Sichtfaktor

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Sichtfaktoren (auch: Einstrahlzahlen, Formfaktoren, Winkelverhältnisse) dienen bei der Berechnung des Strahlungsaustausches zwischen verschiedenen Flächen zur Beschreibung der gegenseitigen geometrischen „Sichtverhältnisse“, also der gegenseitigen Lage und Orientierung der Flächen. Der den beiden Flächen 1 und 2 zugeordnete Sichtfaktor F12 gibt an, welcher Bruchteil der von Fläche 1 insgesamt diffus ausgesandten Strahlung direkt auf Fläche 2 trifft.

Handelt es sich bei den die Strahlung austauschenden Flächen um Schwarze Strahler oder um Graue Lambert-Strahler, dann kann die Berechnung der ausgetauschten Strahlung durch Verwendung von Sichtfaktoren stark vereinfacht werden. Auf nicht-diffus strahlende Körper können Sichtfaktoren nur in Ausnahmefällen angewendet werden.

Die Berechnung von Sichtfaktoren erfordert die (analytische oder numerische) Integration über die Raumwinkel, unter welchen die Flächen einander sehen. Geometrische Zusammenhänge zwischen den Sichtfaktoren der beteiligten Flächen erlauben meist, einige der gesuchten Sichtfaktoren aus bereits bekannten abzuleiten und so einen Teil der oft aufwändigen Integrationen zu umgehen.

Strahlungsaustausch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Fotometrisches Grundgesetz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zwei Flächen als gegenseitige Strahlungspartner im fotometrischen Grundgesetz

Gemäß dem fotometrischen Grundgesetz hängt die von einem infinitesimalen Flächenelement auf ein Flächenelement übertragene Strahlungsleistung ab

  • von der in Richtung abgegebenen Strahldichte ,
  • von den Flächengrößen und ,
  • von den Winkeln und , um welche die Flächen gegen ihre gemeinsame Verbindungslinie geneigt sind, und
  • vom gegenseitigen Abstand der Flächen:

Um die Strahlungsleistung zwischen endlichen Flächen und zu erhalten, muss über beide Flächen integriert werden:

.

Betrachtet man ausschließlich diffus strahlende Flächen mit überall konstanter Strahldichte, so ist die Strahldichte an allen Ausstrahlorten und in allen Ausstrahlrichtungen dieselbe und kann als Konstante vor die Integrale gezogen werden:

.

Die Integrale hängen jetzt nur noch von der gegenseitigen geometrischen Konfiguration der beteiligten Flächen ab.

Sichtfaktor[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Berücksichtigt man ferner, dass die laut Voraussetzung in alle Richtungen des Halbraums gleichmäßig mit der Strahldichte strahlende Fläche insgesamt die Strahlungsleistung

abgibt (siehe Strahldichte), dann folgt für den Sichtfaktor zwischen beiden Flächen:

Diese Integrale können für gegebene Flächenpaare und ein für alle Mal ausgeführt und tabelliert werden.

Beachtet man, dass ein Flächenelement von aus betrachtet den Raumwinkel aufspannt (bzw. analog für ), so vereinfachen sich die Integrale zu

Ein Sichtfaktor ist also im Wesentlichen das Integral über den von einer der Flächen aufgespannten Raumwinkel, gewichtet mit dem Cosinus des Einfallswinkels auf der anderen Fläche.

Zwei Flächen und haben - unabhängig von ihrer jeweiligen Entfernung - denselben Sichtfaktor bezüglich , wenn sie von aus gesehen denselben Raumwinkel aufspannen und denselben Einfallswinkel haben.

Reziprozitätsbeziehung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Vertauscht man in der Definitionsgleichung des Sichtfaktors die Indizes 1 und 2, so erhält man den Sichtfaktor für den Strahlungstransport von 2 nach 1 (orts- und richtungsunabhängiges vorausgesetzt):

Aus dem Vergleich der beiden Gleichungen folgt die Reziprozitätsbeziehung der Sichtfaktoren:

Ist einer der beiden Sichtfaktoren bekannt, so erlaubt diese Beziehung sofort und ohne weitere Rechnung den anderen zu ermitteln.

Additivität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Integral über eine Fläche kann in eine Summe von Integralen über deren Teilflächen zerlegt werden. Entsprechend kann auch ein Sichtfaktor auf eine Zielfläche in eine Summe von Sichtfaktoren auf Teilflächen zerlegt werden. Dies kann von Vorteil sein, wenn über die Teilflächen leichter integriert werden kann oder die einfacheren Teil-Sichtfaktoren einer Tabelle entnommen werden können.

