Symmetrische Wahrscheinlichkeitsverteilung

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Als symmetrische (Wahrscheinlichkeits-) Verteilungen bezeichnet man in der Stochastik spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf den reellen Zahlen. Sie zeichnen sich dadurch aus, dass (im einfachsten Fall) die Wahrscheinlichkeit, einen Wert kleiner als zu erhalten, immer gleich groß ist wie die Wahrscheinlichkeit, einen Wert größer als zu erhalten. Besitzt eine Zufallsvariable eine symmetrische Verteilung, so nennt man sie auch eine symmetrische Zufallsvariable.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf heißt symmetrisch (um Null), wenn für alle gilt:

Analog heißt eine reellwertige Zufallsvariable symmetrisch (um Null), wenn die Verteilung von mit der Verteilung von übereinstimmt, es gilt also

bzw. .

Allgemeiner heißt ein Wahrscheinlichkeitsmaß symmetrisch um , wenn

für alle gilt, ebenso wie eine reellwertige Zufallsvariable symmetrisch um heißt, wenn

gilt.

Erste Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Charakterisierung durch die Verteilungsfunktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Symmetrie einer Zufallsvariablen/Verteilung kann auch über ihre Verteilungsfunktion charakterisiert oder definiert werden. Bezeichnet man mit den linksseitigen Grenzwert an der Stelle , so ist die Verteilung bzw. Zufallsvariable genau dann symmetrisch um Null, wenn

für alle gilt und genau dann symmetrisch um , wenn

.

Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen und Wahrscheinlichkeitsfunktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Symmetrie einer Wahrscheinlichkeitsverteilung lässt sich auch direkt über die Wahrscheinlichkeits(dichte)funktionen der Verteilung definieren:

Median und Momente[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Symmetriezentrum stimmt immer mit einem Median überein, ebenso der Erwartungswert falls dieser existiert. Dies muss aber bei symmetrischen Wahrscheinlichkeitsverteilungen nicht immer der Fall sein wie die Standard-Cauchy-Verteilung zeigt: Sie ist symmetrisch um Null, ihr Erwartungswert existiert aber nicht.

Allgemein gilt: ist eine um symmetrische Zufallsvariable und existiert ihr -tes Moment, so ist

.

Charakteristische Funktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die charakteristische Funktion einer Wahrscheinlichkeitsverteilung ist genau dann reellwertig, wenn die Verteilung symmetrisch um Null ist, und dann gilt

.

Des Weiteren ermöglicht der Satz von Pólya die Konstruktion von Funktionen, die stets charakteristische Funktion einer um Null symmetrischen Verteilung sind.

Weitere symmetrische Verteilungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Verteilung für Parameterwahl Symmetrisch um Bemerkung
Diskrete Verteilungen
Bernoulli-Verteilung Für siehe Dirac-Verteilung auf 0 bzw. 1
Binomialverteilung Geht für in die Dirac-Verteilung auf bzw. über, Symmetrien siehe dort.
Diskrete Gleichverteilung auf
Rademacher-Verteilung -
Zweipunktverteilung auf Degenerierter Fall siehe Dirac-Verteilung.
Absolutstetige Verteilungen
Normalverteilung
Stetige Gleichverteilung auf -
Cauchy-Verteilung Typisches Beispiel einer symmetrischen Verteilung ohne Erwartungswert
Studentsche t-Verteilung
Betaverteilung auf
Arcsin-Verteilung -
Logistische Verteilung
Stetigsinguläre Verteilungen und degenerierte Verteilungen
Cantor-Verteilung -
Dirac-Verteilung

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]