Jacobische elliptische Funktion

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In der Mathematik ist eine Jacobische elliptische Funktion eine von zwölf speziellen elliptischen Funktionen. Die Jacobischen elliptischen Funktionen haben einige Analogien zu den trigonometrischen Funktionen und finden zahlreiche Anwendungen in der mathematischen Physik, bei elliptischen Filtern und in der Geometrie, insbesondere für die Pendelgleichung und die Bogenlänge einer Ellipse. Carl Gustav Jakob Jacobi führte sie um 1830 ein. Carl Friedrich Gauß hatte jedoch schon 1796 mit dem lemniskatischen Sinus und Kosinus zwei spezielle Jacobische Funktionen untersucht, seine Notizen darüber aber nicht veröffentlicht. Für die allgemeine Theorie der elliptischen Funktionen spielen heute jedoch weniger die Jacobischen als vielmehr die Weierstraßschen elliptischen Funktionen eine Rolle.

Die drei grundlegenden Jacobischen Funktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es gibt zwölf Jacobische elliptische Funktionen, von denen sich neun aus drei grundlegenden Funktionen bilden lassen. Gegeben sei ein Parameter , der elliptische Modul, der der Ungleichung genügt. Er wird oft auch als angegeben, wobei , oder als modularer Winkel , wobei . Daneben werden oft die sogenannten komplementären Parameter sowie verwendet. Die drei grundlegenden Jacobischen elliptischen Funktionen sind dann

  • der sinus amplitudinis ,
  • der cosinus amplitudinis ,
  • das delta amplitudinis .

Sie sind elliptische Funktionen und haben dementsprechend zwei Perioden. Insgesamt gelten für sie die folgenden Eigenschaften:

Funktion Perioden Nullstelle Polstelle
n und m sind ganze Zahlen

Hierbei hängen die reellen Zahlen und mit dem Parameter über die elliptischen Integrale

zusammen. So hat beispielsweise Nullstellen bei und sowie Polstellen bei und .

Speziell für ergeben die drei grundlegenden Jacobischen Funktionen die von Gauß eingeführten lemniskatischen Sinus- und Kosinusfunktionen wie folgt:

Für die Grenzfälle und ergeben die Jacobi-Funktionen die (nichtelliptischen) trigonometrischen Funktionen bzw. Hyperbelfunktionen:

Funktion k=0 k=1

Definitionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es gibt mehrere äquivalente Definitionen der Jacobischen Funktionen.

Abstrakte Definition als spezielle meromorphe Funktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hilfskonstruktion

Gegeben seien als freie Parameter der elliptische Modul mit und die wie oben davon abhängenden reellen Zahlen und mit

Ferner sei ein Rechteck mit den Seitenlängen und in der komplexen Ebene mit den Ecken gegeben, dessen Ecke im Ursprung liege. Die Seiten der Länge seien dabei parallel zur reellen Achse, die der Länge parallel zur imaginären Achse. Die Ecke sei der Punkt der Punkt und der Punkt auf der imaginären Achse. Die zwölf Jacobischen elliptischen Funktionen bilden sich dann aus einer Buchstabenkombination , wobei und jeweils einer der Buchstaben sind.

Eine Jacobische elliptische Funktion ist dann die eindeutige doppelt-periodische meromorphe Funktion, die folgende drei Eigenschaften erfüllt:

  • Die Funktion hat bei eine einfache Nullstelle und bei eine einfache Polstelle.
  • Die Funktion ist periodisch in Richtung , wobei die Periode die doppelte Entfernung von nach ist. Ähnlich ist periodisch in den beiden anderen Richtungen, jedoch mit einer Periode, die dem Vierfachen der Entfernung von zu dem anderen Punkt entspricht.
  • Wird die Funktion um den Eckpunkt entwickelt, so lautet der führende Term einfach (mit dem Koeffizienten 1), der führende Term der Entwicklung um den Punkt ist , und der führende Term der Entwicklung um die beiden anderen Eckpunkte ist jeweils 1.

