Elliptisches Integral

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Graph der elliptischen Integrale erster Art in Legendre-Form für verschiedene Parameter
Graph der elliptischen Integrale zweiter Art in Legendre-Form für verschiedene Parameter

Ein elliptisches Integral ist ein Integral vom Typ

wobei eine rationale Funktion in zwei Variablen und ein Polynom dritten oder vierten Grades ohne mehrfache Nullstelle ist. Das Integral heißt elliptisch, weil Integrale dieser Form bei der Berechnung des Umfangs von Ellipsen und der Oberfläche von Ellipsoiden auftreten.

Elliptische Integrale lassen sich im Allgemeinen nicht durch elementare Funktionen darstellen, sie können aber durch Umformungen in eine Summe von elementaren Funktionen und Integralen der unten beschriebenen Form überführt werden. Diese Integrale heißen elliptische Integrale erster, zweiter und dritter Art.

I. Art:

II. Art:

III. Art:

Dabei ist Durch die Substitution werden diese Integrale auf die Legendre-Form gebracht:

I. Art:

II. Art:

III. Art:

Zum Teil wird in der Literatur auch der Parameter statt in den Funktionsaufruf eingesetzt und der Definitionsbereich auf erweitert.

Vollständige elliptische Integrale[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Graph der vollständigen elliptischen Integrale und

Die Integrale mit unterer Integralgrenze 0 nennt man unvollständige elliptische Integrale. Ist zusätzlich die obere Integralgrenze , spricht man im Falle der I. und II. Art von vollständigen elliptischen Integralen:

Die Werte dieser Integrale sind tabelliert. Sie lassen sich auch mit Hilfe von Potenzreihen berechnen.[1]

Darstellung per AGM-Algorithmus[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Neben den Potenzreihen existiert weiterhin eine Darstellung als Grenzwert des iterierten arithmetisch-geometrischen Mittelwertes (AGM-Algorithmus). Im Folgenden stellen den arithmetischen Mittelwert, den geometrischen Mittelwert und eine Hilfsvariable dar. Die Anfangswerte sind wie angegeben durch das Argument definiert.

Ableitung erster Ordnung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Umkehrfunktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Umkehrfunktionen oder algebraische Funktionen von Umkehrfunktionen der elliptischen Integrale heißen elliptische Funktionen. Sie sind mit den trigonometrischen Funktionen verwandt.

Numerische Auswertung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die elliptischen Integrale können mit Hilfe des oben genannten arithmetisch-geometrischen Mittelwertes effizient berechnet werden. Sie können auch zur Auswertung in die symmetrische Carlson-Form überführt werden.[2] Eine Annäherung mit Hilfe von gebrochenrationalen Funktionen höherer Ordnung ist auch möglich.[3]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Louis Vessot King: On the direct numerical calculation of elliptic functions and integrals. Cambridge University Press, 1924, archive.org.
  • Jonathan M. Borwein, Peter B. Borwein: Pi and the AGM. A study in analytical Number Theory and Computational Complexity. John Wiley & Sons, 1987.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Siehe Eric W. Weisstein: Complete Elliptic Integral of the First Kind. In: MathWorld (englisch). Die Form ohne das !!-Symbol stammt aus:
    Bronstein, Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik. Frankfurt/Main 1991, S. 223.
  2. W. H. Press, S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling, B. P. Flannery: Section 6.12. Elliptic Integrals and Jacobian Elliptic Functions. In: Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing, 3. Auflage, Cambridge University Press, New York 2007, ISBN 978-0-521-88068-8.
  3. Cephes Mathematical Library.