SI-Modell

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Das SI-Modell stellt in der mathematischen Epidemiologie, einem Teilgebiet der Theoretischen Biologie, einen besonders einfachen Ansatz zur Beschreibung der Ausbreitung von ansteckenden Krankheiten dar, wobei alle Gesunden letztendlich infiziert werden. – Die Beschreibung des SI-Modells wird aus Anlass der COVID-19-Pandemie ergänzt um das Verhalten bei der Bekämpfung einer solchen Ausbreitung, um selbiges in den Grundzügen qualitativ zu verstehen.

Modellbeschreibung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bezeichnen zum Zeitpunkt

  die gesunden, noch nicht angesteckten Individuen (susceptible individuals S)
  die kranken, schon angesteckten Individuen (infectious individuals I),

und wird zur Vereinfachung angenommen , d. h. die betrachtete Population besteht zu jedem Zeitpunkt aus Individuen (womit Geburten und Sterbefälle nicht berücksichtigt werden). D. h. die Zunahme der infizierten Individuen in der Zeiteinheit entspricht der Abnahme der gesunden Individuen in der Zeiteinheit.

Die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Krankheit ist statistisch zum einen abhängig von der Anzahl der erkrankten Individuen (also der Anzahl der Keimträger), zum anderen abhängig von der Anzahl der Individuen, die noch angesteckt werden können.

Der einfachste Lösungsansatz verwendet eine lineare funktionelle Antwort nach Art des Massenwirkungsgesetzes mit einem Wechselwirkungsterm :

,
.

Hierbei kann das Produkt als die Anzahl der Kontakte interpretiert werden, wenn alle Gesunden mit allen Infizierten interagieren, und der Faktor bestimmt die hieraus entstehenden neuen Infektionen (Infektionsrate). Unter Ausnutzung des obigen Erhaltungssatzes, aus der folgt:

.

Der Proportionalitätsfaktor cN bestimmt sich aus dem anfänglichen exponentielle Wachstum. Hierfür gilt I(t) << N und die obige Differentialgleichung geht über in

mit r als der als Replikationsrate (reziproke Halbwertszeit) unabhängig von der Gesamtpopulation N[Anm. 1]. Daraus folgt:

.

Werden die beiden bestimmenden Differentialgleichungen wie folgt geschrieben:

,

ergibt sich der Vergleich mit dem Räuber-Beute-Verhalten (Infizierte-Gesunde!). Jedoch führt dies hier nicht zu einer Schwingungsgleichung wie beim Räuber-Beute-Verhalten.

Erweiterungen des SI-Modells sind das SIS-Modell, in dem Individuen gesunden können, und das SIR-Modell, bei dem Individuen immun gegen die Krankheit werden können.

Die Replikationsrate r ist abhängig von

  • der Wirksamkeit der Übertragung zwischen den Stoßpartnern bzw. deren Reaktion miteinander und
  • der Häufigkeit der Stöße (Anzahl der Stöße pro Zeiteinheit), diese wiederum ist abhängig von
    • der Beweglichkeit, der Geschwindigkeit der Partner und
    • der Dichte sowie dem Wirkungsquerschnitt der Partner (Anzahl Partner pro Volumen)[1]

Analytische Lösung der Differentialgleichung des SI-Modells (DG-0)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Verläufe der Anzahl Infizierter I und Gesunder S
1. Ableitung der Infizierten I als Funktion der Zeit t
1. und 2. Ableitung der Infizierten I als Funktion von I

Gemäß Integraltabelle[2] lautet die Lösung dieser Differentialgleichung für I(t):

mit der Zeit für den Wendepunkt von I(t)

.

Gemäß Erhaltungssatz ergibt sich für die komplementäre Variable S:

und
.

Es gilt

,
.

Mit Worten: Es werden alle Gesunden infiziert.

Die erste zeitliche Ableitung von I(t) ist eine Gleichung zweiten Grades bezüglich N mit den Nullstellen 0 und N. Das Maximum tritt am Wendepunkt von I(t) ein bei

.

