Tschebyschow-Polynom

Tschebyschow-Polynome, benannt nach Pafnuti Lwowitsch Tschebyschow, in der Literatur auch als Tschebyscheff, Tschebycheff, Tschebyschew, Tschebyschev oder Chebychev bezeichnet, sind in der Mathematik rekursive Polynome. Es wird zwischen Tschebyschow-Polynomen erster Art $T_{n}(x)$$T_n(x)$ und Tschebyschow-Polynomen zweiter Art $U_{n}(x)$$U_{n}(x)$ unterschieden.

Tschebyschow-Polynome erster Art sind Lösung der Tschebyschow-Differentialgleichung

$\left(1-x^{2}\right)\,y''-x\,y'+n^{2}\,y=0,$$\left(1-x^{2}\right)\,y''-x\,y'+n^{2}\,y=0,$

und Tschebyschow-Polynome zweiter Art sind Lösung von

$\left(1-x^{2}\right)\,y''-3x\,y'+n(n+2)\,y=0.$$\left(1-x^{2}\right)\,y''-3x\,y'+n(n+2)\,y=0.$

Beide Differentialgleichungen sind spezielle Fälle der Sturm-Liouvilleschen Differentialgleichung.

Tschebyschow-Polynome erster Art

Die Funktionen

${\begin{aligned}y_{g}(x)&=1+\sum _{p=1}^{\infty }{\frac {\prod _{k=0}^{p-1}\left(\left(2k\right)^{2}-n^{2}\right)}{(2p)!}}x^{2p}=1+\sum _{p=1}^{\infty }(-1)^{p}{\frac {\prod _{k=0}^{p-1}\left(n^{2}-\left(2k\right)^{2}\right)}{(2p)!}}x^{2p}\\&=1-{n^{2} \over 2!}\,x^{2}+{n^{2}\,\left(n^{2}-4\right) \over 4!}\,x^{4}-{n^{2}\,(n^{2}-4)\,\left(n^{2}-16\right) \over 6!}\,x^{6}\pm \cdots \end{aligned}}$${\begin{aligned}y_{g}(x)&=1+\sum _{{p=1}}^{\infty }{\frac {\prod _{{k=0}}^{{p-1}}\left(\left(2k\right)^{2}-n^{2}\right)}{(2p)!}}x^{{2p}}=1+\sum _{{p=1}}^{\infty }(-1)^{p}{\frac {\prod _{{k=0}}^{{p-1}}\left(n^{2}-\left(2k\right)^{2}\right)}{(2p)!}}x^{{2p}}\\&=1-{n^{2} \over 2!}\,x^{2}+{n^{2}\,\left(n^{2}-4\right) \over 4!}\,x^{4}-{n^{2}\,(n^{2}-4)\,\left(n^{2}-16\right) \over 6!}\,x^{6}\pm \cdots \end{aligned}}$

und

${\begin{aligned}y_{u}(x)&=x+\sum _{p=1}^{\infty }{\frac {\prod _{k=0}^{p-1}\left(\left(2k+1\right)^{2}-n^{2}\right)}{(2p+1)!}}x^{2p+1}=x+\sum _{p=1}^{\infty }(-1)^{p}{\frac {\prod _{k=0}^{p-1}\left(n^{2}-\left(2k+1\right)^{2}\right)}{\left(2p+1\right)!}}x^{2p+1}\\&=x-{n^{2}-1 \over 3!}\,x^{3}+{\left(n^{2}-1\right)\,\left(n^{2}-9\right) \over 5!}\,x^{5}\mp \cdots \end{aligned}}$${\begin{aligned}y_{u}(x)&=x+\sum _{{p=1}}^{\infty }{\frac {\prod _{{k=0}}^{{p-1}}\left(\left(2k+1\right)^{2}-n^{2}\right)}{(2p+1)!}}x^{{2p+1}}=x+\sum _{{p=1}}^{\infty }(-1)^{p}{\frac {\prod _{{k=0}}^{{p-1}}\left(n^{2}-\left(2k+1\right)^{2}\right)}{\left(2p+1\right)!}}x^{{2p+1}}\\&=x-{n^{2}-1 \over 3!}\,x^{3}+{\left(n^{2}-1\right)\,\left(n^{2}-9\right) \over 5!}\,x^{5}\mp \cdots \end{aligned}}$

bilden ein Fundamentalsystem für die Tschebyschow-Differentialgleichung.