Sichtfaktor-Algebra[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Findet der Strahlungsaustausch zwischen Flächen statt, welche einen geschlossenen Hohlraum bilden (die als orts- und richtungsunabhängig vorausgesetzt), so folgt aus der Strahlungsbilanz für die Fläche

nach Division durch die Summenregel:

Der in der Summe auftretende Summand beschreibt den Strahlungsaustausch der Teilfläche mit sich selbst. Er ist für ebene und konvexe Flächen stets Null, kann für konkave Flächen aber ungleich Null sein.

In einem von Teilflächen gebildeten Hohlraum treten insgesamt Sichtfaktoren auf. Diese müssen nicht unbedingt alle einzeln durch Ausführen der oben angegebenen Integrale ermittelt werden. Sichtfaktoren können bestimmt werden, indem die Summenregel auf jede der Teilflächen angewendet wird. Die Reziprozitätsbeziehung liefert weitere Sichtfaktoren. Es bleiben somit nur noch

Sichtfaktoren unabhängig voneinander zu bestimmen. Diese Zahl verringert sich noch um die Anzahl der konvexen und ebenen Teilflächen, für die ist.[1]

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Man betrachte einen kugelschalenförmigen Hohlraum, welcher von der inneren Kugelfläche 1 und der äußeren Kugelfläche 2 begrenzt wird. Zu bestimmen sind die Sichtfaktoren , , und .[1]

Da Fläche 1 konvex ist, folgt sofort .

Die auf Fläche 1 angewendete Summenregel liefert

;

die gesamte von der inneren Fläche 1 abgegebene Strahlung fällt also auf die äußere Fläche 2.

Aus der Reziprozitätsbeziehung folgt

.

Die auf Fläche 2 angewendete Summenregel schließlich ergibt:

.

ist nicht gleich Null, da Fläche 2 konkav ist und ein Teil der von ihr abgegebenen Strahlung wieder (an anderer Stelle) auf sie selbst trifft.

In diesem Fall mit bleibt also nur ein einziger Sichtfaktor ( oder ) aus den geometrischen Daten des Hohlraums zu bestimmen. Diese Bestimmung kann bei diesem Beispiel sogar ohne Ausführung des definierenden Integrals erfolgen; dies stellt jedoch nicht den Normalfall dar.

Anwendung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Voraussetzung für die Anwendung von Sichtfaktoren ist, dass die von den beteiligten Flächen ausgehende Strahldichte auf jeder Fläche konstant ist und richtungsunabhängig (diffus) abgegeben wird.

Diese Voraussetzung ist insbesondere erfüllt, wenn die beteiligten Flächen Schwarze Strahler mit jeweils räumlich konstanter Temperatur sind, da Schwarze Strahler zwangsläufig auch diffuse Strahler sind. In diesem Fall ist der Strahlungsaustausch besonders einfach zu berechnen, da jede Schwarze Teilfläche alle auftreffende Strahlung absorbiert und keinerlei reflektierte Strahlung zu berücksichtigen ist.

Liegen zwei Schwarze Strahler 1 und 2 mit dem gegenseitigen Sichtfaktor vor, so ist die von 1 ausgehende und bei 2 eintreffende Strahlungsleistung gegeben durch

Nun ist aber die von der gesamten Sendefläche in alle Richtungen abgegebene Strahlungsleistung nichts anderes als die mit der Fläche multiplizierte spezifische Ausstrahlung des Strahlers, welche im Falle eines Schwarzen Strahlers mit Hilfe des Stefan-Boltzmann-Gesetzes berechnet werden kann:

.
 : Stefan-Boltzmann-Konstante
 : absolute Temperatur der Fläche 1

Es ist also

Da der Empfänger ebenfalls ein Schwarzer Strahler mit dem Reflexionsgrad Null ist, wird die gesamte auftreffende Strahlung absorbiert.

Die Voraussetzung konstanter und diffuser Strahldichte wird durch Graue Lambert-Strahler ebenfalls erfüllt. Hier setzt sich jedoch im Allgemeinen die von jeder Teilfläche abgegebene Strahldichte zusammen aus der Eigenemission der Fläche und einem reflektierten Anteil jener Strahlung, die von den anderen Teilflächen her eintrifft (und ihrerseits sowohl deren Eigenemissionen als auch reflektierte Anteile enthält). Dies erfordert die Aufstellung entsprechend detaillierter Gleichungssysteme (siehe z. B. Radiosity).

Differentielle Sichtfaktoren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bisher wurden Sichtfaktoren zwischen endlichen Flächen behandelt. In der Praxis treten jedoch häufig auch differentielle Flächen auf, etwa wenn die von einer Strahlungsquelle an einem bestimmten Punkt erzeugte Bestrahlungsstärke, also eine in Watt pro Quadratmeter gemessene Leistungsdichte ermittelt werden soll.

