Reproduktivität

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Die Reproduktivität einer Wahrscheinlichkeitsverteilung besagt, dass die Summe von unabhängigen Zufallsvariablen eines bestimmten Verteilungstyps wieder nach diesem Typ verteilt ist.

Reproduktiv sind etwa die Normalverteilung, die Poisson-Verteilung, die Gammaverteilung, die Chi-Quadrat-Verteilung und die Cauchy-Verteilung. Eine mit der Reproduktivität eng verwandte Eigenschaft ist die unendliche Teilbarkeit.

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Zufallsvariablen X1 und X2 seien unabhängig und normalverteilt als

Die Zufallsvariable ist dann ebenfalls normalverteilt als

Mehrere Parameter[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wird eine Verteilung durch zwei oder mehrere Parameter beschrieben, so kann es vorkommen, dass Abgeschlossenheit nur bzgl. eines Parameters bei Festhalten der übrigen Parameter vorliegt. Sind zum Beispiel binomialverteilt mit Parametern und , also und , so ist . Für fixiertes ist also die Binomialverteilung reproduktiv bezüglich . Obiges Beispiel der Normalverteilung zeigt, dass Abgeschlossenheit bei mehreren Parametern auch ohne eine solche Einschränkung vorliegen kann.