SIS-Modell

Als SIS-Model bezeichnet man in der mathematischen Epidemiologie, einem Teilgebiet der Theoretischen Biologie, einen semi-realistischen Ansatz zur Beschreibung der Ausbreitung von ansteckenden Krankheiten ohne Immunitätsbildung. Dieser Artikel benutzt die Differentialgleichungen. Ein einführender Artikel mit elementarer Mathematik findet sich bei Mathematische Modellierung der Epidemiologie.

Voraussetzungen

Infizierte gehen nach Genesung wieder in die Gruppe der Gesunden über.

Beim SIS-Modell werden zwei Gruppen von Individuen unterschieden: Zum Zeitpunkt $t$  bezeichnet $S(t)$ die Anzahl der Gesunden (susceptible individuals) und $I(t)$ die Zahl der Infizierten (infectious individuals). Weiterhin sei $N$ die Gesamtzahl der Individuen. Das SIS-Modell kann dann für Krankheiten verwendet werden, die folgende Eigenschaften aufweisen:

• Jedes Individuum geht nach der Heilung der Krankheit sofort wieder in die Gruppe der Gesunden über und kann erneut angesteckt werden.
• Infizierte sind sofort ansteckend.
• Gesunde erkranken mit der linearen Rate $c$.
• Infizierte genesen mit der linearen Rate $\omega$.
• Jede Gruppe interagiert miteinander mit derselben Wahrscheinlichkeit. Dies rechtfertigt die Annahme linearer Zusammenhänge.
• Alle Parameter bleiben im biologisch sinnvollen Bereich, also $S(t),I(t)\in [0,\infty )$.

Differentialgleichungen des SIS-Modells

Die Ausbreitung der betrachteten Krankheit wird meist in Form von gewöhnlichen Differentialgleichungen formuliert:

Verlauf der Zahl der Infizierten und Gesunden.

$${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} S}{\mathrm {d} t}}&=-cIS+\omega I\\{\frac {\mathrm {d} I}{\mathrm {d} t}}&=cIS-\omega I.\end{aligned}}$$

Aus den Gleichungen folgt die Erhaltung der Populationsgröße:

$${\frac {\mathrm {d} N}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} I}{\mathrm {d} t}}+{\frac {\mathrm {d} S}{\mathrm {d} t}}=0\Rightarrow N=I(t)+S(t)={\text{const.}}$$

Wegen $S(t)=N-I(t)$ lässt sich das SIS-Modell vollständig durch

$${\frac {\mathrm {d} I}{\mathrm {d} t}}=cI(N-I)-\omega I=(cN-\omega )I-cI^{2}$$

beschreiben. Definiere $A=cN-\omega$, wodurch sich die DGL als ${\frac {\mathrm {d} I}{\mathrm {d} t}}=(A-cI)I$ schreiben lässt.

Lösungen der Differentialgleichung

Durch Trennung der Variablen folgt: ${\frac {\mathrm {d} I}{(A-cI)I}}=\mathrm {d} t$, woraus durch eine einfache Partialbruchzerlegung und Integration die Funktion $I(t)$ mit der Anfangsbedingung $I(0)=I_{0}>0$ folgt:

$$I(t)={\frac {AI_{0}e^{At}}{A+cI_{0}\left(e^{At}-1\right)}}.$$

Die Zahl der Gesunden $S(t)$ folgt durch $S(t)=N-I(t)$ aus der Lösung für $I(t)$.

Analyse der DGLs durch dimensionslose Größen

Zur Vereinfachung der Analyse geht man zu dimensionslosen Größen über: $u_{1}:={\frac {S}{N}},u_{2}:={\frac {I}{N}},\theta =\omega t,r:={\frac {cN}{\omega }}$

$${\begin{aligned}{\frac {du_{1}}{d\theta }}&=-ru_{1}u_{2}+u_{2}\\{\frac {du_{2}}{d\theta }}&=ru_{1}u_{2}-u_{2}\end{aligned}}$$

Die Änderung ${\frac {du_{2}}{d\theta }}$ kann nach oben abgeschätzt werden durch: ${\frac {du_{2}}{d\theta }}=ru_{2}-u_{2}=(r-1)u_{2}$.

Diese vereinfachte Differentialgleichung führt für r < 1 auf einen exponentiellen Abfall, damit verschwindet die Krankheit vollständig aus der Population. Für r > 1 wird auf lange Sicht der Fixpunkt $({\frac {1}{r}},1-{\frac {1}{r}})$ angestrebt. Die Krankheit bleibt verbreitet.

Abgrenzungen zu weiteren Modellen

Neben dem SIS-Modell gibt es in der Epidemiologie weitere einfache Modelle, die mit gewöhnlichen Differentialgleichungen beschrieben werden können. Das sind insbesondere die folgenden:

• Das SIS-Modell stellt eine Erweiterung zum SI-Modell dar, bei dem Individuen nicht gesunden können.
• Eine alternative Erweiterung ist das SIR-Modell, bei dem Individuen immun gegen die Krankheit werden.

Siehe auch

• SI-Modell (Ansteckung ohne Gesundung)
• SIR-Modell (Ausbreitung von ansteckenden Krankheiten mit Immunitätsbildung)
• SEIR-Modell (Ausbreitung von ansteckenden Krankheiten mit Immunitätsbildung, bei denen Infizierte nicht sofort infektiös sind)
• Basisreproduktionszahl
• Dynamisches System (mathematischer Oberbegriff)

Literatur

• Nicholas F. Britton: Essential Mathematical Biology. Springer
• Sebastian Möhler: Ausbreitung von Infektionskrankheiten. (tu-Freiburg [PDF; abgerufen am 12. März 2020]).