Definition als Umkehrfunktionen elliptischer Integrale[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die obige Definition als eindeutige meromorphe Funktion ist sehr abstrakt. Äquivalent kann eine Jacobische elliptische Funktion als eindeutige Umkehrfunktion des unvollständigen elliptischen Integrals erster Art definiert werden. Dies ist die übliche und vielleicht verständlichste Definition. Sei ein gegebener Parameter mit , und sei

also . Dann sind die Jacobischen elliptischen Funktionen und gegeben durch

und

Der Winkel ist dabei die Amplitude, für heißt er Delta-Amplitude. Ferner genügt der freie Parameter der Ungleichung . Für ist die Viertelperiode .

Die anderen neun Jacobischen elliptischen Funktionen werden aus diesen drei grundlegenden gebildet, siehe nächsten Abschnitt.

Definition mit Hilfe der Theta-Funktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine weitere Definition der Jacobi-Funktionen verwendet die Thetafunktionen.

Wenn der Modul k reell ist und die Ungleichung 0 < k < 1 gilt, dann gelten folgende Formeln[1] für die drei grundlegenden Jacobischen Funktionen:

Dabei gilt für das vollständige elliptische Integral erster Art:

Die Funktion q(k) ist das sogenannte elliptische Nomen von k:

Die Thetafunktionswerte können auf diese Weise berechnet werden:

Die abgeleiteten Jacobi-Funktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Üblicherweise werden die Kehrwerte der drei grundlegenden Jacobi-Funktionen durch die Umkehrung der Buchstabenreihenfolge bezeichnet, also:

Die Verhältnisse der drei grundlegenden Jacobi-Funktionen werden durch den jeweils ersten Buchstaben des Zählers und des Nenners bezeichnet, also:

Verkürzt können wir also schreiben

wobei und jeweils einer der Buchstaben sind und gesetzt wird.

Additionstheoreme[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Jacobi-Funktionen genügen den beiden algebraischen Beziehungen

Somit parametrisieren eine elliptische Kurve, die die Schnittmenge der beiden durch die obigen Gleichungen definierten Quadriken darstellt. Ferner können wir mit den Additionstheoremen ein Gruppengesetz für Punkte auf dieser Kurve definieren:

Durch Zusatz der Funktion cd(x;k) = cn(x;k)/dn(x;k) = sn[K(k)-x;k] kann auch folgendes Paar an Theoremen formuliert werden:

Mit folgendem Theorem können arithmetische Mittlungen durchgeführt werden:

Modultransformationen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Jacobi-Funktionen eines Moduls können durch Jacobi-Funktionen eines anderen Moduls dargestellt werden.

Quadratische Beziehungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

mit . Weitere quadratische Beziehungen können mit und gebildet werden, wobei und jeweils einer der Buchstaben sind und gesetzt wird.

Weitere Beziehungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Diese Formeln stellen die Beziehungen der Jacobi-Funktionswerte für verdoppelte und verdreifachte Werte dar:

Werte der Jacobi-Funktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mit den Additionstheoremen können folgende Beziehungen hergeleitet werden:

Für die Halbierung von K:

und und

Für die Dreiteilung von K:

Für die Fünfteilung von K:

Die Gleichung wird durch folgenden Ausdruck gelöst:

und
und

Entwicklung als Lambert-Reihe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mit (auf engl. nome) und dem Argument können die Funktionen in eine Lambert-Reihe entwickelt werden:

Die elliptischen Jacobi-Funktionen als Lösungen nichtlinearer Differentialgleichungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Ableitungen der drei grundlegenden elliptischen Jacobi-Funktionen lauten:

Mit den obigen Additionstheoremen sind sie daher für ein gegebenes mit Lösungen der folgenden nichtlinearen Differentialgleichungen:

  • löst und
  • löst und
  • löst und

Anwendungsbeispiele aus der Physik[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Schwingungsgleichung für das mathematische Pendel lässt sich für große Ausschlagswinkel über die Jacobi-Funktionen darstellen. Gegeben ist die Differentialgleichung:

Die Lösung für diese Differentialgleichung lautet wie folgt:

Der maximale Ausschlagswinkel sollte weniger als 90° betragen.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Derivative of the Jacobi theta function: Introduction to the Jacobi theta functions. Abgerufen am 20. Juli 2021.