Sinus Hyperbolicus und Kosinus Hyperbolicus

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Eine Gerade durch den Nullpunkt schneidet die Hyperbel im Punkt , wobei für die Fläche zwischen der Geraden, ihrem Spiegelbild bezogen auf die -Achse und der Hyperbel steht. (Siehe auch die animierte Version mit Vergleich zu den Trigonometrischen (zirkulären) Funktionen.) Die Hyperbel wird auch als Einheitshyperbel bezeichnet.

Sinus Hyperbolicus und Kosinus Hyperbolicus sind mathematische Hyperbelfunktionen, auch Hyperbelsinus bzw. Hyperbelkosinus genannt; sie tragen die Symbole bzw. , in älteren Quellen auch und [1]. Der Kosinus Hyperbolicus beschreibt unter anderem den Verlauf eines an zwei Punkten aufgehängten Seils. Sein Graph wird deshalb auch als Katenoide (Kettenlinie) bezeichnet.

Definitionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Sinus Hyperbolicus
  • Kosinus Hyperbolicus

Die Funktionen sinh und cosh sind also der ungerade bzw. gerade Anteil der Funktion ex.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sinus Hyperbolicus (rot) und Kosinus Hyperbolicus (blau) für reelle x.
  Sinus Hyperbolicus Kosinus Hyperbolicus
Definitionsbereich
Wertebereich
Periodizität keine keine
Monotonie streng monoton steigend streng monoton fallend
streng monoton steigend
Symmetrien Punktsymmetrie zum Ursprung Achsensymmetrie zur Ordinate
Asymptotische
Funktionen
Nullstellen keine
Sprungstellen keine keine
Polstellen keine keine
Extrema keine Minimum bei
Wendestellen keine

Spezielle Werte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

mit dem goldenen Schnitt

Uneigentliches Integral[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für den Kosinus Hyperbolicus gilt insbesondere:

Umkehrfunktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Sinus Hyperbolicus bildet bijektiv auf ab und hat deshalb eine Umkehrfunktion, die man Areasinus Hyperbolicus nennt.

Der Kosinus Hyperbolicus bildet das Intervall bijektiv auf das Intervall und lässt sich eingeschränkt auf also invertieren. Die Umkehrfunktion davon nennt man Areakosinus Hyperbolicus

Beide Umkehrfunktionen, Areasinus Hyperbolicus und Areakosinus Hyperbolicus, lassen sich folgendermaßen mit Hilfe von elementareren Funktionen berechnen:

.
.

Ableitungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Ableitung des Sinus Hyperbolicus ist der Kosinus Hyperbolicus und die Ableitung des Kosinus Hyperbolicus ist der Sinus Hyperbolicus:

Stammfunktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zusammenhänge (zwischen den beiden Funktionen und anderen)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

(Eulersche Identität)
(Hyperbelgleichung)

Additionstheoreme[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

insbesondere gilt für :

und für :

Summenformeln[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Reihenentwicklungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Taylorreihe des Sinus Hyperbolicus bzw. Kosinus Hyperbolicus mit dem Entwicklungspunkt lautet:

Produktentwicklungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Komplexe Argumente[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mit gilt:

So folgen beispielsweise die dritte und die vierte Gleichung auf folgende Weise:

Mit gilt

Durch Koeffizientenvergleich folgt:

Anwendungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Lösung einer Differentialgleichung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Funktion

mit

löst die Differentialgleichung

.

Kettenlinie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein homogenes Seil, das nur aufgrund seiner Eigenlast durchhängt, kann durch eine Kosinus-Hyperbolicus-Funktion beschrieben werden. Eine derartige Kurve nennt man auch Kettenlinie, Kettenkurve oder Katenoide.

Lorentz-Transformation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mit Hilfe der Rapidität kann man die Transformationsmatrix für eine spezielle Lorentztransformation (auch Lorentz-Boost) in x-Richtung folgendermaßen darstellen (für Transformationen in andere Richtungen ergeben sich ähnliche Matrizen):

Man sieht eine große Ähnlichkeit zu Drehmatrizen; man erkennt so also gut die Analogie zwischen speziellen Lorentztransformationen in der vierdimensionalen Raumzeit und Drehungen im dreidimensionalen Raum.

Kosmologie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Sinus Hyperbolicus tritt auch in der Kosmologie auf: die zeitliche Entwicklung des Skalenfaktors in einem flachen Universum, das im Wesentlichen nur Materie und Dunkle Energie enthält (was ein gutes Modell für unser tatsächliches Universum ist), wird beschrieben durch , wobei eine charakteristische Zeitskala ist ( ist dabei der heutige Wert des Hubble-Parameters, der Dichteparameter für die Dunkle Energie; die Herleitung dieses Ergebnisses findet man bei den Friedmann-Gleichungen). Bei der Zeitabhängigkeit des Dichteparameters der Materie tritt dagegen der Kosinus Hyperbolicus auf: .

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Dr. Franz Brzoska, Walter Bartsch: Mathematische Formelsammlung. 2. verbesserte Auflage. Fachbuchverlag Leipzig, 1956.