Tschebyschow-Polynome erster Art
T
n
(
x
)
{\displaystyle T_{n}(x)}
U
n
(
x
)
{\displaystyle U_{n}(x)}
orthogonaler Polynome , die bedeutende Anwendungen in der Polynominterpolation , in der Filtertechnik und in anderen Gebieten der Mathematik haben.
Sie sind benannt nach Pafnuti Lwowitsch Tschebyschow , dessen Name in der Literatur auch als Tschebyscheff, Tschebycheff, Tschebyschew, Tschebyschev, Chebyshev oder Chebychev transkribiert wird.
Tschebyschow-Polynome erster Art sind Lösung der Tschebyschow-Differentialgleichung
(
1
−
x
2
)
y
″
−
x
y
′
+
n
2
y
=
0
,
{\displaystyle \left(1-x^{2}\right)\,y''-x\,y'+n^{2}\,y=0,}
und Tschebyschow-Polynome zweiter Art sind Lösung von
(
1
−
x
2
)
y
″
−
3
x
y
′
+
n
(
n
+
2
)
y
=
0.
{\displaystyle \left(1-x^{2}\right)\,y''-3x\,y'+n(n+2)\,y=0.}
Beide Differentialgleichungen sind spezielle Fälle der Sturm-Liouvilleschen Differentialgleichung .
Die Funktionen
y
g
(
x
)
=
1
+
∑
p
=
1
∞
∏
k
=
0
p
−
1
(
(
2
k
)
2
−
n
2
)
(
2
p
)
!
x
2
p
=
1
+
∑
p
=
1
∞
(
−
1
)
p
∏
k
=
0
p
−
1
(
n
2
−
(
2
k
)
2
)
(
2
p
)
!
x
2
p
=
1
−
n
2
2
!
x
2
+
n
2
(
n
2
−
4
)
4
!
x
4
−
n
2
(
n
2
−
4
)
(
n
2
−
16
)
6
!
x
6
±
⋯
{\displaystyle {\begin{aligned}y_{g}(x)&=1+\sum _{p=1}^{\infty }{\frac {\prod _{k=0}^{p-1}\left(\left(2k\right)^{2}-n^{2}\right)}{(2p)!}}x^{2p}=1+\sum _{p=1}^{\infty }(-1)^{p}{\frac {\prod _{k=0}^{p-1}\left(n^{2}-\left(2k\right)^{2}\right)}{(2p)!}}x^{2p}\\&=1-{n^{2} \over 2!}\,x^{2}+{n^{2}\,\left(n^{2}-4\right) \over 4!}\,x^{4}-{n^{2}\,(n^{2}-4)\,\left(n^{2}-16\right) \over 6!}\,x^{6}\pm \cdots \end{aligned}}}
und
y
u
(
x
)
=
x
+
∑
p
=
1
∞
∏
k
=
0
p
−
1
(
(
2
k
+
1
)
2
−
n
2
)
(
2
p
+
1
)
!
x
2
p
+
1
=
x
+
∑
p
=
1
∞
(
−
1
)
p
∏
k
=
0
p
−
1
(
n
2
−
(
2
k
+
1
)
2
)
(
2
p
+
1
)
!
x
2
p
+
1
=
x
−
n
2
−
1
3
!
x
3
+
(
n
2
−
1
)
(
n
2
−
9
)
5
!
x
5
∓
⋯
{\displaystyle {\begin{aligned}y_{u}(x)&=x+\sum _{p=1}^{\infty }{\frac {\prod _{k=0}^{p-1}\left(\left(2k+1\right)^{2}-n^{2}\right)}{(2p+1)!}}x^{2p+1}=x+\sum _{p=1}^{\infty }(-1)^{p}{\frac {\prod _{k=0}^{p-1}\left(n^{2}-\left(2k+1\right)^{2}\right)}{\left(2p+1\right)!}}x^{2p+1}\\&=x-{n^{2}-1 \over 3!}\,x^{3}+{\left(n^{2}-1\right)\,\left(n^{2}-9\right) \over 5!}\,x^{5}\mp \cdots \end{aligned}}}
bilden ein Fundamentalsystem für die Tschebyschow-Differentialgleichung.
