Sinus Hyperbolicus und Kosinus Hyperbolicus

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Eine Gerade durch den Nullpunkt schneidet die Hyperbel x^2 - y^2 = 1 im Punkt (\cosh\,A,\sinh\,A), wobei A für die Fläche zwischen der Geraden, ihrem Spiegelbild bezogen auf die x-Achse und der Hyperbel steht. (Siehe auch die animierte Version mit Vergleich zu den Trigonometrischen (zirkulären) Funktionen.) Die Hyperbel wird auch als Einheitshyperbel bezeichnet.

Sinus Hyperbolicus und Kosinus Hyperbolicus sind mathematische Hyperbelfunktionen, auch Hyperbelsinus bzw. Hyperbelkosinus genannt; sie tragen die Symbole \sinh bzw. \cosh, in älteren Quellen auch \mathfrak{Sin} und \mathfrak{Cos}[1]. Der Kosinus Hyperbolicus beschreibt unter anderem den Verlauf eines an zwei Punkten aufgehängten Seils. Sein Graph wird deshalb auch als Katenoide (Kettenlinie) bezeichnet.

Definitionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Sinus Hyperbolicus
\sinh x = \frac{1}{2} \left( e^x - e^{-x} \right) = -i\,\sin(i\,x)
  • Kosinus Hyperbolicus
\cosh x =  \frac{1}{2} \left( e^x + e^{-x} \right) = \cos(i\,x)

Die Funktionen sinh und cosh sind also der ungerade bzw. gerade Anteil der Funktion ex.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sinus Hyperbolicus (rot) und Kosinus Hyperbolicus (blau) für reelle x.
  Sinus Hyperbolicus Kosinus Hyperbolicus
Definitionsbereich  - \infty < x < + \infty  - \infty < x < + \infty
Wertebereich  - \infty < f(x) < + \infty  1 \le f(x) < + \infty
Periodizität keine keine
Monotonie streng monoton steigend -\infty < x \leq 0 streng monoton fallend
0 \leq x < \infty streng monoton steigend
Symmetrien Punktsymmetrie zum Ursprung Achsensymmetrie zur Ordinate
Asymptotische
Funktionen
 a_1(x) = \frac{1}{2}e^{\ x},\quad x\to\infty  a_1(x) = \frac{1}{2}e^{\ x},\quad x\to\infty
 a_2(x) = -\frac{1}{2}e^{\ -x},\quad x\to -\infty  a_2(x) = \frac{1}{2}e^{\ -x},\quad x\to -\infty
Nullstellen  x = 0 keine
Sprungstellen keine keine
Polstellen keine keine
Extrema keine Minimum bei x = 0
Wendestellen  x = 0 keine

Spezielle Werte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

\sinh(\ln\Phi) = \tfrac12 mit dem goldenen Schnitt \Phi

Uneigentliches Integral[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für den Kosinus Hyperbolicus gilt insbesondere:

 \int \limits_{-\infty}^\infty \frac{\mathrm dx}{\cosh x} = \pi.

Umkehrfunktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Sinus Hyperbolicus bildet \mathbb{R} bijektiv auf \mathbb{R} ab und hat deshalb eine Umkehrfunktion, die man Areasinus Hyperbolicus nennt.

Der Kosinus Hyperbolicus bildet das Intervall [0,+\infty[ bijektiv auf das Intervall [1,+\infty[ und lässt sich eingeschränkt auf [0,+\infty[ also invertieren. Die Umkehrfunktion davon nennt man Areakosinus Hyperbolicus

Beide Umkehrfunktionen, Areasinus Hyperbolicus und Areakosinus Hyperbolicus, lassen sich folgendermaßen mit Hilfe von elementareren Funktionen berechnen:

\operatorname{arsinh} x = \ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\ .
\operatorname{arcosh} x = \ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)\ .

Ableitungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Ableitung des Sinus Hyperbolicus ist der Kosinus Hyperbolicus und die Ableitung des Kosinus Hyperbolicus ist der Sinus Hyperbolicus:


\begin{align}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \sinh x  & = \cosh x\\
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \cosh x  & = \sinh x
\end{align}

Stammfunktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]


\begin{align}
\int \sinh x \, dx &= \cosh x + C\\
\int \cosh x \, dx &= \sinh x + C
\end{align}

Zusammenhänge (zwischen den beiden Funktionen und anderen)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

\cosh^2 x \!\; - \sinh^2 x = 1
\cosh x \,\; + \sinh x \,\,= e^{x} (Eulersche Identität)
\cosh({\rm arsinh}(x)) = \sqrt{x^2 + 1}
\sinh({\rm arcosh}(x)) = \sqrt{x^2 - 1} (Hyperbelgleichung)

Additionstheoreme[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]


\begin{align}
\sinh(x\pm y) &= \sinh x \cosh y \pm \cosh x \sinh y\\
\cosh(x\pm y) &= \cosh x \cosh y \pm \sinh x \sinh y
\end{align}

insbesondere gilt für y := x:


\begin{align}
\sinh 2x &= 2\cdot\sinh x \cosh x\ \\
\cosh 2x &= \cosh^2 x + \sinh^2 x = 2\cdot \cosh^2 x - 1 = 2\cdot \sinh^2 x + 1
\end{align}

und für y := 2x:


\begin{align}
\sinh 3x &= 4\cdot \sinh^3 x +3 \sinh x\ \\
\cosh 3x &= 4\cdot \cosh^3 x -3 \cosh x
\end{align}