Tschebyschow-Polynome erster Art der Ordnung 0 bis 5.

Für ganzzahlige $n$$n$ bricht jeweils eine dieser Reihen nach endlich vielen Gliedern ab, $y_{g}(x)$$y_{g}(x)$ für gerade und $y_{u}(x)$$y_{u}(x)$ für ungerade $n$$n$, und man erhält Polynome als Lösung. Mit der Normierung $T_{n}(1)=1$$T_{n}(1)=1$ werden diese als Tschebyschow-Polynome $T_{n}(x)$$T_n(x)$ bezeichnet. Die ersten sieben Polynome dieser Art sind:

${\begin{aligned}T_{0}(x)&=1\\T_{1}(x)&=x\\T_{2}(x)&=2x^{2}-1\\T_{3}(x)&=4x^{3}-3x\\T_{4}(x)&=8x^{4}-8x^{2}+1\\T_{5}(x)&=16x^{5}-20x^{3}+5x\\T_{6}(x)&=32x^{6}-48x^{4}+18x^{2}-1\end{aligned}}$${\begin{aligned}T_{0}(x)&=1\\T_{1}(x)&=x\\T_{2}(x)&=2x^{2}-1\\T_{3}(x)&=4x^{3}-3x\\T_{4}(x)&=8x^{4}-8x^{2}+1\\T_{5}(x)&=16x^{5}-20x^{3}+5x\\T_{6}(x)&=32x^{6}-48x^{4}+18x^{2}-1\end{aligned}}$

Sie können in allgemeiner Weise aus dem rekursiven Zusammenhang

$T_{n+1}(x)=2x\,T_{n}(x)-T_{n-1}(x)$$T_{{n+1}}(x)=2x\,T_{n}(x)-T_{{n-1}}(x)$

berechnet werden. Mit Hilfe der trigonometrischen Funktionen bzw. der Hyperbelfunktionen sind die Tschebyschow-Polynome darstellbar als

$T_{n}(x)={\begin{cases}\cos \left(n\,\arccos x\right)&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \quad x\in [-1,1]\\\cosh \left(n\,{\rm {arcosh}}(x)\right)&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \quad x>1\\(-1)^{n}\cosh \left(n\,{\rm {arcosh}}(-x)\right)&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \quad x<-1\end{cases}}$$T_{n}(x)={\begin{cases}\cos \left(n\,\arccos x\right)&{\mathrm {f{\ddot {u}}r}}\quad x\in [-1,1]\\\cosh \left(n\,{{\rm {arcosh}}}(x)\right)&{\mathrm {f{\ddot {u}}r}}\quad x>1\\(-1)^{n}\cosh \left(n\,{{\rm {arcosh}}}(-x)\right)&{\mathrm {f{\ddot {u}}r}}\quad x<-1\end{cases}}$

oder

$T_{n}(\cos \theta )=\,\!\cos(n\theta )$$T_{n}(\cos \theta )=\,\!\cos(n\theta )$

Die $n$$n$ Nullstellen des Tschebyschow-Polynoms $T_{n}(x)$$T_n(x)$ sind gegeben durch

$\cos \left({\tfrac {2j+1}{2n}}\,\pi \right)\quad \mathrm {f{\ddot {u}}r} \quad j=0,\ldots ,n-1$$\cos \left({\tfrac {2j+1}{2n}}\,\pi \right)\quad {\mathrm {f{\ddot {u}}r}}\quad j=0,\ldots ,n-1$

Tschebyschow-Polynome $T_{n}(x)$$T_n(x)$ sind im geschlossenen Intervall $[-1,1]$$[-1,1]$ orthogonal bezüglich des gewichteten Skalarproduktes

$\langle f,g\rangle =\int _{-1}^{1}f(x)\cdot g(x)\cdot {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,dx$$\langle f,g\rangle =\int _{{-1}}^{1}f(x)\cdot g(x)\cdot {\frac {1}{{\sqrt {1-x^{2}}}}}\,dx$

Man kann sich diese daher auch über das Gram-Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren (mit Normierung) herleiten.

