Satz von Girsanow

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In der Wahrscheinlichkeitstheorie wird der Satz von Girsanow benutzt, um stochastische Prozesse zu verändern. Dies geschieht mithilfe eines Maßwechsels von dem kanonischen Maß P zum äquivalenten Martingalmaß Q. Dieser Satz hat eine besondere Bedeutung in der Finanzmathematik, da unter dem äquivalenten Martingalmaß die diskontierten Preise eines Underlying, wie einer Aktie, Martingale sind. Im Bereich stochastischer Prozesse ist der Maßwechsel wichtig, da dann folgende Aussage getroffen werden kann: Wenn Q ein bezüglich P absolut stetiges Wahrscheinlichkeitsmaß ist, dann ist jedes P-Semimartingal ein Q-Semimartingal.

Geschichte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Satz wurde 1945 zuerst von Cameron und Martin[1] und danach 1960 von Igor Wladimirowitsch Girsanow bewiesen. Der Satz wurde durch Lenglart 1977 verallgemeinert.

Satz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei ein Wahrscheinlichkeitsraum, versehen mit der natürlichen Filtrierung des standardisierten Wiener-Prozesses . Sei ein adaptierter Prozess, so dass gilt P-fast-sicher und der Prozess definiert durch

sei ein Martingal.

Dann gilt unter dem Wahrscheinlichkeitsmaß mit der Dichte bezüglich , dass der Prozess definiert durch ein standardisierter Wiener-Prozess ist.[2]

Bemerkungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Prozess ist das stochastische Exponential des Prozesses mit , das heißt, er löst die stochastische Differentialgleichung , . Er ist stets ein nichtnegatives lokales Martingal, also auch ein Supermartingal. Der im Allgemeinen schwierigste Teil in der Anwendung des obigen Satzes ist die Voraussetzung, dass tatsächlich ein Martingal ist. Eine hinreichende Bedingung, so dass ein Martingal ist, lautet:

Diese Bedingung nennt man auch die Novikov-Bedingung.

Quellen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • C. Dellacherie, P.-A. Meyer: Probabilités et potentiel – Théorie des Martingales. Kapitel VII, Hermann, 1980.
  • Damien Lamberton, Bernard Lapeyre: Introduction to Stochastic Calculus Applied to Finance. Kapitel IV, S. 66, Chapman & Hall, 2000, ISBN 0-412-71800-6.

Referenzen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. A. I. Yashin: An Extension of the Cameron-Martin Result, Journal of Applied Probability (1993), Band 30, Nummer 1, Seiten 247-251
  2. Rose-Anna Dana, Monique Jeanblanc: Financial Market in Continuous Time. Springer, Berlin 2003, ISBN 978-3-540-43403-0 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]