Summenformeln[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]


\begin{align}
\sinh x \pm \sinh y & = 2 \sinh \frac{x\pm y}2 \cosh\frac{x\mp y}2 \\
\cosh x + \cosh y & = 2 \cosh \frac{x + y}2 \cosh\frac{x-y}2 \\
\cosh x - \cosh y & = 2 \sinh \frac{x + y}2 \sinh\frac{x-y}2
\end{align}

Reihenentwicklungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Taylorreihe des Sinus Hyperbolicus bzw. Kosinus Hyperbolicus mit dem Entwicklungspunkt x=0 lautet:


\begin{align}
\sinh x &= \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x+ \frac{x^3}{3!} + \frac {x^5}{5!} + \dotsb\\
\cosh x &= \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n}} {(2n)!} = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \dotsb
\end{align}

Produktentwicklungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]


\begin{align}
&\sinh x = x\cdot \prod_{k=1}^\infty \left(1+\frac{x^2}{(k\pi)^2}\right)
\qquad\qquad\quad\\
&\sinh \pi x = \pi x\cdot\prod_{k=1}^\infty \left(1+\frac{x^2}{k^2}\right)\\
&\cosh x = \prod_{k=1}^\infty \left( 1 + \frac{4 x^2} {(2k - 1)^2 \pi^2} \right)
\end{align}

Komplexe Argumente[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mit x,y \in \mathbb{R} gilt:


\begin{align}
\sinh(x+iy) &= \cos y \cdot \sinh x + i \cdot \sin y \cdot \cosh x\\
\cosh(x+iy) &= \cos y \cdot \cosh x + i \cdot \sin y \cdot \sinh x\\
\sin(x+iy) &= \sin x \cdot \cosh y + i \cdot \cos x \cdot \sinh y\\
\cos(x+iy) &= \cos x \cdot \cosh y - i \cdot \sin x \cdot \sinh y\\
\end{align}

So folgen beispielsweise die dritte und die vierte Gleichung auf folgende Weise:

Mit z = x+i y gilt


\begin{align}
\exp(iz) &= \cos(x+iy) + i \cdot \sin(x+iy)\\
&= \exp(i \cdot (x+i \cdot y))\\
&= \exp(i \cdot x) \cdot \exp(i \cdot (i \cdot y))\\
&=(\cos(x) \cos(iy)- \sin(x) \sin(iy))+i \cdot ( \cos(x) \sin(iy) + \sin(x) \cos(iy) )\\
&=(\cos(x) \cosh(y)- i \cdot \sin(x) \sinh(y))+i \cdot ( \sin(x) \cosh(y) + i \cdot \cos(x) \sinh(y) )\\

\end{align}

Durch Koeffizientenvergleich folgt:


\begin{align}

\cos(x+iy) &= \cos(x) \cosh(y)- i \cdot \sin(x) \sinh(y) \\
\sin(x+iy) &= \sin(x) \cosh(y) + i \cdot \cos(x) \sinh(y) \\

\end{align}

Anwendungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Lösung einer Differentialgleichung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Funktion

f(x)=a \cdot \sinh(x)+b \cdot \cosh(x) mit  a,b \in \mathbb{R}

löst die Differentialgleichung

f''(x) - f(x) = 0\ .

Kettenlinie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein homogenes Seil, das nur aufgrund seiner Eigenlast durchhängt, kann durch eine Kosinus-Hyperbolicus-Funktion beschrieben werden. Eine derartige Kurve nennt man auch Kettenlinie, Kettenkurve oder Katenoide.

Lorentz-Transformation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mit Hilfe der Rapidität \lambda kann man die Transformationsmatrix für eine spezielle Lorentztransformation (auch Lorentz-Boost) in x-Richtung folgendermaßen darstellen (für Transformationen in andere Richtungen ergeben sich ähnliche Matrizen):


L = \begin{pmatrix}
 \cosh \lambda & -\sinh \lambda & 0 & 0\\
-\sinh \lambda &  \cosh \lambda & 0 & 0\\
 0 & 0 & 1 & 0\\
 0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}

Man sieht eine große Ähnlichkeit zu Drehmatrizen; man erkennt so also gut die Analogie zwischen speziellen Lorentztransformationen in der vierdimensionalen Raumzeit und Drehungen im dreidimensionalen Raum.

Kosmologie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Sinus Hyperbolicus tritt auch in der Kosmologie auf: die zeitliche Entwicklung des Skalenfaktors in einem flachen Universum, das im Wesentlichen nur Materie und Dunkle Energie enthält (was ein gutes Modell für unser tatsächliches Universum ist), wird beschrieben durch a(t) = \left(\sqrt{\frac{1-\Omega_{\Lambda,0}}{\Omega_{\Lambda,0}}} \sinh(t/t_{ch})\right)^{2/3}, wobei t_{ch} = \frac{2}{3 \sqrt{\Omega_{\Lambda,0}} H_0} eine charakteristische Zeitskala ist (H_0 ist dabei der heutige Wert des Hubble-Parameters, \Omega_{\Lambda,0} der Dichteparameter für die Dunkle Energie; die Herleitung dieses Ergebnisses findet man bei den Friedmann-Gleichungen). Bei der Zeitabhängigkeit des Dichteparameters der Materie tritt dagegen der Kosinus Hyperbolicus auf: \Omega_M(t) = \cosh^{-2}(t/t_{ch}) .

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1.  Dr. Franz Brzoska, Walter Bartsch: Mathematische Formelsammlung. 2. verbesserte Auflage. Fachbuchverlag Leipzig, 1956.