SIR-Modell

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Als SIR-Modell (Susceptible-Infected-Recovered-Model) bezeichnet man in der mathematischen Epidemiologie, einem Teilgebiet der Theoretischen Biologie, einen klassischen Ansatz zur Beschreibung der Ausbreitung von ansteckenden Krankheiten mit Immunitätsbildung, der eine Erweiterung des SI-Modells darstellt.

Dabei wird eine in ihrer Gesamtgröße N als konstant veranschlagte Population aufgeteilt in gesunde Individuen (susceptible individuals S), reversibel erkrankte und ansteckende Individuen (infectious individuals I) und bereits immunisierte Individuen (resistant individuals R) und die Ausbreitung der betrachteten Krankheit meist in Form von gewöhnlichen Differentialgleichungen mit einer Erkrankungsrate c und einer Gesundungsrate w formuliert.

wobei die Nebenbedingung

zu erfüllen ist.

Um dimensionslose Größen zu erhalten sei vereinbart:

Damit schreiben sich obige Gleichungen als:

Die Nebenbedingung transformiert sich zu

Betrachte nun die Projektion des Zustandsraumes auf die -Ebene: Für schneidet, wie man an der Steigung abliest, die Isokline (von ) das Dreieck und die Krankheitsverbreitung hat einen Fixpunkt. Für existiert dieser Fixpunkt nicht und die Krankheit verschwindet.

Eng verwandt ist die Lotka-Volterra-Gleichung. Eine gemeinsame Behandlung erfahren diese Modelle in der Theorie der Replikatordynamiken.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • N. F. Britton: Essential Mathematical Biology. 1. Auflage. Springer, Berlin 2003, ISBN 1-85233-536-X.