Tschebyschow-Polynome erster Art der Ordnung 0 bis 5 Für ganzzahlige
n
{\displaystyle n}
Reihen nach endlich vielen Gliedern ab,
y
g
(
x
)
{\displaystyle y_{g}(x)}
y
u
(
x
)
{\displaystyle y_{u}(x)}
n
{\displaystyle n}
T
n
(
1
)
=
1
{\displaystyle T_{n}(1)=1}
T
n
(
x
)
{\displaystyle T_{n}(x)}
T
0
(
x
)
=
1
T
1
(
x
)
=
x
T
2
(
x
)
=
2
x
2
−
1
T
3
(
x
)
=
4
x
3
−
3
x
T
4
(
x
)
=
8
x
4
−
8
x
2
+
1
T
5
(
x
)
=
16
x
5
−
20
x
3
+
5
x
T
6
(
x
)
=
32
x
6
−
48
x
4
+
18
x
2
−
1
T
7
(
x
)
=
64
x
7
−
112
x
5
+
56
x
3
−
7
x
T
8
(
x
)
=
128
x
8
−
256
x
6
+
160
x
4
−
32
x
2
+
1
{\displaystyle {\begin{aligned}T_{0}(x)&=1\\T_{1}(x)&=x\\T_{2}(x)&=2x^{2}-1\\T_{3}(x)&=4x^{3}-3x\\T_{4}(x)&=8x^{4}-8x^{2}+1\\T_{5}(x)&=16x^{5}-20x^{3}+5x\\T_{6}(x)&=32x^{6}-48x^{4}+18x^{2}-1\\T_{7}(x)&=64x^{7}-112x^{5}+56x^{3}-7x\\T_{8}(x)&=128x^{8}-256x^{6}+160x^{4}-32x^{2}+1\\\end{aligned}}}
Rekursionsformeln der Tschebyschow-Polynome:
T
n
+
1
(
x
)
=
2
x
T
n
(
x
)
−
T
n
−
1
(
x
)
{\displaystyle T_{n+1}(x)=2x~T_{n}(x)-T_{n-1}(x)}
und
T
m
n
(
x
)
=
T
m
(
T
n
(
x
)
)
.
{\displaystyle T_{mn}(x)=T_{m}{\bigl (}T_{n}(x){\bigr )}.}
Mit Hilfe der trigonometrischen Funktionen bzw. der Hyperbelfunktionen sind die Tschebyschow-Polynome darstellbar als
T
n
(
x
)
=
{
cos
(
n
arccos
x
)
für
x
∈
[
−
1
,
1
]
cosh
(
n
arcosh
(
x
)
)
für
x
>
1
(
−
1
)
n
cosh
(
n
arcosh
(
−
x
)
)
für
x
<
−
1
{\displaystyle T_{n}(x)={\begin{cases}\cos \left(n\,\arccos x\right)&{\text{für}}\quad x\in [-1,1]\\\cosh \left(n\,\operatorname {arcosh} (x)\right)&{\text{für}}\quad x>1\\(-1)^{n}\cosh \left(n\,\operatorname {arcosh} (-x)\right)&{\text{für}}\quad x<-1\end{cases}}}
oder
T
n
(
cos
θ
)
=
cos
(
n
θ
)
{\displaystyle T_{n}(\cos \theta )=\cos(n\theta )}
und auch
T
n
(
x
)
=
(
x
+
x
2
−
1
)
n
+
(
x
−
x
2
−
1
)
n
2
{\displaystyle T_{n}(x)={\frac {{\bigl (}x+{\sqrt {x^{2}-1}}{\bigr )}^{n}+{\bigl (}x-{\sqrt {x^{2}-1}}{\bigr )}^{n}}{2}}}
[ 1] Die letzte Formel gilt auch im Fall
|
x
|
<
1
{\displaystyle \left|x\right|<1}
T
n
(
x
)
=
(
x
+
i
1
−
x
2
)
n
+
(
x
−
i
1
−
x
2
)
n
2
{\displaystyle T_{n}(x)={\frac {{\bigl (}x+\mathrm {i} {\sqrt {1-x^{2}}}{\bigr )}^{n}+{\bigl (}x-\mathrm {i} {\sqrt {1-x^{2}}}{\bigr )}^{n}}{2}}}
für
x
∈
R
,
|
x
|
<
1
{\displaystyle x\in \mathbb {R} ,\left|x\right|<1}
i
{\displaystyle \mathrm {i} }
imaginäre Einheit ist.
Die
n
{\displaystyle n}
T
n
(
x
)
{\displaystyle T_{n}(x)}
cos
(
2
j
+
1
2
n
π
)
f
u
¨
r
j
=
0
,
…
,
n
−
1.
