Exzentrizität (Mathematik)

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Als Exzentrizität bezeichnet man zwei Maße für die Abweichung eines Kegelschnittes von der Kreisform:

  • Die lineare Exzentrizität e ist bei Ellipsen und Hyperbeln der Abstand eines Brennpunkts zum Mittelpunkt. Sie ist somit ein Längenmaß. Gelegentlich wird die lineare Exzentrizität auch Brennweite genannt.
  • Die numerische Exzentrizität \varepsilon ist der Quotient aus der linearen Exzentrizität und der Länge der großen Halbachse und somit eine dimensionslose Größe. Sie ist auch für Parabeln definiert. Die numerische Exzentrizität eines Kreises ist 0, die einer Ellipse zwischen 0 und kleiner als 1, die einer Parabel 1 und die einer Hyperbel größer als 1.

Neben allgemeinen Problemen der Geometrie spielen die Werte insbesondere in der Optik und der Astronomie bzw. der Raumflugmechanik eine besondere Rolle

Siehe auch: Exzentrizität (Astronomie)

Die lineare Exzentrizität[Bearbeiten]

Bei Ellipsen und Hyperbeln ist die lineare Exzentrizität e definiert als der Abstand der Brennpunkte zum Mittelpunkt.

Ellipse mit Bezeichnungen.

Für Ellipsen gilt:

e = \sqrt{a^2 - b^2}

Hierbei bezeichnet a die Länge der großen Halbachse und b die Länge der kleinen Halbachse (vgl. Zeichnung). Es gilt somit immer 0 \le e < a. Beim Sonderfall des Kreises stimmen die beiden Brennpunkte mit dem Mittelpunkt überein. Es gilt a = b = r und somit e = 0.

Hyperbel mit Bezeichnungen

Für Hyperbeln gilt:

e = \sqrt{a^2 + b^2}

Hierbei bezeichnet a die Länge der großen oder reellen Halbachse und b die Länge der kleinen oder imaginären Halbachse (vgl. Zeichnung). Bei Hyperbeln gilt immer e > a

Für Parabeln wird die lineare Exzentrizität in der Regel nicht definiert. Gelegentlich wird auch der Abstand zwischen Scheitelpunkt und Brennpunkt (die Brennweite) als lineare Exzentrizität bezeichnet.

Die numerische Exzentrizität[Bearbeiten]

Kreis, Ellipse, Parabel und Hyperbel mit numerischer Exzentrizität

Bei Ellipsen und Hyperbeln ist die numerische Exzentriziät der Quotient aus linearer Exzentrizität und großer Halbachse:

\varepsilon = \frac{e}{a}

Für Ellipsen gilt 0 \le \varepsilon < 1 (mit \varepsilon = 0 im Fall eines Kreises) , für Hyperbeln gilt \varepsilon > 1. Die numerische Exzentrizität einer Parabel beträgt 1.

Mit a^2 - b^2 = e^2 für die Ellipse und a^2 + b^2 = e^2 für die Hyperbel ergibt sich:

\varepsilon = \frac{\sqrt{a^2 \pm b^2}}{a} = \sqrt{1 \pm \left( {b\over a} \right) ^2}

In der Astronomie heißt die numerische Exzentrizität in der Regel nur Exzentrizität und wird mit dem Symbol e bezeichnet.