Elliptisches Integral

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Ein Elliptisches Integral ist ein Integral vom Typ

 \int R \left(x,\sqrt{P(x)} \right) \mathrm dx ,

wobei R eine rationale Funktion in zwei Variablen und P(x) ein Polynom dritten oder vierten Grades ohne mehrfache Nullstelle ist. Das Integral heißt elliptisch, weil Integrale dieser Form bei der Berechnung des Umfangs von Ellipsen und der Oberfläche von Ellipsoiden auftreten.

Elliptische Integrale lassen sich im Allgemeinen nicht durch elementare Funktionen darstellen, sie können aber durch Umformungen in eine Summe von elementaren Funktionen und Integralen der unten beschriebenen Form überführt werden. Diese Integrale heißen elliptische Integrale erster, zweiter und dritter Art.

I. Art  : \int \frac {\mathrm dx}{\sqrt{(1 - x^2)(1 - k^2x^2)}}

II. Art : \int \sqrt {\frac {1 - k^2x^2}{1 - x^2}}\, \mathrm dx

III. Art: \int \frac {\mathrm dx}{(1 - nx^2) \sqrt {(1 - x^2)(1 - k^2x^2)}}

Dabei ist 0 < k < 1 . Durch die Substitution  x = \sin\vartheta werden diese Integrale auf die Legendre-Form gebracht:

I. Art  : F(\varphi,k) = \int_0^\varphi \frac {\mathrm d\vartheta}{\sqrt{1 - k^2(\sin\vartheta)^2}}

II. Art : E(\varphi,k) = \int_0^\varphi \sqrt {1 - k^2(\sin\vartheta)^2}\, \mathrm d\vartheta

III. Art: \Pi(\varphi,n,k) = \int_0^\varphi \frac {\mathrm d\vartheta}{(1 - n(\sin\vartheta)^2) \sqrt {1 - k^2(\sin\vartheta)^2}}

Die Integrale mit unterer Integralgrenze 0 nennt man unvollständige elliptische Integrale. Ist zusätzlich die obere Integralgrenze \pi/2, spricht man im Falle der I. und II. Art von vollständigen elliptischen Integralen,

K(k) = F(\tfrac{\pi}{2},k),
E(k) = E(\tfrac{\pi}{2},k),
\Pi(n,k) = \Pi(\tfrac{\pi}{2},n,k).

Die Werte dieser Integrale sind tabelliert.

Umkehrfunktionen oder algebraische Funktionen von Umkehrfunktionen der elliptischen Integrale heißen elliptische Funktionen. Sie sind in bestimmter Weise den trigonometrischen Funktionen verwandt.

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