{\displaystyle \cos \left({\tfrac {2j+1}{2n}}\,\pi \right)\quad \mathrm {f{\ddot {u}}r} \quad j=0,\ldots ,n-1.}
Daraus ergibt sich die faktorisierte Darstellung der Tschebyschow-Polynome
T
n
(
x
)
=
2
n
−
1
(
x
−
cos
(
1
2
n
π
)
)
(
x
−
cos
(
3
2
n
π
)
)
…
(
x
−
cos
(
2
n
−
1
2
n
π
)
)
.
{\displaystyle T_{n}(x)=2^{n-1}\left(x-\cos \left({\frac {1}{2n}}\pi \right)\right)\left(x-\cos \left({\frac {3}{2n}}\pi \right)\right)\ldots \left(x-\cos \left({\frac {2n-1}{2n}}\pi \right)\right).}
Die
n
−
1
{\displaystyle n-1}
T
n
(
x
)
{\displaystyle T_{n}(x)}
cos
(
j
n
π
)
f
u
¨
r
j
=
1
,
…
,
n
−
1
{\displaystyle \cos \left({\tfrac {j}{n}}\,\pi \right)\quad \mathrm {f{\ddot {u}}r} \quad j=1,\ldots ,n-1}
und haben abwechselnd die Werte 1 und −1.
Tschebyschow-Polynome
T
n
(
x
)
{\displaystyle T_{n}(x)}
[
−
1
,
1
]
{\displaystyle [-1,1]}
orthogonal bezüglich des gewichteten Skalarproduktes
⟨
f
,
g
⟩
=
∫
−
1
1
f
(
x
)
⋅
g
(
x
)
⋅
1
1
−
x
2
d
x
{\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{-1}^{1}f(x)\cdot g(x)\cdot {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,\mathrm {d} x}
Man kann sich diese daher auch über das Gram-Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren (mit Normierung) herleiten.
In der Filtertechnik werden die Tschebyschow-Polynome bei den Tschebyscheff-Filtern verwendet.
Bei der Polynominterpolation zeichnen sich diese Polynome durch einen sehr günstigen, gleichmäßigen Fehlerverlauf aus. Dazu sind als Interpolationsstellen die geeignet verschobenen Nullstellen des Tschebyschow-Polynoms passenden Grades zu verwenden.
Wegen ihrer Minimalität bilden sie auch die Grundlage für die Tschebyschow-Iteration und für Fehlerschranken bei Krylow-Unterraum-Verfahren für Lineare Gleichungssysteme .
Tschebyschow-Polynome zweiter Art der Ordnung 0 bis 5. Auch die Tschebyschow-Polynome zweiter Art
U
n
(
x
)
{\displaystyle U_{n}(x)}
U
0
(
x
)
=
1
U
1
(
x
)
=
2
x
U
n
+
1
(
x
)
=
2
x
U
n
(
x
)
−
U
n
−
1
(
x
)
,
{\displaystyle {\begin{aligned}U_{0}(x)&=1\\U_{1}(x)&=2x\\U_{n+1}(x)&=2xU_{n}(x)-U_{n-1}(x),\end{aligned}}}
bemerkenswerterweise mit derselben Rekursionsbeziehung wie die
T
n
{\displaystyle T_{n}}
U
−
1
(
x
)
=
0
{\displaystyle U_{-1}(x)=0}
auch für
n
=
0
{\displaystyle n=0}
Die erzeugende Funktion für
U
n
{\displaystyle U_{n}}
∑
n
=
0
∞
U
n
(
x
)
t
n
=
1
1
−
2
t
x
+
t
2
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }U_{n}(x)t^{n}={\frac {1}{1-2tx+t^{2}}}}
Die ersten acht Polynome dieser Art sind:
U
0
(
x
)
=
1
U
1
(
x
)
=
2
x
U
2
(
x
)
=
4
x
2
−
1
U
3
(
x
)
=
8
x
3
−
4
x
U
4
(
x
)
=
16
x
4
−
12
x
2
+
1
U
5
(
x
)
=
32
x
5
−
32
x
3
+
6
x
U
6
(
x
)
=
64
x
6
−
80
x
4
+
24
x
2
−
1
U
7
(
x
)
=
128
x
7
−
192
x
5
+
80
x
3
−
8
x
{\displaystyle {\begin{aligned}U_{0}(x)&=1\\U_{1}(x)&=2x\\U_{2}(x)&=4x^{2}-1\\U_{3}(x)&=8x^{3}-4x\\U_{4}(x)&=16x^{4}-12x^{2}+1\\U_{5}(x)&=32x^{5}-32x^{3}+6x\\U_{6}(x)&=64x^{6}-80x^{4}+24x^{2}-1\\U_{7}(x)&=128x^{7}-192x^{5}+80x^{3}-8x\end{aligned}}}
Mit Hilfe der trigonometrischen Funktionen sind die Tschebyschow-Polynome zweiter Art zunächst nur für
θ
∈
R
∖
π
Z
{\displaystyle \theta \in \mathbb {R} \setminus \pi \mathbb {Z} }
U
n
(
cos
θ
)
=
sin
(
(
n
+
1
)
θ
)
sin
θ
,
{\displaystyle U_{n}(\cos \theta )={\frac {\sin {\big (}(n+1)\theta {\big )}}{\sin \theta }},}
wegen der stetigen Hebbarkeit an diesen Stellen aber für alle
θ
∈
R
{\displaystyle \theta \in \mathbb {R} }
Dirichlet-Kern
D
n
(
x
)
{\displaystyle D_{n}(x)}
D
n
(
x
)
=
sin
(
(
2
n
+
1
)
x
2
)
sin
x
2
=
U
2
n
(
cos
x
2
)
.