Von Interesse ist weiterhin die zweite zeitliche Ableitung von I(t):

.

Dieselbe hat drei Nullstellen bei 0, N/2 und N. Zwischen den ersten beiden Nullstellen liegt ein Maximum:

,
,

zwischen den letzten beiden Nullstellen ein Minimum:

,

Zur Bestimmung von r und N einer realen Verteilung eignet sich die relative zeitliche Änderung von I(t), Q genannt:

.

Q(I) ist linear fallend mit steigendem I. Es gilt

,
.

Mittels Regressionsanalyse z. B. per Excel lässt sich auf diese Weise r und N für eine reale Verteilung einfach und schnell bestimmen.

Reproduktionsrate des Robert-Koch-Institutes im SI-Modell[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Reproduktionsrate des Robert-Koch-Institutes im SI-Modell

Für Verteilungen dieser Art sind bei der COVID-19-Pandemie eine Reproduktionsrate gemäß dem Robert Koch-Institut RRKI[3][4] auch R-Wert genannt, bedeutend geworden:

mit s = 4 und t ≥ 2s.

Wird I(t) durch die Lösungsfunktion ersetzt, ergibt sich

mit

,
,
.

Der R-Wert hat folgende weiteren Eigenschaften:

,
,
.

Der R-Wert ist folglich linear fallend mit zunehmenden Infektionszahlen.

Verhalten bei r-Abfall und 2. Welle[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Verlauf der Infizierten über der Zeit: ohne r-Abfall gemäß SI-Modell: I1, nach r-Abfall bei 10 d gemäß SI-Modell: I2 und nach r-Sprung mit linearem Verlauf: I3
1. zeitliche Anleitung der Infizierten über der Zeit: ohne r-Abfall gemäß SI-Modell: I'1 und nach r-Abfall bei 10 d gemäß SI-Modell: I'2
R-Wert (=RRKI) über der Zeit: ohne r-Abfall gemäß SI-Modell: RRKI1 und nach r-Abfall bei 10 d gemäß SI-Modell: RRKI2

Der Ansatz

kann geschrieben werden

Während im SI-Modell die Replikationsrate r zeitunabhängig definiert ist, ist hier reff indirekt über I(t) zeitabhängig und nimmt mit zunehmender Zeit ab, wodurch sich für die erste zeitliche Ableitung der Infizierten I(t) eine nach unten offene parabelförmige Kurve ergibt.

Anstelle einer indirekten Zeitabhängigkeit wird jetzt eine direkte Zeitabhängigkeit angesetzt. In den Bildern des gewählten Beispiels wird r sprunghaft bei ts = 10 d auf r2 = r/7 herabgesetzt noch vor dem Wendepunkt bei tw = 20 d. Die Berechnung erfolgt mit der Differenzengleichung in Tagesschritten statt der Differentialgleichung numerisch per Excel, wodurch sich geringe Unterschiede ergeben, die jedoch auf das prinzipielle Verhalten keinen Einfluss haben. Es erfolgt bei I(t) ein Knick zu einem flacheren Verlauf gemäß der geringeren Replikationsrate und bei dI/dt ein Maximum ähnlich jenem des vorgenannten Beispiels. Die Abflachung von I(t) führt zu einem neuen Wendepunkt tws:

wodurch eine geringere Gesamtmenge N der Population vorgetäuscht wird. Konkrete Beispiele dafür sind die Infiziertenkurven verschiedener Länder bei COVID-19.

Des Weiteren werden zur Unterscheidung Variable und Parameter der primären Infektion mit dem Index 1 versehen, jene nach dem r-Abfall mit dem Index 2. Der Punkt I1(tws) ist der Anfangswert einer neuen Infektionskurve mit

mit dem Wendepunkt bei

und einem Maximum der Änderung von

Eine 100-prozentige Infizierung tritt nach dem r-Abfall jedoch noch nicht ein, diese tritt dennoch aber erst gemäß der I2-Entwicklung später ein und entspricht unter den vorgenannten Annahmen der zweiten Welle.

