Teileranzahlfunktion

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Die Teileranzahlfunktion gibt an, wie viele Teiler eine natürliche Zahl hat; dabei werden die Eins und die Zahl selbst mitgezählt. Die Teileranzahlfunktion gehört zum mathematischen Teilgebiet der Zahlentheorie. Sie wird meist mit oder bezeichnet – da sie einen Spezialfall der Teilerfunktion darstellt, auch als .

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… Anzahl der Teiler von .
… kleinstes mit Teilern.
Für ist bereits .
Faktorisierung
von
1 1 1
2 2 2
3 4 22
4 6 2 · 3
5 16 24
6 12 22 · 3
7 64 26
8 24 23 · 3
9 36 22 · 32
10 48 24 · 3
11 1.024 210
12 60 22 · 3 · 5
13 4.096 212
14 192 26 · 3
15 144 24 · 32
16 120 23 · 3 · 5
17 65.536 216
18 180 22 · 32 · 5
19 262.144 218
20 240 24 · 3 · 5
21 576 26 · 32
22 3.072 210 · 3
23 4.194.304 222
24 360 23 · 32 · 5
25 1.296 24 · 34
26 12.288 212 · 3
27 900 22 · 32 · 52
28 960 26 · 3 · 5
29 268.435.456 228
30 720 24 · 32 · 5
31 1.073.741.824 230
32 840 23 · 3 · 5 · 7
33 9.216 210 · 32
34 196.608 216 · 3
35 5.184 26 · 34
36 1.260 22 · 32 · 5 · 7

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für jede natürliche Zahl wird definiert:

.

Die ersten Werte sind:[1]

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Teiler von 1 1, 2 1, 3 1, 2, 4 1, 5 1, 2, 3, 6 1, 7 1, 2, 4, 8 1, 3, 9 1, 2, 5, 10 1, 11 1, 2, 3, 4, 6, 12
1 2 2 3 2 4 2 4 3 4 2 6

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

so gilt:[2]
  • Für teilerfremde Zahlen und gilt:
Die Teileranzahlfunktion ist also eine multiplikative zahlentheoretische Funktion.
  • Eine Zahl ist genau dann eine Primzahl, wenn gilt.
  • Eine Zahl ist genau dann eine Quadratzahl, wenn ungerade ist.
  • Die zur Teileranzahlfunktion gehörige Dirichlet-Reihe ist das Quadrat der riemannschen Zetafunktion:[3]
(für ).

Asymptotik[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im Mittel ist , präziser: Es gibt Konstanten , sodass[4]

gilt. (Dabei sind „“ ein Landau-Symbol und die Euler-Mascheroni-Konstante.)

Als Heuristik kann die Erkenntnis dienen, dass eine Zahl ein Teiler von etwa Zahlen ist, damit wird die Summe auf der linken Seite in etwa zu

(Zum letzten Schritt siehe harmonische Reihe.)

Der Wert wurde bereits von P. G. L. Dirichlet bewiesen;[5] die Suche nach besseren Werten ist deshalb auch als dirichletsches Teilerproblem bekannt.

Bessere Werte wurden von G. F. Woronoi (1903, ),[6] J. van der Corput (1922, )[7] sowie M. N. Huxley ()[8] angegeben. Auf der anderen Seite zeigten G. H. Hardy und E. Landau, dass gelten muss.[9] Die möglichen Werte für sind immer noch Forschungsgegenstand.

Verallgemeinerungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Teilerfunktion ordnet jeder Zahl die Summe der -ten Potenzen ihrer Teiler zu:[10]

Die Teilersumme ist der Spezialfall der Teilerfunktion für , und die Teileranzahlfunktion ist der Spezialfall der Teilerfunktion für :

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • G. H. Hardy, E. M. Wright: An Introduction to the Theory of Numbers. 4. Auflage, Oxford University Press, Oxford 1975. ISBN 0-19-853310-1.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Quellen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Weitere Anfangswerte siehe auch Folge A000005 in OEIS.
  2. G. H. Hardy, E. M. Wright: An Introduction to the Theory of Numbers. 4. Auflage, Oxford University Press, Oxford 1975. ISBN 0-19-853310-1, Theorem 273, S. 239.
  3. G. H. Hardy, E. M. Wright: An Introduction to the Theory of Numbers. 4. Auflage, Oxford University Press, Oxford 1975. ISBN 0-19-853310-1, Theorem 289, S. 250.
  4. G. H. Hardy, E. M. Wright: An Introduction to the Theory of Numbers. 4. Auflage, Oxford University Press, Oxford 1975. ISBN 0-19-853310-1, Theorem 320, S. 264.
  5. P. G. L. Dirichlet: Über die Bestimmung der mittleren Werthe in der Zahlentheorie. In: Abhandlungen der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften. 1849, S. 69–83; oder Werke, Band II, S. 49–66.
  6. G. Voronoï: Sur un problème du calcul des fonctions asymptotiques. In: J. Reine Angew. Math. 126 (1903) S. 241–282.
  7. J. G. van der Corput: Verschärfung der Abschätzung beim Teilerproblem. In: Math. Ann. 87 (1922) 39–65. Berichtigungen 89 (1923) S. 160.
  8. M. N. Huxley: Exponential Sums and Lattice Points III. In: Proc. London Math. Soc. Band 87, Nr. 3, 2003, S. 591–609.
  9. G. H. Hardy: On Dirichlet’s divisor problem. In: Lond. M. S. Proc. (2) 15 (1915) 1–25.
    Vgl. G. H. Hardy, E. M. Wright: An Introduction to the Theory of Numbers. 4. Auflage, Oxford University Press, Oxford 1975. ISBN 0-19-853310-1, S. 272.
  10. Eric W. Weisstein: Divisor Function. In: MathWorld (englisch).