Riemannscher Hebbarkeitssatz

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Der riemannsche Hebbarkeitssatz (nach Bernhard Riemann) ist ein grundlegendes Ergebnis der mathematischen Funktionentheorie. Der Satz besagt, dass eine Singularität (also eine Stelle, an der eine holomorphe Funktion nicht definiert ist) genau dann entfernt ("behoben") werden kann, wenn ein Gebiet um die Singularität existiert, auf dem die holomorphe Funktion beschränkt ist. Eine solche Singularität heißt hebbar.

Der Satz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei ein Punkt des Gebietes , sei eine auf holomorphe Funktion. Ist auf einer punktierten Umgebung von beschränkt, so gibt es eine auf ganz holomorphe Funktion mit

.

Man kann dann also in den Punkt hinein holomorph fortsetzen und damit die "Lücke" im Definitionsgebiet von "aufheben".

Verallgemeinerungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine einfache Verallgemeinerung besteht darin, die Voraussetzung der Beschränktheit dahingehend abzuschwächen, dass lediglich

gilt. Sie folgt leicht aus der obigen Formulierung durch Anwendung auf die in einer Umgebung von beschränkte Funktion .

Anwendungsbeispiel: Nichtexistenz einer holomorphen Wurzelfunktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Behauptung: Es gibt keine auf holomorphe Funktion , die für erfüllt und für positive reelle Argumente mit der üblichen Wurzelfunktion übereinstimmt.

Beweis durch Widerspruch: Es gelte , damit wäre in einer punktierten Umgebung der Null beschränkt, nach dem riemannschen Hebbarkeitssatz also holomorph auf ganz fortsetzbar. Damit müsste auch die Ableitung von bei 0 lokal beschränkt sein. Andererseits ist für positive reelle unbeschränkt: Aus diesem Widerspruch folgt, dass die ursprüngliche Behauptung wahr sein muss.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Krantz, S. G.: Handbook of Complex Variables, Birkhäuser, 1999, ISBN 0817640118. Darin: §4.1.5, The Riemann Removable Singularity Theorem.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]