Gammaverteilung

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Die Gammaverteilung ist eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung über der Menge der positiven reellen Zahlen. Sie ist einerseits eine direkte Verallgemeinerung der Exponentialverteilung und andererseits eine Verallgemeinerung der Erlang-Verteilung für nichtganzzahlige Parameter. Wie diese wird sie verwendet

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Gammaverteilung ist durch die Wahrscheinlichkeitsdichte

definiert. Sie besitzt die reellen Parameter und . Um ihre Normierbarkeit zu garantieren, wird und gefordert.

Der Vorfaktor dient der korrekten Normierung; der Ausdruck steht für den Funktionswert der Gammafunktion, nach der die Verteilung auch benannt ist.

Dichte der Gammaverteilung mit verschiedenen Werten für b und p
Die Gammaverteilung genügt damit der Verteilungsfunktion
,

wobei die regularisierte Gammafunktion der oberen Grenze ist.

kumulierte Verteilungsfunktion der Gammaverteilung mit verschiedenen Werten für p und b

Alternative Parametrisierung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Alternativ zur obigen, im deutschsprachigen Raum üblichen Parametrisierung mit und findet man auch häufig

oder

ist die Umkehrung eines Skalierparameters und ist der Skalierparameter selbst. Dichte und Momente ändern sich dementsprechend bei diesen Parametrisierungen (der Erwartungswert wäre hier beispielsweise beziehungsweise ). Da diese Parametrisierungen im angelsächsischen Raum vorherrschen, werden sie besonders häufig in der Fachliteratur verwendet. Um Missverständnissen vorzubeugen, wird empfohlen, die Momente explizit anzugeben, also beispielsweise von einer Gammaverteilung mit Erwartungswert und Varianz zu sprechen. Hieraus sind dann Parametrisierung und die entsprechenden Parameterwerte eindeutig rekonstruierbar.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Dichte besitzt für an der Stelle ihr Maximum und für an den Stellen

Wendepunkte.

Erwartungswert[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Erwartungswert der Gammaverteilung ist

Varianz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Varianz der Gammaverteilung ist

Schiefe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Schiefe der Verteilung ist gegeben durch

Reproduktivität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Gammaverteilung ist reproduktiv: Die Summe aus den stochastisch unabhängigen gammaverteilten Zufallsvariablen und , die beide gammaverteilt sind mit den Parametern und bzw. , ist wiederum gammaverteilt mit den Parametern und .

Charakteristische Funktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die charakteristische Funktion hat die Form

Momenterzeugende Funktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die momenterzeugende Funktion der Gammaverteilung ist

Entropie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Entropie der Gammaverteilung beträgt

wobei ψ(p) die Digamma-Funktion bezeichnet.

Summe gammaverteilter Zufallsgrößen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sind und unabhängige gammaverteilte Zufallsgrößen dann ist auch die Summe gammaverteilt, und zwar

Allgemein gilt: Sind stochastisch unabhängig dann ist

Somit bildet die Gammaverteilung eine Faltungshalbgruppe in einem ihrer beiden Parameter.

Beziehung zu anderen Verteilungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Beziehung zur Betaverteilung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wenn und unabhängige gammaverteilte Zufallsvariablen sind mit den Parametern bzw. , dann ist die Größe betaverteilt mit Parametern und , kurz

Beziehung zur Chi-Quadrat-Verteilung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Beziehung zur Erlang-Verteilung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Erlang-Verteilung mit dem Parameter und Freiheitsgraden entspricht einer Gammaverteilung mit den Parametern und und liefert die Wahrscheinlichkeit der Zeit bis zum Eintreffen des -ten seltenen, Poisson-verteilten Ereignisses.

Beziehung zur Exponentialverteilung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Wählt man in der Gammaverteilung den Parameter , so erhält man die Exponentialverteilung mit Parameter .
  • Die Faltung von n Exponentialverteilungen mit demselben ergibt eine Gamma-Verteilung mit .

Beziehung zur logarithmischen Gammaverteilung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist Gamma-verteilt, dann ist Log-Gamma-verteilt.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Lindgren, Bernard W.: Statistical Theory, New York etc., 1993
  • Fisz, Marek: Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik, Berlin 1970
  • P. Heinz Müller (Hrsg.): Wahrscheinlichkeitsrechnung und Mathematische Statistik, Leipzig 1991

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]