Stelligkeit

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Der Begriff Stelligkeit (auch Arität; englisch arity) steht für die Anzahl der Argumente einer Verknüpfung, einer Abbildung bzw. eines Operators oder in der Informatik für die Parameteranzahl von Funktionen, Prozeduren oder Methoden. Allgemeiner kann dieser Begriff auch auf Relationen angewendet werden.

Stelligkeit für Abbildungen[Bearbeiten]

Einstellige Verknüpfungen benötigen nur ein Argument. Beispiel ist etwa die Betragsfunktion (absoluter Wert) einer Zahl.

Zweistellige Verknüpfungen benötigen zwei Argumente. Beispiele für zweistellige Verknüpfungen sind etwa die arithmetischen Operationen Addition, Subtraktion, Multiplikation, oder Division, oder die logischen Operationen und (logisches), oder oder (logisches).

Eine k-stellige Verknüpfung, k > 0, ist also eine Abbildung mit k Argumenten:

f\colon\, A_1 \times A_2 \times \ldots \times A_k \to B,\, (a_1, \ldots, a_k) \mapsto f(a_1, \ldots, a_k).

Zum Beispiel ist f\colon\, \R \times \N \to \R,\, (x, n) \mapsto f(x, n) := x^n eine zweistellige Verknüpfung.

Für A_1 = A_2 = \ldots = A_k = A gilt insbesondere:

A_1 \times A_2 \times \ldots \times A_k = A^k = \{g \mid g\colon\, \{0, \ldots, k-1\} \to A\},

sodass dann

f\colon\, A^k \to B.

Außerdem kann wegen

A^0 = \{g \mid g\colon\, \emptyset \to A\} = \{\emptyset\} = \{0\}

eine nullstellige Verknüpfung stets als eine konstante Abbildung

f\colon\, \{0\} \to B,\, 0 \mapsto b_0,

angesehen werden. Diese Abbildung f \in B^1 lässt sich wiederum als die Konstante b_0 \in B auffassen.

Zum Beispiel kann für die Verknüpfung f\colon\, \N^0 \to \N,\, 0 \mapsto 1, auch einfach 1 genommen werden.

Als weiteres Beispiel kann die algebraische Struktur (B, \vee, \wedge, {}^{\mathrm C}, 0, 1) der Booleschen Algebra dienen, die alle diese Aspekte in sich vereint. Sie besitzt die beiden zweistelligen Operationen Vereinigung und Durchschnitt, das einstellige Komplement und zwei nullstellige Operationen, die Konstanten 0 und 1.

Stelligkeit von Relationen[Bearbeiten]

Allgemeiner nennt man eine Teilmenge R\subset A_1 \times A_2 \times \ldots \times A_k eine k-stellige Relation. Ist A_1=\ldots =A_k = A, so spricht man von einer k-stelligen Relation auf A.

Eine einstellige Relation ist demnach nichts anderes als eine Teilmenge.

Ein typisches Beispiel für eine zweistellige Relation ist

\{(m,m+k)|\,m,k\in \N_0\} \subset \N_0 \times \N_0,

eine zweistellige Relation auf den natürlichen Zahlen \N_0, die man üblicher Weise mit \le bezeichnet. Statt (m,n)\in \le schreibt man m\le n. Auch für beliebige zweistellige Relationen R wird (x,y)\in R der besseren Lesbarkeit wegen gern als xRy wiedergegeben.

Beachtet man, dass Abbildungen spezielle Relationen sind, so decken sich die hier für Abbildungen und Relationen gegebenen Definitionen der Stelligkeit nicht. Behandelt man eine Funktion als Relation, so bedeutet das, dass man von der Funktion

f\colon\, A_1 \times \ldots \times A_k \to B

zu ihrem Funktionsgraphen

\{(a_1,\ldots,a_k,b) \in A_1 \times \ldots \times A_k \times B|\, f(a_1,\ldots,a_k)=b\} \, \subset \, A_1 \times \ldots \times A_k \times B

übergeht, und das ist eine (k+1)-stellige Relation.