Differentielle Flächen erster Ordnung sind z. B. infinitesimal dünne aber endlich oder unendlich lange Streifen, Kreisringe und Ähnliches. Sie dienen oft als Ausgangspunkt für Integrationen über endliche Flächen. Differentielle Flächen zweiter Ordnung sind infinitesimal kleine Flächenstücke, wie sie oben bereits verwendet wurden.

In der Notation kann am jeweiligen Index des Sichtfaktors kenntlich gemacht werden, ob es sich um eine endliche oder differentielle Fläche handelt (z. B. ). Sichtfaktoren auf eine differentielle Fläche sind selbst differentielle Größen (z. B. ).

Zwei differentielle Flächen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Strahlungsleistung, welche die Fläche in den von ihr überblickten Halbraum abgibt, ist , die davon auf die Fläche treffende Strahlungsleistung ist durch das fotometrische Grundgesetz gegeben. Das Verhältnis beider ist

Durch Vergleich dieses Ausdrucks mit dem Ausdruck für den umgekehrten Strahlungsfluss (ergibt sich durch Vertauschen der Indizes) erhält man die Reziprozitätsbeziehung

Eine differentielle und eine endliche Fläche[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist die Sendefläche differentiell, so ist die abgegebene Strahlungsleistung wiederum , während das fotometrische Grundgesetz über die endliche Empfangsfläche integriert werden muss:

Betrachtet man den umgekehrten Strahlungsfluss, so ist die Sendefläche endlich, und sie gibt die Strahlungsleistung ab. Das fotometrische Grundgesetz ist wiederum über zu integrieren:

Der Vergleich der beiden so erhaltenen Sichtfaktoren liefert die Reziprozitätsbeziehung

Sichtfaktoren zwischen einer differentiellen und einer endlichen Fläche sind oft einfacher zu ermitteln als Sichtfaktoren zwischen zwei endlichen Flächen, da anstelle eines Doppelintegrals nur ein Integral über eine Fläche ausgeführt werden muss.

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Welcher Bruchteil der Wärmeabstrahlung des Erdbodens kommt bei einem Betrachter an, dessen untere Gesichtsfeldhälfte vom Boden eingenommen wird?

Eine flächige Strahlungsquelle mit der konstanten spezifischen Ausstrahlung fülle die eine Hälfte des Gesichtsfeldes des Aufpunkts . Zu bestimmen ist die Bestrahlungsstärke am Punkt . Man denke beispielsweise an einen Punkt auf einer senkrecht stehenden Gebäudefassade, dessen untere Gesichtsfeldhälfte von Wärme abstrahlendem Erdboden eingenommen wird.

Die insgesamt von Fläche in alle Richtungen abgegebene Strahlungsleistung ist . Die auf einfallende Strahlungsleistung ist gegeben durch und kann unter Berücksichtigung der vorgegebenen Einstrahlgeometrie berechnet werden als . Statt jedoch über die gesamte Fläche und alle ihre Ausstrahlrichtungen zu integrieren, um den hierbei benötigten Sichtfaktor zu bestimmen, ist es einfacher, den umgekehrten Sichtfaktor zu betrachten. Es ist

,

so dass nur das Integral über den Raumwinkel zu führen ist, den Fläche von Punkt aus gesehen aufspannt. Das gesamte Gesichtsfeld spannt den Raumwinkel auf,[2] ein Integral über diesen Raumwinkel, gewichtet mit dem Cosinus des Einfallswinkels hat den Wert .[3] Hier ist nur über das halbe Gesichtsfeld zu integrieren, das vorliegende Integral hat also den Wert und es ist

.

Insgesamt ergibt sich

.

Strahlt also beispielsweise der warme Erdboden mit einer spezifischen Ausstrahlung von 400 W/m², so erzeugt er auf der Fassade eine Bestrahlungsstärke von 200 W/m².

Veranschaulichung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Fischaugen-Diagramm zeigt eine schematische Szene mit Erdboden (grün), Himmel (blau) und einem Gebäude (grau).

Als Beispiel zur geometrischen Veranschaulichung sei folgende Situation betrachtet: Zur Untersuchung der nächtlichen Betauung einer Fassade ist für einen gegebenen Punkt auf deren Oberfläche die nachts aus der Umgebung auf diesen Punkt einfallende Wärmestrahlung zu berechnen. Die Umgebung besteht aus Erdboden in der unteren Hälfte des Gesichtsfeldes, Himmel in der oberen Hälfte, und einem im Gesichtsfeld befindlichen Nachbargebäude.

Das nebenstehende Diagramm zeigt diese Umgebung aus Sicht des Aufpunktes. Dargestellt ist das Gesichtsfeld des Punktes in einer fischaugen-artigen Projektion, der Erdboden ist grün, der Himmel blau und das Gebäude (perspektivisch verzerrt) grau eingezeichnet. Ebenfalls eingezeichnet sind Linien gleichen Einfallswinkels, von 0° in der Bildmitte bis 90° am kreisförmigen Gesichtsfeldrand.

