Reproduktivitätseigenschaft

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Die Reproduktivitätseigenschaft einer Wahrscheinlichkeitsverteilung besagt, dass die Summe von unabhängigen Zufallsvariablen eines bestimmten Verteilungstyps wieder nach diesem Typ verteilt ist.

Reproduktiv sind etwa die Normalverteilung, die Poisson-Verteilung, die Gammaverteilung, die Chi-Quadrat-Verteilung und die Cauchy-Verteilung. Eine mit der Reproduktivität eng verwandte Eigenschaft ist die unendliche Teilbarkeit.

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Zufallsvariablen und seien unabhängig und normalverteilt als

.

Die Zufallsvariable ist dann ebenfalls normalverteilt als

.

Allgemein gilt: Aus unabhängig folgt:[1]

.

Mehrere Parameter[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wird eine Verteilung durch zwei oder mehrere Parameter beschrieben, so kann es vorkommen, dass Abgeschlossenheit nur bzgl. eines Parameters bei Festhalten der übrigen Parameter vorliegt. Sind zum Beispiel binomialverteilt mit Parametern und , also und , so ist . Für fixiertes ist also die Binomialverteilung reproduktiv bezüglich . Obiges Beispiel der Normalverteilung zeigt, dass Abgeschlossenheit bei mehreren Parametern auch ohne eine solche Einschränkung vorliegen kann.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Karl Mosler und Friedrich Schmid: Wahrscheinlichkeitsrechnung und schließende Statistik. Springer-Verlag, 2011, S. 149.