 liefert:
  9. Einsetzen der Startwerte von bzw. liefern die Werte für C1 und C2.

E. W. Weisstein gibt in [2] eine geschlossene Parameterdarstellung.

Bemerkungen
  • , da
  • Ist , also , so holt der Verfolger den Verfolgten ein, der Graph hat also dort einen Schnittpunkt mit der -Achse. Ist , also , so wird nicht eingeholt, der Graph nähert sich also asymptotisch der -Achse.
  • Ist die Startrichtung nicht normal auf der Leitgeraden, so erhält man andere Randbedingungen. Der Tiefpunkt errechnet sich aus .
  • Für eine allgemeine Lage der Leitgerade ist eine geeignete Koordinatentransformation vorzunehmen.
Beispiel
Beispiel Radiodrome.JPG

werde von mit doppelter Geschwindigkeit verfolgt, also . Legt man ein Koordinatensystem mit im Ursprung und -Achse in Bewegungsrichtung von an, senkrecht dazu durch also die -Achse, so möge sich gerade in befinden. bewegt sich nun auf den Ursprung zu, die Tangente der Radiodrome hat also bei die Steigung . Dies eingesetzt in die Gleichung aus 7. liefert mit : , was auf die quadratische Gleichung mit den Lösungen bzw. führt, wobei nur die positive Lösung verwendbar ist (s. 1. Bemerkung). In die Gleichung für aus 8. eingesetzt erhält man: Einsetzen von P(9|3,75) liefert C2=5,25. Damit ergibt sich mit Bei und damit hat der Graph einen Tiefpunkt, bei und damit holt Verfolger den Verfolgten ein. Auch die Länge des von zurückgelegten Weges lässt sich leicht berechnen: mit der Stammfunktion . Der von von bis zum Tiefpunkt bei zurückgelegte Weg beträgt dann . Die dort waagerechte Tangente zeigt auf und hat die Höhe (s. o.), hat also den Weg zurückgelegt, genau die Hälfte von , da halb so schnell ist wie . Von bis legt den Weg zurück, die Hälfte, also , weshalb bei von getroffen wird.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Die Verbindungslinie von entsprechenden und ist Tangente an die Radiodrome.
  • Offensichtlich ist nicht negativ für alle , falls der Startpunkt oberhalb der -Achse liegt.

Analyse des Geschwindigkeitsparameters

:

  • Bei ist schneller als , Die Kurve nähert sich asymptotisch der -Achse: Der Verfolger ist langsamer und erreicht den Verfolgten nicht, noch kreuzt er seine Bahn.
  • Bei gleicher Geschwindigkeit () läuft der Verfolger in zunehmend gleichem Abstand hinter dem Verfolgten her: Die Kurve zeigt das Grenzwert-Verhalten einer „Traktrix“.

:

  • Es gibt genau einen Endpunkt des Graphen am linken Rand der Definitionsmenge. Der Verfolger ist schneller als der Verfolgte und erreicht jenen in endlicher Zeit. Wir nennen diesen Punkt „Treffpunkt“ oder „Fangpunkt“, die Kurve ist im Fangpunkt tatsächlich zu Ende.

Der Fall ist trivial, nämlich eine Gerade. Der Verfolger ist „unendlich“ schnell, oder der Verfolgte steht still.

Für rationales degeneriert die Funktion zu einer algebraischen Kurve – sind beispielsweise , so ist diese Kurve vom Grad .

Kreis-Radiodrome[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Kreis-Radiodrome (rot), bei der der Verfolger den Verfolgten nach einem Umlauf einholt.

Bewegt sich der „Verfolgte“ auf einer Kreislinie und startet der „Verfolger“ im Mittelpunkt, so ergibt sich eine weitere Version.

Haben Verfolgter und Verfolger die gleiche Geschwindigkeit, so wird der Verfolgte „nach unendlicher Zeit“ eingeholt, d.h. der Abstand zwischen Verfolger und Verfolgtem konvergiert gegen 0.

Falls die Verfolgerkurve eine höhere Geschwindigkeit als die verfolgte Kurve hat, wird sie diese in endlicher Zeit einholen.

Falls die Verfolgerkurve geringere Geschwindigkeit als die verfolgte Kurve hat, wird sie sich einem Kreis mit kleinerem Durchmesser annähern.[3]

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

 Commons: Curve of pursuit – Album mit Bildern, Videos und Audiodateien

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Die Verfolgerkurve soll konstante Geschwindigkeit haben und nach geeigneter Wahl der Einheiten kann man dann annehmen.
  2. MathWorld, op. cit.
  3. Michael Lloyd: Pursuit Curves, Academic Forum 24, 2006-07