Abbruch des exponentiellen Infiziertenverhaltens und erste Schlussfolgerungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wenn schon nach einem r-Abfall die 2. Welle prognostiziert wird, stellt sich die Frage nach deren Verhinderung. Wie kann dieses Verhalten verhindert, gemindert oder verzögert werden? Das SI-Modell besagt, dass bei positiver, von Null verschiedener Replikationsrate r alle Gesunden infiziert werden. Es ist nur eine Frage der Zeit, wann! Ein Abbruch erfolgt nur mit r = 0. Die Realisierung dessen ist z. B. bei COVID-19 im Jahre 2020 nicht möglich. Es wäre eine absoluter Lockdown! Eine (erneute) exponentielle zeitliche Zunahme von dI/dt kann verhindert nur werden, indem eine polynomische zeitliche Zunahme erzwungen wird, im einfachsten Falle eine lineare zeitliche Zunahme wie folgt:

mit .

Für diesen Ansatz gilt weiter

und

Für den Zeitraum vor der 2. Wende tw2 gilt

und folglich

Mit Worten: das lineare Wachstum bleibt stets unter dem exponentiellen Wachstum. Sobald der Zwangszustand verlassen wird, wird das SI-Modell mit der 2. Welle wirksam. Auf diese Art kann das Ja oder Nein einer zweiten Welle unterschieden werden. Dieses lineare Verhalten entspricht einem labilen Gleichgewicht. Real bedeutet dies, dass die sich exponentiell entwickelnden Infektionsketten möglichst im Ursprung unterbrochen werden sollten, wie bei COVID-19 z. B. für Deutschland im Zeitraum vom Mai bis Juli 2020 geschehen. Sobald der Zwang entfällt, beginnt die Lawine der exponentiellen Entwicklung erneut! Andererseits erfolgt durch den Zwang eine sinnvolle Verzögerung bis zum Abbruch des Infiziertenwachstums u. a. durch Immunisierung usw.

Einfluss der Inkubationszeit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Verlauf der Anzahl der wahren und registrierten Infizierten sowie deren Differenz in Abhängigkeit von der Zeit
Verlauf der Anzahl der wahren und registrierten Infizierten sowie deren Differenz in Abhängigkeit von der Zeit zu Beginn der Infektion. Z. B. werden in diesem Beispiel am 15. Tag 9 Infizierte registriert, dabei sind bereits 24 real infiziert.

Für die Infektion zur Zeit t gelten die bekannten Modelle (exponentielles Modell, SI-Modell usw.) mit I(t) als die Zahl der Infizierten. Kenntlich wird I(t) jedoch erst nach der Inkubationszeit ti, also zur Zeit t+ti mit Ausbruch der Krankheit oder durch Test. Also wird zur Zeit t der Zustand

gemessen und nicht I(t). In der Zeit von t-ti bis zur aktuellen Zeit t ist die Zahl der Infiziertenweiter angewachsen. Somit kann auch erst zur Zeit t auf die Population Einfluss genommen werden z. B. durch Reduktion des Replikationsfaktors r. Die nicht registrierten Infizierten können auch nicht infolge Bekämpfung der Infektion dem System, der Population entzogen werden. Es verbleibt eine endliche wenn auch kleine Replikationsrate, die eine zweite und folgende Welle auslösen kann. Die Replikationsrate kann nur durch Disziplin und Zwang so niedrig wie möglich gehalten werden, um eine erneute Welle abzuflachen und damit zeitlich in die Länge zu ziehen. Die Kurve der wahren Infizierten IW(t) und jene der registrierten Infizierten IR(t) sind zwei identische Kurven mit der Zeitverschiebung der Inkubationszeit. Gemäß dem Zweiten Hauptsatz der Thermodynamik erfolgt ein Streben nach Unordnung[5], weshalb die Replikationsrate r den Drang nach Zunahme besitzt.

