Charakteristische Klasse

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Eine charakteristische Klasse ist ein mathematisches Objekt aus der Differentialtopologie. Sie ist eine topologische Invariante eines Vektorbündels und kann durch eine Differentialform dargestellt werden. Eine charakteristische Klasse beschreibt mehr oder weniger die „Verdrehtheit“ eines Bündels, so entspricht die charakteristische Klasse eines trivialen Bündels meistens dem Eins-Element.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei oder . Ist ein Vektorbündel mit Faser und die Graßmann-Mannigfaltigkeit , so lässt sich eine bis auf Homotopie eindeutige Abbildung definieren, die durch eine Bündelabbildung in das tautologische Bündel über überlagert wird.

Sei ein kommutativer Ring mit Eins-Element. Zu jeder Kohomologieklasse ist die charakteristische Klasse definiert durch

Motivation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein n-dimensionales Vektorbündel ist genau dann trivial, wenn seine klassifizierende Abbildung nullhomotop (homotop zu einer konstanten Abbildung) ist. Diese Bedingung ist aber schwer zu überprüfen. Leichter zu überprüfen ist, ob die induzierten Abbildungen in Homologie oder Kohomologie trivial sind und genau dies wird von charakteristischen Klassen gemessen.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Prinzipalbündel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Allgemeiner kann man charakteristische Klassen von Prinzipalbündeln definieren. Jeder Kohomologieklasse des klassifizierenden Raumes der Lie-Gruppe entspricht eine charakteristische Klasse von -Prinzipalbündeln . Diese wird definiert durch , wobei die klassifizierende Abbildung von ist.

Im Falle von oder entsprechen die charakteristischen Klassen von -Prinzipalbündeln den charakteristischen Klassen der assoziierten Vektorbündel.

Umgekehrt kann man zu jedem mit einer Metrik versehenen (reellen oder komplexen) Vektorbündel das Rahmenbündel als Prinzipalbündel (mit Strukturgruppe oder ) betrachten, dessen charakteristische Klassen den charakteristischen Klassen des Vektorbündels entsprechen.

Charakteristische Klassen von Prinzipalbündeln lassen sich mittels Chern-Weil-Theorie aus der Krümmungsform eines Zusammenhanges berechnen. Insbesondere verschwinden die charakteristischen Klassen flacher Bündel. Für diese kann man dann sekundäre charakteristische Klassen definieren.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Obstruktionstheorie

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]