Riemannscher Hebbarkeitssatz

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Der Riemannsche Hebbarkeitssatz (nach Bernhard Riemann) ist ein grundlegendes Ergebnis des mathematischen Teilgebietes der Funktionentheorie. Der Satz besagt, dass eine isolierte Singularität einer holomorphen Funktion genau dann entfernt („behoben“) werden kann, wenn die Funktion in einer Umgebung der Singularität beschränkt ist. Eine solche Singularität heißt hebbar.

Satz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei ein Gebiet und , weiter sei eine holomorphe Funktion.

Existiert eine Umgebung von in , sodass auf beschränkt ist, dann gibt es eine auf ganz holomorphe Funktion mit .

Die Existenz von besagt, dass sich durch holomorph auf fortsetzen lässt. Dadurch wird die „Lücke“ im Definitionsbereich von gewissermaßen „aufgehoben“. Nach dem Identitätssatz für holomorphe Funktionen kann es nur ein solches geben.

Beweis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Riemannsche Hebbarkeitssatz lässt sich aus der Cauchy-Abschätzung der Laurentreihenkoeffizienten folgern:

Nach Voraussetzung gibt es ein klein genug, sodass die punktierte Umgebung noch ganz in liegt und für ein und alle gilt. Da auf holomorph ist, lässt es sich dort in eine konvergente Laurentreihe entwickeln. Mit anderen Worten: Es gibt (genau) eine Folge komplexer Zahlen, sodass für alle gilt:

Die Funktion ist natürlich auch auf jeder Teilmenge von durch (betragsmäßig) beschränkt, nach der Cauchy-Abschätzung gilt also für und jedes :

Ist , so lässt sich dies als schreiben, nach dem Grenzübergang ergibt sich . Der Hauptteil der Laurentreihe verschwindet also identisch , weshalb die Singularität von in hebbar sein muss. Diese Hebung erfolgt dann gerade durch den Wert .

Verallgemeinerungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine einfache Verallgemeinerung besteht darin, die Voraussetzung der Beschränktheit aufzugeben und lediglich zu fordern, dass

Die Fortsetzbarkeit von folgt nun leicht aus der obigen Formulierung durch Anwendung auf die in einer Umgebung von beschränkte Funktion .

Umkehrung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Aussage des Hebbarkeitssatzes lässt sich auch umkehren, das heißt, es gilt:

Hat eine holomorphe Funktion in eine hebbare Singularität, so ist sie in einer Umgebung von beschränkt.

Dies ist eine einfache Folge der Stetigkeit der holomorphen Fortsetzung an der Stelle . Durch diese lokale Beschränktheit unterscheiden sich hebbare Singularitäten fundamental von Polstellen und wesentlichen Singularitäten.

Nichtexistenz einer holomorphen Wurzelfunktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Hebbarkeitssatz dient in der Funktionentheorie auch als Hilfssatz in anderen Beweisen. Beispielsweise lässt sich dadurch die Nichtexistenz einer holomorphen Wurzelfunktion beweisen.

Es gibt keine auf holomorphe Funktion , die für alle erfüllt.

Angenommen doch, für ihren Betrag muss dann gelten. Demnach ist ist in einer Umgebung von beschränkt und also nach dem Riemannschen Hebbarkeitssatz sogar auf ganz holomorph. Insbesondere ist stetig differenzierbar in mit der Ableitung . Nach dem Identitätssatz müssen und ihre Ableitungsfunktion auf jeweils mit der reellen Wurzelfunktion und deren Ableitung übereinstimmen. Für positive reelle Argumente wächst aber die Ableitung bei Annäherung an 0 über alle Grenzen, sodass ein (eigentlicher) Grenzwert nicht existiert:

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]