Im mathematischen Gebiet der Differentialtopologie sind sekundäre charakteristische Klassen (wie die Cheeger-Chern-Simons-Klassen) Invarianten flacher Bündel.
Bekanntlich können verschiedene charakteristische Klassen
![{\displaystyle c\in H^{k}(B;\mathbb {Z} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f31a1bf0c7939162b1c86fb9acf94ab3c213217)
von
-Prinzipalbündeln
mittels der Chern-Weil-Konstruktion durch invariante Polynome
realisiert werden, d. h., es gibt ein invariantes Polynom
, so dass
![{\displaystyle \left[P(\Omega )\right]=c_{\mathbb {R} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6c4f1f88e420ad73c3699e1b0fb733aeae33b3d)
für jedes
-Prinzipalbündel mit Zusammenhangsform
, wobei
![{\displaystyle \Omega \in \Omega ^{2}(B)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cde7457683e9c64d7737c9aed56fd04d4ba50cbc)
die Krümmungsform des Zusammenhangs
,
die De-Rham-Kohomologieklasse von
,
und
das Bild der charakteristischen Klasse
unter dem kanonischen Homomorphismus
![{\displaystyle H^{k}(B;\mathbb {Z} )\to H^{k}(B;\mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/228d3c651888f57affee952bf662fcd98f158c56)
bezeichnet.
Für flache Bündel ist
![{\displaystyle \Omega =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f13626ab9973e552799145433799b1a2986dd351)
und demzufolge verschwinden alle über die Chern-Weil-Konstruktion definierten charakteristischen Klassen, insbesondere Chern-Klassen und Pontrjagin-Klassen.
Die Cheeger-Chern-Simons-Konstruktion definiert nun zu jeder solchen charakteristischen Klasse, genauer zu jedem invarianten Polynom
![{\displaystyle P\in I^{k}(G)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac829a67ef8c139347164cc36b7d22e33b5f50f2)
und jeder Kohomologieklasse
![{\displaystyle c\in H^{2k}(B)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8da70df5bbe1669b92efb5f4abecbd38cae5c7e)
mit
einen Differentialcharakter
.
Die Kohomologiegruppe
ist eine Untergruppe von
und im Fall flacher Bündel liegt
in dieser Untergruppe. Die so definierte Kohomologieklasse
![{\displaystyle {\hat {c}}\in H^{k}(B;\mathbb {R} /\mathbb {Z} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7898e56f7c03e186a39cc19aaaea2fd7704b6f70)
heißt (die zur primären charakteristischen Klasse
assoziierte) sekundäre charakteristische Klasse.
Anwendung des Bockstein-Homomorphismus
bildet die sekundäre charakteristische Klasse
auf die charakteristische Klasse
ab, deren Bild in
verschwindet.
Gegeben seien eine Lie-Gruppe
, ein invariantes Polynom
und eine Kohomologieklasse
mit
. Wir bezeichnen mit
die Korand-Abbildung und mit
den Bockstein-Homomorphismus.
Satz: Für jedes
-Prinzipalbündel
mit Zusammenhangsform
gibt es einen eindeutigen Differentialcharakter
![{\displaystyle S_{P,u}(p,\omega )\in {\widehat {H}}^{2k-1}(B;\mathbb {R} /\mathbb {Z} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d93a329f960249ce5a802952f0d201fd2f586d89)
mit
![{\displaystyle \delta S_{P,u}(p,\omega )=P(\Omega )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a5e464cd55fd5be31f53e9fa580873628548623)
,
so dass
unter Bündelabbildungen natürlich transformiert.
Ein Spezialfall ist die Konstruktion von Cheeger-Chern-Simons-Klassen.
Die Chern-Polynome
seien definiert durch die Relation
![{\displaystyle \det(\lambda \,\mathrm {id} _{n}-{\frac {1}{2\pi i}}A)=\sum _{k=0}^{n}C_{k}(A,\ldots ,A)\lambda ^{n-k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a77f9c79adc693711f546fcb5d356c994bf2907)
für alle
.
Der universelle Chern-Weil-Homomorphismus
![{\displaystyle w_{k}\colon I^{k}(G)\to H^{2k}(BG;\mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fd57e6d04fdc9110d1357b2f757ea5496c5af56)
bildet invariante Polynome auf Kohomologieklassen des klassifizierenden Raumes
ab.
Im Fall der Chern-Polynome gibt es die universellen Chern-Klassen
und für diese gilt
.
Für ein
-Prinzipalbündel
gibt es nun eine klassifizierende Abbildung
und die Chern-Klasse von
ist
. Für eine Zusammenhangsform
definiert man nun
.
Im Fall flacher Bündel
erhält man die Cheeger-Chern-Simons-Klassen
.
Falls
eine
-dimensionale geschlossene orientierbare Mannigfaltigkeit ist, erhält man die Cheeger-Chern-Simons-Invariante
![{\displaystyle CCS(p):=\langle {\hat {c}}_{k}(p),\left[M\right]\rangle \in \mathbb {C} /\mathbb {Z} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42900832844ea8ec6cc9a7ba7d6d35c092e6a941)
des flachen Bündels
durch Anwenden der Cheeger-Chern-Simons-Klasse auf die Fundamentalklasse
.
- Cheeger, Simons: Differential characters and geometric invariants. Geometry and topology (College Park, Md., 1983/84), 50–80, Lecture Notes in Math., 1167, Springer, Berlin, 1985. pdf
- Dupont, Hain, Zucker: Regulators and characteristic classes of flat bundles. The arithmetic and geometry of algebraic cycles (Banff, AB, 1998), 47–92, CRM Proc. Lecture Notes, 24, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2000.