Satz von Clairaut (Differentialgeometrie)

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

Der Satz von Clairaut (benannt nach Alexis-Claude Clairaut) ist eine Aussage der klassischen Differentialgeometrie.

Aussage[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine Rotationsfläche und mit eine reguläre Kurve auf . Es bezeichne den Radius des Breitenkreises durch sowie den Schnittwinkel der Kurve mit diesem Breitenkreis. Dann gelten:

  • Ist eine geodätische Linie, so ist die Funktion längs konstant.
  • Ist längs konstant und kein Breitenkreis, so ist eine geodätische Linie.

Beweis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine Parametrisierung der Fläche , wobei wir o. B. d. A. als Bogenlänge der erzeugenden Kurve annehmen können. Damit berechnen wir die Koeffizienten der 1. Fundamentalform zu

, , .

Sei o. B. d. A. nach der Bogenlänge parametrisiert. Um den Satz von Liouville anwenden zu können, berechnen wir explizit die geodätischen Krümmungen der -Linien (Breitenkreise) und -Linien (Meridiane):

Daraus ergibt sich die geodätische Krümmung der Kurve zu

 (1)

Differenzieren der Funktion liefert:

Mit folgt aus (1)

und damit die Behauptung.

Anwendung in der Landesvermessung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In der Landesvermessung stellt sich das Problem, zu gegebenem Anfangspunkt und -richtung eine geodätische Linie zu berechnen, die sogenannte erste geodätische Hauptaufgabe.

Seien und die Halbachsen des Referenzellipsoids und das Quadrat der (ersten) numerischen Exzentrizität. Der Radius des Breitenkreises mit der ellipsoidischen Breite beträgt

Als Azimut bezeichnet man den Schnittwinkel der Linie mit der Nordrichtung. Damit folgt aus dem Satz von Clairaut die Konstanz von

entlang der Geodätischen. Führt man die reduzierte Breite gemäß der Formel ein, so folgt die Konstanz von

Dieser Wert heißt die clairautsche Konstante der geodätischen Linie.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Michael Spivak: A Comprehensive Introduction to Differential Geometry. Band 3. 3rd edition. Publish or Perish Press, Houston TX 1999, ISBN 0-914098-72-1, S. 214–216.