Chern-Weil-Theorie

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In der Mathematik ist die Chern-Weil-Theorie ein allgemeines Verfahren, wie man die charakteristischen Klassen eines Prinzipalbündels aus seiner Krümmung berechnen kann. (Charakteristische Klassen sind Kohomologieklassen, die topologisch messen, wie getwistet ein Bündel ist.) Historisch entstand sie beim Beweis der höherdimensionalen Version des Satzes von Gauß-Bonnet, sie markierte den Beginn der “globalen Differentialgeometrie”, also der Wechselwirkung von Geometrie und Topologie. Die Theorie ist nach André Weil und S. S. Chern benannt.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei ein Prinzipalbündel mit Strukturgruppe , sei die Lie-Algebra von . Chern-Weil-Theorie definiert einen Homomorphismus

vom Raum der -invarianten Polynome auf in die deRham-Kohomologie, den sogenannten Chern-Weil-Homomorphismus.

Jedem invarianten Polynom wird die -Form

zugeordnet, wobei die Krümmungsform eines Zusammenhangs des Prinzipalbündels ist. Das heißt, für ist

.

ist eine geschlossene Form und ist dann per Definition die Kohomologieklasse dieser -Form. Man kann zeigen, dass nicht vom gewählten Zusammenhang abhängt.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Sei . Dann hat die Krümmungsform Werte in . Die Entwicklung
definiert invariante Polynome
,
zum Beispiel ist und . Die Kohomologieklassen sind die Chern-Klassen.

Universeller Chern-Weil-Homomorphismus[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine Lie-Gruppe und ihr klassifizierender Raum. ist keine Mannigfaltigkeit, trotzdem läßt sich für das universelle -Bündel ein Chern-Weil-Homomorphismus definieren.

Wenn ein -Prinzipalbündel und seine klassifizierende Abbildung ist, dann ist .

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Appendix C: Connections, Curvature, and Characteristic Classes in: Milnor, John W.; Stasheff, James D.: Characteristic classes. Annals of Mathematics Studies, No. 76. Princeton University Press, Princeton, N. J.; University of Tokyo Press, Tokyo, 1974. vii+331 pp.
  • Chapter 5 in: Candel, Alberto; Conlon, Lawrence: Foliations. II. Graduate Studies in Mathematics, 60. American Mathematical Society, Providence, RI, 2003. xiv+545 pp. ISBN 0-8218-0881-8