Identitätssatz für holomorphe Funktionen

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Der Identitätssatz für holomorphe Funktionen ist ein wichtiger Satz der Funktionentheorie. Er besagt, dass aufgrund der starken Einschränkungen an holomorphe Funktionen oft schon die lokale Gleichheit zweier solcher Funktionen ausreicht, um diese auch global zu folgern.

Identitätssatz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Seien und holomorphe Funktionen auf einer Umgebung von und sei ein Häufungspunkt der Koinzidenzmenge , dann existiert eine Umgebung von mit auf ganz .

Identitätssatz für Gebiete[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für Gebiete, insbesondere da sie zusammenhängend sind, lässt sich die Aussage des Identitätssatzes leicht verschärfen.

Aussage[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Seien ein Gebiet und und auf diesem Gebiet holomorphe Funktionen. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:

  1. für alle , das heißt die Funktionen stimmen auf dem ganzen Gebiet überein.
  2. Die Koinzidenzmenge hat einen Häufungspunkt in .
  3. Es gibt ein , so dass für alle , das heißt in einem Punkt von stimmen die Funktionen und alle ihre Ableitungen überein.

Beweis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Holomorphe Funktionen sind analytisch, d.h. lokal jeweils durch ihre Taylorreihe darstellbar.

  • 2. folgt sofort aus 1., da jeder Punkt in ein Häufungspunkt von ist.
  • 3. folgt aus 2. durch Widerspruchsbeweis. Sei ein Häufungspunkt der Koinzidenzmenge. Ohne Einschränkung können wir voraussetzen. Annahme: Es gibt ein mit . Sei das kleinste solche. Dann ist in einer Umgebung der Null mit und die Nullstellenmenge von ist gleich der Konzidenzmenge, da stetig ist. Insbesondere gilt im Widerspruch zur Minimalität von .
  • 1. folgt aus 3., weil zusammenhängend ist. Es genügt zu zeigen, dass die Menge nichtleer, offen und der Durchschnitt einer in abgeschlossenen Menge mit ist. Ersteres gilt nach Voraussetzung, letzteres ist klar, da ist, wobei die als stetige Urbilder der abgeschlossenen Menge wieder abgeschlossen sind und der Durchschnitt abzählbar vieler abgeschlossener Mengen wieder abgeschlossen ist. Schließlich ist offen: Ist , dann ist als analytische Funktion in einer -Umgebung von gleich ihrer Taylorreihe, also identisch null. Diese Umgebung gehört also auch zu .

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Beim zweiten Punkt ist es essentiell, dass der Häufungspunkt im Gebiet und nicht auf dessen Rand liegt. Betrachte dazu folgendes Beispiel:

Die Funktion ist holomorph auf , die Folge liegt darin und konvergiert gegen 0. Also ist 0 ein Häufungspunkt der Folge und es gilt , aber natürlich gilt auch . Also stimmt auf der Menge der (die den Häufungspunkt 0 besitzt) mit der Nullfunktion überein, aber offensichtlich nicht auf ganz .

Folgerungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine wesentliche Folgerung aus dem Identitätssatz ist die eindeutige Fortsetzbarkeit reeller Funktionen:

Kann man eine reelle Funktion holomorph auf die komplexe Ebene fortsetzen (dies ist im Allgemeinen nicht möglich), so ist diese Fortsetzung eindeutig. Der komplexe Sinus ist daher wirklich die einzige holomorphe Fortsetzung des reellen Sinus. Insbesondere gelten auch die Additionstheoreme für den komplexen Sinus.

Ein Sonderfall des Identitätssatzes für Gebiete, der sehr häufig angewendet wird, ergibt sich mit :

Hat die Nullstellenmenge von in einem Gebiet einen Häufungspunkt, so gilt auf ganz .

Der Ring der holomorphen Funktionen auf einem Gebiet ist nullteilerfrei, d.h. aus folgt stets oder . Seien hierzu holomorph mit und . Dann gibt es einen Punkt in und eine Umgebung von mit für alle . Dann gilt aber , und somit nach dem Sonderfall.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • E. Freitag & R. Busam - Funktionentheorie 1, Springer-Verlag, 4. Auflage, ISBN 3-540-67641-4