Rational elliptische Funktionen

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Darstellung der rational elliptischen Funktionen zwischen und für die Ordnungen 1, 2, 3 und 4 mit dem Selektivfaktor .

Die Rational elliptische Funktionen stellen in der Mathematik eine Reihe von rationalen Funktionen mit reellen Faktoren dar. Sie werden zum Entwurf von Übertragungsfunktionen bei Cauer-Filtern in der elektronischen Signalverarbeitung verwendet.

Eine bestimmte rational elliptische Funktion wird durch ihre Ordnung und einem reellen Selektivfaktor charakterisiert. Formal sind die rational elliptischen Funktionen mit dem Parameter definiert als:

,

wobei die Funktion eine abgeleitete jacobische elliptische Funktion, bestehend aus den cosinus amplitudinis und den delta amplitudinis darstellt. steht für das elliptische Integral erster Art und stellt einen Diskriminierungsfaktor dar, welcher für gleich dem kleinsten Betragswert von ist.

Ausdruck als rationale Funktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für Ordnungen in der Form , mit und nichtnegativ ganzzahlig, können die rational elliptische Funktionen durch analytische Funktionen ausgedrückt werden.

Für gerade Ordnung können die rational elliptischen Funktionen in diesen Fällen als Quotient zweier Polynome, beide mit Ordnung , ausgedrückt werden als:

     ( gerade)

mit den Nullstellen und den Polstellen . Der Faktor wird so gewählt, dass gilt.

Für ungerade Ordnung ergibt sich ein Pol bei und eine Nullstelle bei , womit rational elliptischen Funktionen bei ungerader Ordnung in der Form

     ( ungerade)

ausgedrückt werden können.

Damit lassen sich die ersten Ordnungen der rational elliptische Funktionen formulieren:

, mit .
, mit , ,

Weitere Ordnungen lassen sich dann mittels niedriger Ordnungen mittels der Verschachtelungseigenschaft bilden:

, keine rationale Funktion.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Normalisierung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Alle rational elliptische Funktionen sind bei auf normiert:

.

Verschachtelung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bei der Eigenschaft der Verschachtelung gilt:

.

Aus der Eigenschaft zur Verschachtelung folgt unmittelbar die obige Regel zur Angabe von bestimmten Ordnungen als rationale Funktion, da sich und als geschlossener analytischer Ausdruck angeben lassen. Damit lassen sich alle Ordnungen in Form von analytischen Funktionen angeben.

Grenzwerte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Grenzwerte der rational elliptische Funktionen für lassen sich als Tschebyschow-Polynome erster Art ausdrücken:

.

Symmetrie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es gilt allgemein:

für gerade ,
für ungerades .

Welligkeit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

hat eine einheitliche Welligkeit von im Intervall .

Kehrwert[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es gilt allgemein

.

Die bedeutet, dass die Pole und Nullstellen paarweise auftreten müssen und der Beziehung

genügen müssen. Ungerade Ordnungen weisen somit eine Nullstelle bei und eine Polstelle bei Unendlich auf.

Quellen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Max Koecher, Aloys Krieg: Elliptische Funktionen und Modulformen. 2. Auflage. Springer, 2007, ISBN 978-3-540-49324-2.