Das Gesichtsfeld spannt den Raumwinkel 2π auf. Ohne das Gebäude nähmen sowohl Erde als auch Himmel jeweils den Raumwinkel π ein und hätten den Sichtfaktor ½ (siehe obiges Beispiel). Das Gebäude spannt jedoch den Raumwinkel Ω=1,21 auf (durch numerische Integration bestimmt),

.

so dass für die teilweise verdeckte Erde der Raumwinkel 2,92 und für den Himmel der Raumwinkel 2,16 verbleiben.

Zur Bestimmung der jeweiligen Sichtfaktoren müssen die Integrale über die Raumwinkel wiederholt werden, jetzt jedoch mit dem Cosinus des Einfallswinkels als zusätzliche Gewichtung. Der mittlere Teil des Gebäudes liegt im Zentrum des Gesichtsfeldes (Einfallswinkel ≈0°) und erhält daher das Gewicht ≈1, die äußeren Teile werden jedoch unter größeren Einfallswinkeln gesehen und daher etwas stärker abgewichtet; das gewichtete Integral Ωg2 hat den Wert 0,99:

.

Himmel und Erde erstrecken sich bis zum Rand des Gesichtsfeldes, wo sie wegen des flachen Einfallswinkels stark abgewichtet werden. Das gewichtete Integral für die Erde hat nur noch den Wert 1,38, das für den Himmel 0,77.

Division der gewichteten Integrale durch π liefert die Sichtfaktoren. Für das Gebäude ergibt sich der Sichtfaktor 0,32:

.

Die Sichtfaktoren für Erde und Himmel sind 0,44 bzw. 0,24. Die Summe aller Sichtfaktoren ist 1, wie von der Summenregel verlangt.

Damit sind die geometrischen Einstrahlverhältnisse erfasst. Für ein konkretes Beispiel sei angenommen, dass Gebäude, Erde und Himmel Graue Strahler mit der gemeinsamen Temperatur 20 °C, aber den Emissionsgraden εG = 0,85, εE = 0,95 und εH = 0,75 seien. Reflexionen werden vernachlässigt. Nach dem Stefan-Boltzmann-Gesetz betragen die jeweiligen spezifischen Ausstrahlungen MG = 356 W/m², ME = 398 W/m² und MH = 314 W/m². Die Bestrahlungsstärke des Aufpunkts ergibt sich zu B = 0,32 × 356 + 0,44 × 398 + 0,24 × 314 W/m² = 364 W/m².

Wäre das Nachbargebäude nicht vorhanden, so ergäbe sich lediglich die Bestrahlungsstärke B' = 0,5 × 398 + 0,5 × 314 W/m² = 356 W/m².

Wäre die untersuchte Fassade in eine etwas andere Himmelsrichtung ausgerichtet, so dass das Nachbargebäude näher am Rand des Gesichtsfeldes läge, so bliebe der von diesem Gebäude aufgespannte Raumwinkel unverändert, sein Sichtfaktor nähme aber ab, da es in stärker abgewichteten Teilen des Gesichtsfelds läge.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

John R. Howell: A Catalog of Radiation Heat Transfer Configuration Factors - eine umfangreiche Tabellierung von Sichtfaktoren (englisch)

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • H. D. Baehr, K. Stephan: Wärme- und Stoffübertragung. 5. Auflage, Springer, Berlin 2006, ISBN 978-3-540-32334-1, Kap. 5: Wärmestrahlung.
  • R. Siegel, J.R. Howell, J. Lohrengel: Wärmeübertragung durch Strahlung - Teil 2: Strahlungsaustausch zwischen Oberflächen und in Umhüllungen. Springer, Berlin / Heidelberg / New York 1991, ISBN 3-540-52710-9, Kap. 2: Strahlungsaustausch zwischen schwarzen isothermen Oberflächen.
  • B. Glück: Strahlungsheizung – Theorie und Praxis. C. F. Müller, Karlsruhe 1982, ISBN 3-7880-7157-5, Kap. 5: Einstrahlzahlen, PDF (ausführliche Beispiele).
  • R. Siegel, J.R. Howell: Thermal Radiation Heat Transfer. 4th edition, Taylor & Francis, New York / London 2002, ISBN 1-56032-839-8, Chapter 5: Configuration Factors for Surfaces Transferring Uniform Diffuse Radiation.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. a b H.D. Baehr, K. Stephan: Wärme- und Stoffübertragung. 5. Auflage, Springer, Berlin/Heidelberg/New York 2006, ISBN 978-3-540-32334-1, S. 637