Identitätssatz für holomorphe Funktionen

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Der Identitätssatz für holomorphe Funktionen ist ein wichtiger Satz der Funktionentheorie. Er besagt, dass aufgrund der starken Einschränkungen an holomorphe Funktionen oft schon die lokale Gleichheit zweier solcher Funktionen ausreicht, um diese auch global zu folgern.

Identitätssatz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Seien f und g holomorphe Funktionen auf einer Umgebung U von z_0 und sei z_0 ein Häufungspunkt der Koinzidenzmenge \{z \in U \mid f(z)=g(z)\}, dann existiert eine Umgebung V von z_0 mit f(z)=g(z) auf ganz V.

Identitätssatz für Gebiete[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für Gebiete, insbesondere da sie zusammenhängend sind, lässt sich die Aussage des Identitätssatzes leicht verschärfen.

Aussage[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Seien G \subseteq \mathbb{C} ein Gebiet und f und g auf diesem Gebiet holomorphe Funktionen. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:

  1. f(z)=g(z) für alle z \in G, das heißt die Funktionen stimmen auf dem ganzen Gebiet überein.
  2. Die Koinzidenzmenge \{z \in G \mid f(z)=g(z)\} hat einen Häufungspunkt in G.
  3. Es gibt ein z \in G, so dass f^{(n)}(z)=g^{(n)}(z) für alle n \in \mathbb{N}_0, das heißt in einem Punkt von G stimmen die Funktionen und alle ihre Ableitungen überein.

Beweis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Holomorphe Funktionen sind analytisch, d.h. lokal jeweils durch ihre Taylorreihe darstellbar.

  • 2. folgt sofort aus 1., da jeder Punkt in G ein Häufungspunkt von G ist.
  • 3. folgt aus 2. durch Widerspruchsbeweis. Sei z_0 ein Häufungspunkt der Koinzidenzmenge. Ohne Einschränkung können wir z_0=0 voraussetzen. Annahme: Es gibt ein n\in\mathbb{N}_0 mit f^{(n)}(0)\neq g^{(n)}(0). Sei N das kleinste solche. Dann ist in einer Umgebung der Null f(z)-g(z)=z^N h(z) mit h(z)=\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{f^{(N+n)}(0)-g^{(N+n)}(0)}{(N+n)!}z^n und die Nullstellenmenge von h ist gleich der Konzidenzmenge, da h stetig ist. Insbesondere gilt 0=h(0)=\frac{f^{(N)}(0)-g^{(N)}(0)}{N!} im Widerspruch zur Minimalität von N.
  • 1. folgt aus 3., weil G zusammenhängend ist. Es genügt zu zeigen, dass die Menge A=\{z\in G|\forall n\in\mathbb{N}_0:f^{(n)}(z)=g^{(n)}(z)\} nichtleer, offen und der Durchschnitt einer in \mathbb{C} abgeschlossenen Menge mit G ist. Ersteres gilt nach Voraussetzung, letzteres ist klar, da \textstyle A=G\cap\bigcap_{n\in\mathbb{N}_0}A_n ist, wobei die A_n=\{z\in G|f^{(n)}(z)=g^{(n)}(z)\}=(f^{(n)}-g^{(n)})^{-1}(\{0\}) als stetige Urbilder der abgeschlossenen Menge \{0\} wieder abgeschlossen sind und der Durchschnitt abzählbar vieler abgeschlossener Mengen wieder abgeschlossen ist. Schließlich ist A offen: Ist z\in A, dann ist f-g als analytische Funktion in einer \varepsilon-Umgebung von z gleich ihrer Taylorreihe, also identisch null. Diese Umgebung gehört also auch zu A.

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Beim zweiten Punkt ist es essentiell, dass der Häufungspunkt im Gebiet G und nicht auf dessen Rand liegt. Betrachte dazu folgendes Beispiel:

Die Funktion \sin (\tfrac{1}{z}) ist holomorph auf \mathbb{C}\setminus\{0\}, die Folge z_n=\tfrac{1}{n\pi} liegt darin und konvergiert gegen 0. Also ist 0 ein Häufungspunkt der Folge (z_n) und es gilt \sin(\tfrac{1}{z_n}) = \sin(n\pi) = 0, aber natürlich gilt auch \sin(\tfrac{1}{z}) \not\equiv 0. Also stimmt \sin ( \tfrac{1}{z}) auf der Menge der z_n (die den Häufungspunkt 0 besitzt) mit der Nullfunktion überein, aber offensichtlich nicht auf ganz \mathbb{C}\setminus\{0\}.

Folgerungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine wesentliche Folgerung aus dem Identitätssatz ist die eindeutige Fortsetzbarkeit reeller Funktionen:

Kann man eine reelle Funktion holomorph auf die komplexe Ebene fortsetzen (dies ist im Allgemeinen nicht möglich), so ist diese Fortsetzung eindeutig. Der komplexe Sinus ist daher wirklich die einzige holomorphe Fortsetzung des reellen Sinus. Insbesondere gelten auch die Additionstheoreme für den komplexen Sinus.

Ein Sonderfall des Identitätssatzes für Gebiete, der sehr häufig angewendet wird, ergibt sich mit g=0:

Hat die Nullstellenmenge von f in einem Gebiet G einen Häufungspunkt, so gilt f\equiv 0 auf ganz G.

Der Ring der holomorphen Funktionen auf einem Gebiet G ist nullteilerfrei, d.h. aus fg\equiv 0 folgt stets f\equiv 0 oder g\equiv 0. Seien hierzu f,g\colon G\to\mathbb{C} holomorph mit f\not\equiv 0 und fg\equiv 0. Dann gibt es einen Punkt z_0 in G und eine Umgebung U von z_0 mit f(z)\neq 0 für alle z\in U. Dann gilt aber g|_U \equiv 0, und somit g\equiv 0 nach dem Sonderfall.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • E. Freitag & R. Busam - Funktionentheorie 1, Springer-Verlag, 4. Auflage, ISBN 3-540-67641-4