Tschebyschow-Polynom

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Tschebyschow-Polynome erster Art und zweiter Art sind Folgen orthogonaler Polynome, die bedeutende Anwendungen in der Polynominterpolation, in der Filtertechnik und in anderen Gebieten der Mathematik haben. Sie sind benannt nach Pafnuti Lwowitsch Tschebyschow, dessen Name in der Literatur auch als Tschebyscheff, Tschebycheff, Tschebyschew, Tschebyschev oder Chebychev transkribiert wird.

Tschebyschow-Polynome erster Art sind Lösung der Tschebyschow-Differentialgleichung

und Tschebyschow-Polynome zweiter Art sind Lösung von

Beide Differentialgleichungen sind spezielle Fälle der Sturm-Liouvilleschen Differentialgleichung.

Tschebyschow-Polynome erster Art[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Funktionen

und

bilden ein Fundamentalsystem für die Tschebyschow-Differentialgleichung.

Tschebyschow-Polynome erster Art der Ordnung 0 bis 5.

Für ganzzahlige bricht jeweils eine dieser Reihen nach endlich vielen Gliedern ab, für gerade und für ungerade , und man erhält Polynome als Lösung. Mit der Normierung werden diese als Tschebyschow-Polynome bezeichnet. Die ersten neun Polynome dieser Art sind:

Sie können in allgemeiner Weise aus dem rekursiven Zusammenhang

berechnet werden. Mit Hilfe der trigonometrischen Funktionen bzw. der Hyperbelfunktionen sind die Tschebyschow-Polynome darstellbar als

oder

und auch

[1].

Die Nullstellen des Tschebyschow-Polynoms sind gegeben durch

Tschebyschow-Polynome sind im geschlossenen Intervall orthogonal bezüglich des gewichteten Skalarproduktes

Man kann sich diese daher auch über das Gram-Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren (mit Normierung) herleiten.

Anwendungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In der Filtertechnik werden die Tschebyschow-Polynome bei den Tschebyscheff-Filtern verwendet. Bei der Polynominterpolation zeichnen sich diese Polynome durch einen sehr günstigen, gleichmäßigen Fehlerverlauf aus. Dazu sind als Interpolationsstellen die geeignet verschobenen Nullstellen des Tschebyschow-Polynoms passenden Grades zu verwenden. Wegen ihrer Minimalität bilden sie auch die Grundlage für die Tschebyschow-Iteration und für Fehlerschranken bei Krylow-Unterraum-Verfahren für Lineare Gleichungssysteme.

Tschebyschow-Polynome zweiter Art[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Tschebyschow-Polynome zweiter Art der Ordnung 0 bis 5.

Auch die Tschebyschow-Polynome zweiter Art werden über eine rekursive Bildungsvorschrift definiert:

bemerkenswerterweise mit derselben Rekursionsbeziehung wie die . Und diese Rekursionsbeziehung gilt mit

 

auch für .

Die erzeugende Funktion für ist:

Die ersten acht Polynome dieser Art sind:

Mit Hilfe der trigonometrischen Funktionen sind die Tschebyschow-Polynome zweiter Art zunächst nur für darstellbar als

wegen der stetigen Hebbarkeit an diesen Stellen aber für alle . Diese Formel hat große strukturelle Ähnlichkeit zum Dirichlet-Kern :

Nimmt man Hyperbelfunktionen mit hinzu, dann ist für

Tschebyschow-Polynome sind im abgeschlossenen Intervall orthogonal bezüglich des gewichteten Skalarproduktes

Historie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Erstmals veröffentlichte Tschebyschow seine Untersuchungen zu den Tschebyschow-Polynomen 1859 und 1881[2] in folgenden Aufsätzen:

  • Sur les questions de minima qui se rattachent a la représentation approximative des fonctions, 1859, Oeuvres Band I, Seite 273–378
  • Sur les fonctions qui s'écartent peu de zéro pour certaines valeurs de la variable, 1881, Oeuvres Band II, Seite 335–356

Clenshaw-Algorithmus[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Clenshaw-Algorithmus

In der numerischen Mathematik werden Linearkombinationen von Tschebyschow-Polynomen mit dem Clenshaw-Algorithmus ausgewertet.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Il'ja N, Bronstein, Konstantin A, Semendjajew, Gerhard Musiol, Heiner Mühlig: Taschenbuch der Mathematik. 5., überarbeitete und erweiterte Auflage. Unveränderter Nachdruck. Harri Deutsch, Thun u. a. 2001, ISBN 3-8171-2005-2.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Leçons sur l'approximation des fonctions d'une variable réellehttp://vorlage_digitalisat.test/1%3D~GB%3D~IA%3Dleonssurlappro00lavauoft~MDZ%3D%0A~SZ%3D~doppelseitig%3D~LT%3D%27%27Le%C3%A7ons%20sur%20l%27approximation%20des%20fonctions%20d%27une%20variable%20r%C3%A9elle%27%27~PUR%3D Paris, Gauthier-Villars, 1919, 1952. Seite 64
  2. Elliot Ward Cheney: Introduction to Approximation Theory, McGraw-Hill Book Company, 1966, Library of Congress Catalog Card Number 65-25916, ISBN 007-010757-2, Seite 225

Quellen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]