{\displaystyle D_{n}(x)={\frac {\sin \left((2n+1){\dfrac {x}{2}}\right)}{\sin {\dfrac {x}{2}}}}=U_{2n}\left(\cos {\frac {x}{2}}\right).}
Nimmt man Hyperbelfunktionen mit hinzu, dann ist für
x
∈
R
∖
{
−
1
,
1
}
{\displaystyle x\in \mathbb {R} \setminus \{-1,1\}}
U
n
(
x
)
=
{
sin
(
(
n
+
1
)
arccos
x
)
/
1
−
x
2
für
|
x
|
<
1
sinh
(
(
n
+
1
)
arcosh
x
)
/
x
2
−
1
für
|
x
|
>
1
{\displaystyle U_{n}(x)={\begin{cases}\sin \left((n+1)\,\arccos x\right)/{\sqrt {1-x^{2}}}&{\text{für}}\quad |x|<1\\\sinh \left((n+1)\,\operatorname {arcosh} \,x\right)/{\sqrt {x^{2}-1}}&{\text{für}}\quad |x|>1\end{cases}}}
Tschebyschow-Polynome
U
n
(
x
)
{\displaystyle U_{n}(x)}
[
−
1
,
1
]
{\displaystyle [-1,1]}
orthogonal bezüglich des gewichteten Skalarproduktes
⟨
f
,
g
⟩
=
∫
−
1
1
f
(
x
)
⋅
g
(
x
)
⋅
1
−
x
2
d
x
{\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{-1}^{1}f(x)\cdot g(x)\cdot {\sqrt {1-x^{2}}}\,\mathrm {d} x}
Erstmals veröffentlichte Tschebyschow seine Untersuchungen zu den Tschebyschow-Polynomen 1859 und 1881[ 2]
Sur les questions de minima qui se rattachent a la représentation approximative des fonctions. Oeuvres Band I, 1859, S. 273–378.Sur les fonctions qui s'écartent peu de zéro pour certaines valeurs de la variable. Oeuvres Band II, 1881, S. 335–356.In der numerischen Mathematik werden Linearkombinationen von Tschebyschow-Polynomen mit dem Clenshaw-Algorithmus ausgewertet.
Il'ja N, Bronstein, Konstantin A. Semendjajew, Gerhard Musiol, Heiner Mühlig: Taschenbuch der Mathematik ISBN 3-8171-2005-2 .
↑ Leçons sur l'approximation des fonctions d'une variable réelle. http://vorlage_digitalisat.test/1%3D%7B%7B%7B1%7D%7D%7D~GB%3D~IA%3Dleonssurlappro00lavauoft~MDZ%3D%0A~SZ%3D~doppelseitig%3D~LT%3D%27%27Le%C3%A7ons%20sur%20l%27approximation%20des%20fonctions%20d%27une%20variable%20r%C3%A9elle.%27%27~PUR%3D ↑
Elliot Ward Cheney: Introduction to Approximation Theory. McGraw-Hill Book Company, 1966, ISBN 0-07-010757-2 , S. 225.
).svg)
![{\displaystyle T_{n}(x)={\begin{cases}\cos \left(n\,\arccos x\right)&{\text{für}}\quad x\in [-1,1]\\\cosh \left(n\,\operatorname {arcosh} (x)\right)&{\text{für}}\quad x>1\\(-1)^{n}\cosh \left(n\,\operatorname {arcosh} (-x)\right)&{\text{für}}\quad x<-1\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c1777ab79d6de6865bee58e9f1b890efbf886ce)
![{\displaystyle [-1,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51e3b7f14a6f70e614728c583409a0b9a8b9de01)
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