Um eine zweite folgende Welle grundsätzlich zu vermeiden, muss die Registratur die wahre Infektionszahl ergeben, d. h. es sollte gelten

.

Somit ist die Infiziertenanzahl zeitlich konstant. Diese Bedingung an das System ist nach dem bisher dargelegten irrelevant. Es genügt die Belastung des Gesundheitswesens, mit anderen Worten die zeitliche Änderung der Infizierten, konstant zu halten.

.

Die gleiche Forderung wie oben.

Im nachfolgenden Abschnitten wird zunächst das SI-Modell um einen solchen Term erweitert und danach die vorgenannte Forderung dem erweiterten SI-Modell gegenüber gestellt, wozu letztendlich ein Regelkreis erforderlich ist.

Forderung an die Bekämpfung der Ausbreitung der Infektion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wenn die Population sich selbst überlassen ist, verhält sich die Population gemäß dem SI-Modell mit den Parametern r und N sowie der Zustandsvariablen I(t). Aus den oben genannten Gründen muss die Population unter Zwang gesetzt werden und es sollte gelten:

 !

Dies ergibt:

.

Oder anders formuliert:[Anm. 2]

mit (DG-1)

Hat diese Differentialgleichung eine Lösung für

 ?

Ungeachtet dessen muss diese Differentialgleichung noch korrigiert werden. Infolge des k-Terms wächst oder fällt die Population gemäß N + kt:

. (DG-2)

Für k < 0 sind die der Population entnommenen Infizierten der Menge |k|t den Infizierten I(t) entsprechend obiger Differentialgleichung hinzuzufügen:

für .

Die Differentialgleichung DG-2 ist wie dargelegt korrekter als DG-1, muss jedoch numerisch gelöst werden, wohingegen die Differentialgleichung DG-1 analytisch gelöst werden kann und somit zu qualitativen Aussagen führt. DG-2 geht jedoch für kleine I(t) (I(t) << N) in DG-1 über. Nachfolgend wird daher zunächst DG-1 untersucht und anschließend auf DG-2 erweitert.

Erweitertes SI-Modell gemäß Differentialgleichung DG-1[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Erzwungener Verlauf gemäß Differentialgleichung DG-1 in Abhängigkeit von der Zeit t und der Zunahme/Abnahme k
Halbwertszeit tw gemäß Differentialgleichung DG-1 in Abhängigkeit der Zunahme/Abnahme k
RRKI(t) für DG-0 und DG-1

Vorgenannte Forderung führt zu einer Erweiterung des SI-Modells, welches jedoch weniger geeignet ist, exakte Ergebnisse bzw. exakte Vorhersagen zu erzielen, als vielmehr um Tendenzen abzuleiten und das grundsätzliche Verhalten zu verstehen. Ergänzend zu den unten genannten erweiterten SI-Modellen ist dieses Basismodell – die Differentialgleichung DG-0 – um den konstanten Anteil k zu ergänzen. Dafür gibt es zwei Gründe: erstens ist eine Zufuhr Infizierter z (z. B. Reisende aus Risikogebieten bei Corona) zu nennen sowie zweitens die Entnahme e Infizierter (z. B. zwecks Abbruch der Infektionsketten). Wirksam wird die Differenz beider Ströme:

mit k > 0 für summarische Zufuhr und k < 0 für summarische Entnahme.

Um diesen Term k ist die Differentialgleichung des SI-Modells zu erweitern:

Die quadratische Form für I(t) auf der rechten Seite hat zwei Lösungen:

mit

Dieses Ergebnis geht mit z=0 in das bekannte Ergebnis über. Die Integration[2] ergibt damit

bei

Bei Zuwachs tritt der Wendepunkt früher ein als ohne denselben und umgekehrt. Ebenso verläuft die Kurve I(t) mit Zuwachs oberhalb jener ohne denselben und umgekehrt. Die beiden Lösungen I1/2 sind reell unter der Bedingung

bzw.

