Singuläre Kohomologie

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Die singuläre Kohomologie ist eine Methode aus dem mathematischen Teilgebiet der algebraischen Topologie, die einem beliebigen topologischen Raum eine Folge abelscher Gruppen zuordnet. Anschaulich gesprochen zählt sie die verschieden-dimensionalen Löcher eines Raumes. Definiert ist die singuläre Kohomologie als Kohomologie zum singulären Kokettenkomplex. Genauso wie die singuläre Homologie ist sie eine Invariante des zugrunde gelegten topologischen Raums. Sie hat jedoch im Gegensatz zur singulären Homologie den Vorteil, dass die Folge ihrer Kohomologiegruppen zusammen mit dem Cup-Produkt einen Ring bilden.

Singulärer Kokettenkomplex[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei ein topologischer Raum und eine abelsche Gruppe. Mit wird der singuläre Kettenkomplex von bezeichnet. Für jede natürliche Zahl definiere

wobei die Gruppe der Gruppenhomomorphismen von nach ist. Die Elemente von heißen singuläre Koketten mit Koeffizienten in oder kurz -Koketten.

Der Randoperator des singulären Kettenkomplexes induziert einen Randoperator

,

der Korandoperator genannt wird. Er lässt sich durch charakterisieren, woraus folgt. Dies ergibt den Kokettenkomplex

,

der singulärer Kokettenkomplex genannt wird.[1]

Singuläre Kohomologie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die singuläre Kohomologie ist nun die Kohomologie bezüglich des singulären Kokettenkomplexes. Eine -Kokette heißt Kozykel, falls gilt, und Korand, falls ein mit existiert. Im Folgenden wird mit die Gruppe der Kozykel und mit die Gruppe der Koränder bezeichnet. Beide Gruppen sind Untergruppen von . Die singuläre Kohomologie mit Koeffizienten in ist dann definiert als die Quotientengruppe[1]

.

Direkt aus den Definitionen ergibt sich die folgende Interpretation der Begriffe "Kozykel" und "Korand". Eine Kokette ist ein Kozykel genau dann, wenn auf Rändern verschwindet, also für alle gilt. Eine Kokette ist ein Korand, wenn sie auf Zykeln verschwindet, also für alle mit . Insbesondere repräsentieren zwei Kozykel genau dann dieselbe Kohomologieklasse, wenn sie auf allen Zykeln dieselben Werte annehmen, also für alle mit .

Die Elemente von werden als Kohomologieklassen (mit Koeffizienten in ) bezeichnet.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Kontravarianter Funktor[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die singuläre Kohomologie ist ein kontravarianter Funktor von der Kategorie der topologischen Räume in die Kategorie der abelschen Gruppen. Der Funktor hat also die folgenden zwei Eigenschaften. Seien und zwei stetige Abbildungen zwischen topologischen Räumen. Mit und werden die induzierten Kohomologiehomomorphismen bezeichnet. Dann gilt

.

Außerdem ist der durch die identische Abbildung induzierte Kohomologiehomomorphismus wieder die identische Abbildung.[2]

Lange exakte Sequenz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für einen topologischen Unterraum ist der singuläre Komplex ein Unterkomplex von , und mit erhält man eine kurze exakte Sequenz von Kettenkomplexen, die durch Anwendung von eine kurze exakte Sequenz von Kokettenkomplexen ergibt:

.

Daraus ergibt sich mit Methoden der homologischen Algebra die lange exakte Kohomologiesequenz

.

Die Gruppen heißen relative singuläre Kohomologiegruppen.

Topologische Invariante[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die singulären Kohomologiegruppen sind topologische Invarianten des zugrunde liegenden Raums. Seien also und zwei topologische Räume und ein Homöomorphismus, dann sind für alle und für jede abelsche Gruppe die Kohomologiegruppen und isomorph.[2]

Homotopie-Invarianz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Homotope Abbildungen induzieren dieselben Abbildungen . Homotopieäquivalenzen induzieren Isomorphismen .

Mayer-Vietoris-Sequenz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine (nicht disjunkte) Zerlegung mit

.

Dann gibt es eine exakte Sequenz

.

De-Rham-Kohomologie und Simpliziale Kohomologie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wenn eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ist, dann ist isomorph zur De-Rham-Kohomologie . Wenn homöomorph zur Geometrischen Realisierung eines Simplizialkomplexes ist, dann ist isomorph zur simplizialen Kohomologie .

Cup-Produkt[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Cup-Produkt

Im Gegensatz zur singulären Homologie ist es bei singulären Kohomologieklassen möglich, auf ihnen ein assoziatives, graduiert kommutatives und distributives Produkt zu definieren. Dieses wird Cup-Produkt genannt und induziert auf den Kohomologiegruppen eine Ringstruktur.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. a b John M. Lee: Introduction to Topological Manifolds (= Graduate Texts in Mathematics 202). Springer-Verlag, New York NY u. a. 2000, ISBN 0-387-98759-2, S. 329.
  2. a b John M. Lee: Introduction to Topological Manifolds (= Graduate Texts in Mathematics 202). Springer-Verlag, New York NY u. a. 2000, ISBN 0-387-98759-2, S. 330.