Anwendungen

In der Filtertechnik werden die Tschebyschow-Polynome bei den Tschebyscheff-Filtern verwendet. Bei der Polynominterpolation zeichnen sich diese Polynome durch einen sehr günstigen, gleichmäßigen Fehlerverlauf aus. Dazu sind als Interpolationsstellen die geeignet verschobenen Nullstellen des Tschebyschow-Polynoms passenden Grades zu verwenden. Wegen ihrer Minimalität bilden sie auch die Grundlage für die Tschebyschow-Iteration und für Fehlerschranken bei Krylow-Unterraum-Verfahren für Lineare Gleichungssysteme.

Tschebyschow-Polynome zweiter Art

Tschebyschow-Polynome zweiter Art der Ordnung 0 bis 5.

Auch die Tschebyschow-Polynome zweiter Art $U_{n}(x)$$U_{n}(x)$ werden über eine rekursive Bildungsvorschrift definiert:

${\begin{aligned}U_{0}(x)&=1\\U_{1}(x)&=2x\\U_{n+1}(x)&=2xU_{n}(x)-U_{n-1}(x)\end{aligned}}$${\begin{aligned}U_{0}(x)&=1\\U_{1}(x)&=2x\\U_{{n+1}}(x)&=2xU_{n}(x)-U_{{n-1}}(x)\end{aligned}}$

Die erzeugende Funktion für $U_{n}$$U_{n}$ ist:

$\sum _{n=0}^{\infty }U_{n}(x)t^{n}={\frac {1}{1-2tx+t^{2}}}$$\sum _{{n=0}}^{{\infty }}U_{n}(x)t^{n}={\frac {1}{1-2tx+t^{2}}}$

Die ersten acht Polynome dieser Art sind:

${\begin{aligned}U_{0}(x)&=1\\U_{1}(x)&=2x\\U_{2}(x)&=4x^{2}-1\\U_{3}(x)&=8x^{3}-4x\\U_{4}(x)&=16x^{4}-12x^{2}+1\\U_{5}(x)&=32x^{5}-32x^{3}+6x\\U_{6}(x)&=64x^{6}-80x^{4}+24x^{2}-1\\U_{7}(x)&=128x^{7}-192x^{5}+80x^{3}-8x\end{aligned}}$${\begin{aligned}U_{0}(x)&=1\\U_{1}(x)&=2x\\U_{2}(x)&=4x^{2}-1\\U_{3}(x)&=8x^{3}-4x\\U_{4}(x)&=16x^{4}-12x^{2}+1\\U_{5}(x)&=32x^{5}-32x^{3}+6x\\U_{6}(x)&=64x^{6}-80x^{4}+24x^{2}-1\\U_{7}(x)&=128x^{7}-192x^{5}+80x^{3}-8x\end{aligned}}$

Tschebyschow-Polynome $U_{n}(x)$$U_{n}(x)$ sind im abgeschlossenen Intervall $[-1,1]$$[-1,1]$ orthogonal bezüglich des gewichteten Skalarproduktes

$\langle f,g\rangle =\int _{-1}^{1}f(x)\cdot g(x)\cdot {\sqrt {1-x^{2}}}\,dx$$\langle f,g\rangle =\int _{{-1}}^{1}f(x)\cdot g(x)\cdot {{\sqrt {1-x^{2}}}}\,dx$

Historie

Erstmals veröffentlichte Tschebyschow seine Untersuchungen zu den Tschebyschow-Polynomen 1859 und 1881 in folgenden Aufsätzen:

• Sur les questions de minima qui se rattachent a la représentation approximative des fonctions, 1859, Oeuvres Band I, Seite 273-378
• Sur les fonctions qui s'écartent peu de zéro pour certaines valeurs de la variable, 1881, Oeuvres Band II, Seite 335-356

Literatur

• Il'ja N, Bronstein, Konstantin A, Semendjajew, Gerhard Musiol, Heiner Mühlig: Taschenbuch der Mathematik. 5., überarbeitete und erweiterte Auflage. Unveränderter Nachdruck. Harri Deutsch, Thun u. a. 2001, ISBN 3-8171-2005-2. 

Quellen

• Eric W. Weisstein: Chebyshev Polynomial of the First Kind. In: MathWorld (englisch).
• Eric W. Weisstein: Chebyshev Polynomial of the Second Kind. In: MathWorld (englisch).