Eine zweite Bedingung ergibt sich, wenn die Abnahme (also negatives k) so groß ist, dass zur Anfangszeit t = 0 die Änderung

gilt. Daraus folgt

Es können jedoch nicht mehr Infizierte den Infektionsketten entnommen werden, als Infizierte registriert wurden, d. h. k ≥ k0. Ein Stillstand, ein Abbruch des Infektionsszenariums ist nur durch Verhinderung der Infektion, durch Immunisierung, z. B. durch Impfung der Gesunden möglich (N+kt -> 0, also k < k0).

Es gilt k > 0 für Zunahme und k < 0 für Abnahme. Da gilt N >> I0, ergibt sich

Für das gewählte Beispiel mit r = 0,2297/d; I0 = 1 und N = 100 ergeben sich die Werte

und

Der Übergang von Zunahme zu Abnahme und umgekehrt im kritischen Falle I(t) = constant ist differentiell. Der kritische Fall entspricht einem labilen Gleichgewicht. Eine Entnahme aus der Population mit k0 ≥ k wäre z. B. durch Impfung Gesunder möglich.

Erfolgt die Infizierung der gesamten Population nach dem klassischen SI-Modell etwa nach der doppelten Halbwertzeit 2*ln(N/I0-1)/r, so erfolgt diese bei DG-1 etwa bei (N/rI0), wobei gilt:

.

Bei obigen Parametern gelten die Werte 40 d und 436 d.

Infiziertenstrom I‘(t) mit zwei Zustandsstufen per 20. September 2020 für Deutschland. Gemäß einer groben Schätzung für den Lockdown- oder Grundzustand und den nächst höheren Zustand werden den Coronakurven für Deutschland überlagert von diversen lokalen Ereignissen folgende Werte entnommen: I01(15.5.2020) = 173.086 und I02(13.8.2020) = 219.898 sowie k1 = 434/d und k2 = 1244/d. Daraus folg r1 = 0,0023/d und r2 = 0,0057/d. Der natürliche Wert beträgt r = 0,32/d.

Erfolgt während einer stabilen Phase (I01 ≡ I0, r und k01 ≡ k0(I01)) ein kurzzeitiger Zugang Infizierter, erhöht sich in der Folge überproportional die Anzahl Infizierter. Eine Stabilisierung wird erst wieder mit I02≡ I0, r und k02 ≡ k0(I02) mit I01 < I02 und k01 > k02 erreicht, was in der Folge zu einem stufenweise anwachsendem Verhalten von I(t) führt. Ein Rückgang auf das niedrigere Niveau ist nicht möglich! Für einen kurzzeitigen Zugang ist ein dauerhafter Mehraufwand erforderlich. Da der Mehraufwand begrenzt ist (z. B. Bettenanzahl der Kliniken, Nachverfolgung der Infektionsketten) kann ein weiteres Wachstum nur durch Senkung der Replikationsrate r erzwungen werden (also Lockdown!). Der stabile Zustand ist charakterisiert durch RRKI = 1, der Übergang von einem niederen Zustand (hier I01) zu einem höheren Zustand (hier I02) ist gekennzeichnet durch eine sinusähnliche Welle von RRKI – anfangs zunehmendes RRKI > 1 gefolgt von abnehmendem RRKI < 1. RRKI gibt keine Auskunft über die Größe der Zustandsvariablen I(t)! Der „stabile Zustand“ entspricht folglich einem linearen Anstieg des geregelten Infiziertenverlaufes Igesamt(t). Derselbe setzt sich somit infolge Störungen aus einer Folge linearere Anstiege zusammen, deren Steigung von Zustand zu Zustand zunimmt, sofern keine Herdenimmunisierung gleich welcher Art erfolgt. Am Schnittpunkt benachbarter Geraden erfolgt der Zustandsübergang. Der Infiziertenverlauf von Deutschland bestätigt dieses Modellverhalten im Groben.

