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Schnittwinkel (Geometrie)

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Schnittwinkel zwischen zwei Geraden

Ein Schnittwinkel ist in der Geometrie ein Winkel zwischen zwei sich schneidende Kurven (insbesondere Geraden) oder Flächen. Beim Schnitt zweier Geraden entstehen im Allgemeinen vier Schnittwinkel, von denen je zwei gegenüberliegende kongruent sind. Als Schnittwinkel wird meist der kleinere dieser beiden kongruenten Winkel bezeichnet, der dann spitz- oder rechtwinklig ist.[1][2] Da Nebenwinkel sich zu 180° ergänzen, lässt sich der größere Schnittwinkel, der dann stumpf- oder rechtwinklig ist, aus diesem ermitteln. Ein besonderer Fall liegt vor, wenn sich die Geraden in einem rechten Winkel schneiden. Dann sind alle Winkel gleich groß und jeder kann als Schnittwinkel angesehen werden.

Schnittwinkel zwischen den Graphen zweier reeller Funktionen lassen sich mittels der Ableitungen der Funktionen am Schnittpunkt berechnen. Schnittwinkel zwischen zwei Kurven kann man über das Skalarprodukt der Tangentialvektoren am Schnittpunkt ermitteln. Der Schnittwinkel zwischen einer Kurve und einer Fläche ist der Winkel zwischen dem Tangentialvektor der Kurve und dem Normalenvektor der Fläche am Schnittpunkt. Der Schnittwinkel zweier Flächen ist der Winkel zwischen den Normalenvektoren der Flächen und dann abhängig vom Punkt auf der Schnittkurve.

Schnittwinkel von Funktionsgraphen

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Schnittwinkel zwischen den Graphen zweier linearer Funktionen

Schnittwinkel zweier linearer Funktionen

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Der Schnittwinkel zwischen den Graphen zweier linearer Funktionen mit den Steigungen bzw. berechnet sich für mittels

.

Dabei ist der Tangens des Schnittwinkels und der Absolutbetrag.

Gilt für die Steigungen , so schneiden sich die beiden Geraden rechtwinklig.

Zur Herleitung der Formel für den Schnittwinkel

Die Steigungswinkel und die Steigungen der linearen Funktionen hängen über und miteinander zusammen. Aus den Steigungswinkeln kann man den Schnittwinkel sofort berechnen als bzw. , je nachdem ob die Differenz der Steigungswinkel höchstens oder größer als ist. Für folgt mit dem Additionstheorem für den Tangens

.

Für erhält man unter Benutzung von dieselbe Formel.

Die linearen Funktionen und haben die Steigung und . Für den Schnittwinkel gilt somit

.

Schnittwinkel zweier differenzierbarer Funktionen

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Allgemeiner lässt sich auf diese Weise auch der Schnittwinkel zwischen den Graphen zweier differenzierbarer Funktionen mit den Ableitungen bzw. im Schnittpunkt ermitteln:

für

und für beträgt der Schnittwinkel .

Die Graphen der beiden linearen Funktionen und schneiden sich an der Stelle in einem -Winkel, denn

.

Die Exponentialfunktion schneidet die konstante Funktion an der Stelle in einem Winkel von 45°, denn

.

Schnittwinkel von Kurven und Flächen

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Schnittwinkel zweier Geraden

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Der Schnittwinkel zweier (hier kreisförmiger) Kurven ist der Winkel zwischen den Tangenten der Kurven und am Schnittpunkt .

Im euklidischen Raum gilt für den Schnittwinkel zweier sich schneidender Geraden mit den Richtungsvektoren und

,

wobei der von den beiden Vektoren eingeschlossene Winkel und das Skalarprodukt der beiden Vektoren ist. Hieraus kann man mithilfe des Arkuskosinus den Schnittwinkel bestimmen.

Der Schnittwinkel zwischen zwei sich schneidenden Raumgeraden mit den Richtungsvektoren und ist

.
Schnittwinkel zweier Geraden in Parameterform

Da die Neigung zweier Geraden zueinander von Parallelverschiebungen unberührt bleibt, genügt es, zwei sich schneidende Ursprungsgeraden und zu betrachten. Ist der von den Richtungsvektoren und eingeschlossene Winkel , so handelt es sich schon um den Schnittwinkel und aus der geometrischen Definition des Skalarprodukts folgt sofort

.

Ist hingegen , so ist der Nebenwinkel von der Schnittwinkel, d. h. es gilt und somit . Einsetzen in die geometrische Definition des Skalarprodukts und liefert

.

Da aber im ersten Fall und im zweiten Fall gilt, lassen sich die beiden Formeln mithilfe des Absolutbetrags zu der oben angegebenen Formel zusammenfassen.

Schnittwinkel zweier differenzierbarer Kurven

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Allgemeiner lässt sich so auch der Schnittwinkel zweier differenzierbarer Kurven über das Skalarprodukt der zugehörigen Tangentialvektoren und am Schnittpunkt ermitteln.

Um den Schnittwinkel zwischen der Gerade und dem Einheitskreis im Punkt zu berechnen ermittelt man die beiden Tangentialvektoren in diesem Punkt als und und damit

.

Schnittwinkel einer Kurve mit einer Fläche

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Schnittwinkel , Gerade g, Ebene E, Projektionsgerade p

Der Schnittwinkel zwischen einer Gerade mit dem Richtungsvektor und einer Ebene mit dem Normalenvektor ist durch

gegeben.[3] Allgemeiner kann man so auch den Schnittwinkel zwischen einer differenzierbaren Kurve und einer differenzierbaren Fläche über das Skalarprodukt des Tangentialvektors der Kurve mit dem Normalenvektor der Fläche am Schnittpunkt berechnen. Dieser Schnittwinkel ist dann gleich dem Winkel zwischen dem Tangentialvektor der Kurve und dessen Orthogonalprojektion auf die Tangentialebene der Fläche.

Schnittwinkel zweier Flächen

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Schnittwinkel zwischen zwei Ebenen:

Für den Schnittwinkel zwischen zwei Ebenen mit den Normalenvektoren und gilt entsprechend[3]

.

Allgemeiner lässt sich so auch der Schnittwinkel zwischen zwei differenzierbaren Flächen ermitteln. Dieser Schnittwinkel hängt dabei im Allgemeinen von dem Punkt auf der Schnittkurve ab.

Commons: Schnittwinkel – Sammlung von Bildern

Einzelnachweise

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  1. Helmut Albrecht: Elementare Koordinatengeometrie. 2020, S. 58.
  2. Andreas Filler: Elementare Lineare Algebra. 2011, S. 159.
  3. a b Filler: Elementare Lineare Algebra. 2011, S. 160.