Erweitertes SI-Modell gemäß Differentialgleichung DG-2[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Erzwungener Verlauf gemäß Differentialgleichung DG-2 unmittelbar oberhalb des kritischen Wertes für k: Igesamt(t) im Vergleich zum Verlauf des SI-Modells bei DG-0 (entspricht k=0) und des Verlaufes bei DG-1
RRKI(t) für DG-2

Der nahezu linear ansteigende Infiziertenverlauf in der Anfangsphase ist am deutlichsten an RRKI zu erkennen. Jedoch ist auch zu erkennen, dass in der Endphase eine Welle nicht zu vermeiden ist.

Mit diesen beiden Erweiterungen des SI-Modells tangiert bzw. überlappt dieselbe mit den unten genannten Modellen.

Zusammenfassung der Differentialgleichungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

DG-0:

DG-1:

für

DG-2:

für

Regelkreis mit SI-Modell als Regelstrecke[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der oben genannte Zwang bedeutet in der Realität, einen Regelkreis aufzubauen mit der (registrierten) infizierten Gesellschaft (Population) als Regelstrecke und der Medizin als auch der Politik als Regler. In diesem Regelkreis ist die zeitliche Änderung der Infizierten dI/dt die Regelgröße und die Verfolgung der registrierten Infizierten sowie der Abbruch der Infektionsketten k sowie die Strenge der Hygienemaßnahmen sowohl der nichtregistrierten Infizierten wie der Gesunden repräsentiert durch r die Stellgröße. Der Abbruch der Infektionsketten ist der Schlüssel für den labilen Zustand. Daraus resultiert die Führungsgröße als eine maximal zulässige zeitliche Änderung der Infizierten dI/dt|max. Als Störgrößen sind zu nennen: zugeführte Infizierte z (mit Wirkung auf k) und insbesondere eine differentielle Zunahme der Replikationsrate Δr durch Nichteinhaltung der Hygienemaßnahmen. Wenn die Organisation der Nachverfolgung überfordert ist, kommt es zwangläufig erneut zum exponentiellen Anstieg. Für die Strecke ist das erweiterte SI-Modell mit der Inkubationszeit einzusetzen. Diese Zeit erweist sich dabei als Totzeit der Regelstrecke. Aber auch der Regler hat ungünstigerweise ebenfalls eine summarische Totzeit. Diese setzt sich zusammen aus

  • der Messung und Auswertung möglicher Infizierte,
  • der Erarbeitung von medizinischen und organisatorischen Maßnahmen zur Minderung des Anstieges der zeitlichen Änderung der Infizierten (wenn dI/dt - dI/dt|max > 0),
  • die rechtliche Bestätigung dieser Maßnahmen mit eventueller Rückwirkung auf die vorgeschlagenen Maßnahmen sowie
  • die Durchsetzung und Akzeptanz der Maßnahmen durch die Gesellschaft.

Die Summe aller Totzeiten tot bewirkt auch bei kleiner Replikationsrate einen nicht zu vernachlässigenden Faktor (er*tot > 1) und bringt die Stabilität des Regelkreises in Schwierigkeiten, unter anderem dadurch, weil das Verhalten von Regelkreisen mit Totzeitgliedern nur numerisch (nicht analytisch) untersucht werden kann. Es ist hierzu das Verhalten von Zweipunktreglern zu vergleichen, die ein immanentes Hysterese-Verhalten besitzen.

Je fortgeschrittener die Infektionshistorie und damit je größer der Infektionsstrom dI/dt ist, desto aufwendiger sind der Abbruch der Infektionsketten und die Hygienemaßnahmen.

Auch wenn das erläuterte Verhalten in der Realität schwer in Zahlen auszudrücken ist, hilft es für das Verständnis einmal der abzuleitenden Maßnahmen beim Regler (=> Medizin, Politik) und zum anderen der umzusetzenden Maßnahmen in der Strecke (=> Gesellschaft).

Schlussfolgerungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es ist möglich, den Infiziertenverlauf gemäß dem sehr einfachen SI-Modell eingebettet als Regelstrecke in einem Regelkreis zur Bekämpfung der Infektion zu einem linearen Verlauf als zeitlich konstante Belastung der Gesellschaft im Allgemeinen zu zwingen, ein Verhalten, dass sich bei dem Infiziertenverlauf in Deutschland bestätigt.

Allein Infektionen gemäß SI-Modell durchlaufen eine einzige (gefährliche) Welle bis zur Infizierung der gesamten Population. Mittel zwangsweisem Infektionskettenabbruch ist es möglich über eine längere Zeitspanne einen nahezu "stabilen Zustand" (dI/dt ≈ constant, d. h. linearer Anstieg) zu erhalten, wobei der Infektionskettenabbruch und die Hygienemaßnahmen als Regelgrößen fungieren. Die vollständige Infizierung wird dadurch nicht verhindert, jedoch erheblich verzögert, um Zeit zu gewinnen für anderweitige Bekämpfung (z. B. Impfung) der Infektion. Infolge diverser, nicht zu eliminierender Totzeiten (u. a. der Inkubationszeit der Infektion) muss nach einem (zufälligen) Anstieg der Infektionszahl stärker gegengesteuert werden, als dem stabilen Wert entspricht. Auf diese Weise erfolgt die Einstellung der Stellgrößen als Antwort auf die Regelgröße dI/dt nicht stetig, sondern sprunghaft (mehr oder weniger Zwang), ein Verhalten, was der Strecke/Gesellschaft schwer zu vermitteln ist. Eine kurzzeitige Störung des stabilen Zustandes führt zu einer dauerhaften höheren Belastung zur Erhaltung eines neuen stabilen Zustandes, was in der Folge zu einem stufenweisen Anwachsend der Infiziertenzahlen führt (Folge linearer Anstiege zunehmender Steigung). Ein Rückgang auf das niedrigere Niveau ist nicht möglich! Da der Mehraufwand begrenzt ist (z. B. Bettenanzahl der Kliniken, Nachverfolgung der Infektionsketten) kann ein weiteres Wachstum nur durch Senkung der Replikationsrate r erzwungen werden (also Lockdown!).

Mit den dargelegten Erweiterungen des SI-Modells tangieren bzw. überlappen diese Modellierungen die nachfolgend genannten Modelle. Zur Präzisierung der Schlussfolgerungen und Aussagen ist vorgenanntes Szenarium auf diese höherwertigen Modelle zu übertragen.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. siehe auch freie Weglänge
  2. a b Integraltabelle. Abgerufen am 12. Juli 2020 (Formel 17 auf Seite 1).
  3. COVID-19-Pandemie in Deutschland#Reproduktionszahl
  4. Basisreproduktionszahl#Berechnung der Basisreproduktionszahl
  5. siehe auch Entropie

Anmerkungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Ein abstraktes Beispiel : Ein Infizierter infiziert an einem Tag zwei weitere Personen, also insgesamt 3, die zwei neu Infizierten infizieren wiederum je zwei, also vier, also insgesamt 7 usw. Mathematisch ausgedrückt heißt das: 2t-1 oder ert-1 mit r = ln2 = 0,693. Ein reales Beispiel: exponentielles Anfangswachstum der Infizierten bei Corona: Deutschland mit 83 Mio. Einwohner: r = 0,315/d; Sachsen mit 4,2 Mio. Einwohner: r = 0,354/d; Österreich mit 8,9 Mio. Einwohner: r = 0,324/d, unabhängig von der Einwohneranzahl.
  2. Vergleiche die Bewegungsgleichung der erzwungenen Schwingung: Auf der einen Seite der Gleichung die Bewegungsgleichung der freien Schwingung, auf der anderen Seite der Zwang.