Riemannsche ζ-Funktion

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Funktionsgraph der Zeta-Funktion für reelle Argumente im Bereich −20 < s < 10.
Die Riemannsche Zeta-Funktion in der komplexen Ebene: Die Null, also der Ursprung der komplexen Ebene, befindet sich genau in der Mitte des Schaubildes. Die im Bild sichtbaren, sogenannten nicht-trivialen Nullstellen der Zeta-Funktion liegen auf der nicht eingezeichneten, vertikalen Linie durch 0,5. Sie sind als schwarze Punkte auf dieser gedachten Linie erkennbar und spiegelsymmetrisch zur reellen Achse, also zur horizontalen Linie durch den Ursprung, angeordnet. Das Schaubild besitzt einen einzigen rein weißen Punkt. Dieser gehört zur einzigen Polstelle der Zeta-Funktion in 1, also zu demjenigen Punkt, der sich eine Einheit rechts vom Ursprung befindet und in dem die Zeta-Funktion nicht definiert ist. Die sogenannten trivialen Nullstellen liegen auf dem linken Teil der reellen Achse, nämlich in −2, −4, −6, −8 …
Die in obigem Bild verwendete Kolorierung der komplexen Funktionswerte

Die Riemannsche ζ-Funktion (Zeta-Funktion nach Bernhard Riemann) ist eine komplexwertige, spezielle mathematische Funktion, die in der analytischen Zahlentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, eine wichtige Rolle spielt. Erstmals betrachtet wurde sie im 18. Jahrhundert von Leonhard Euler, der sie im Rahmen des Basler Problems untersuchte. Bezeichnet wird sie üblicherweise mit dem Symbol (mit dem Buchstaben Zeta), wobei eine komplexe Zahl ihres Definitionsbereichs ist.

Von großer Bedeutung für die Zahlentheorie ist, dass die Zeta-Funktion das Gesetz der eindeutigen Zerlegung natürlicher Zahlen in Primfaktoren (damit ist die Zerlegung einer Zahl in „unteilbare“ Elemente gemeint, in etwa 132 = 2 * 2 * 3 * 11) analytisch, also durch eine geschlossene Formel, ausdrückt. Auf Basis dessen konnte Riemann im Jahr 1859 die sehr enge und nicht offensichtliche Beziehung zwischen den Primzahlen und der Lage der Nullstellen der Zeta-Funktion nachweisen. Beispielsweise folgt aus der Tatsache für alle komplexen Zahlen mit bereits, dass die -te Primzahl „recht genau“ den Wert hat – genauer gesagt folgt[1]

Hier bezeichnet log(n) den natürlichen Logarithmus von n. Genauere Informationen über nullstellenfreie Bereiche macht das Bild um die Primzahlverteilung deutlicher. Die bis heute (Stand 2019) nicht geklärte Riemannsche Vermutung sagt aus, dass alle nicht-trivialen Nullstellen der Riemannschen Zeta-Funktion den Realteil haben, also auf einer gemeinsamen Geraden liegen. Ob diese Vermutung zutrifft, ist eines der wichtigsten ungelösten Probleme der Mathematik. Nicht zuletzt wegen der Bedeutung der Primzahlen für moderne Kryptosysteme (wie in etwa der RSA-Verschlüsselung) genießt die Riemannsche Vermutung auch außerhalb der reinen Zahlentheorie Aufmerksamkeit.

Die Riemannsche Zeta-Funktion ist eine in der ganzen Ebene (mit Ausnahme eines einfachen Pols an der Stelle ) holomorphe Funktion und erfüllt eine wichtige Funktionalgleichung, mit deren Hilfe sie sogar charakterisiert werden kann. Definiert wird sie üblicherweise über eine Dirichlet-Reihe oder ein dazu äquivalentes Euler-Produkt:

Zu beachten ist hier allerdings, dass beide Darstellungen nur für Werte mit Realteil größer als 1 konvergieren. Für andere Werte von kann mittels analytischer Fortsetzung berechnet werden.

Das Verhalten der Riemannschen Zeta-Funktion gilt in den Bereichen und (als Konsequenz der absoluten Konvergenz des Euler-Produktes und der Funktionalgleichung) als verstanden. Jedoch sind ihre Eigenschaften innerhalb des kritischen Streifens weitestgehend unbekannt und Gegenstand bedeutender Vermutungen. Dies betrifft unter anderem die Fragen nach asymptotischen Wachstum in imaginärer Richtung und der für die Zahlentheorie so wichtigen Nullstellenverteilung. Nach heutigem Wissensstand beschreibt die Zeta-Funktion im Streifen im Wesentlichen Chaos. Die Werte der Nullstellen bauen nicht nur Brücken zur Theorie der Primzahlen, sondern höchstwahrscheinlich auch zu modernen Quantenphysik. Weitere Anwendungsgebiete sind die Wahrscheinlichkeitstheorie und die Theorie der automorphen Formen (insbesondere im Feld des Langlands-Programms).

Es gibt zahlreiche Verallgemeinerungen dieser Funktion, die oft durch Hinzufügen weiterer Variablen entstehen, wie den Polylogarithmus oder die Hurwitzsche Zeta-Funktion. Aus Sicht der algebraischen Zahlentheorie ist die Riemannsche Zeta-Funktion ferner nur ein Spezialfall einer ganzen Klasse sogenannter L-Funktionen. So entspricht sie der zum Trivialen Charakter modulo 1 gehörigen Dirichletschen L-Funktion und der zum Zahlkörper (rationale Zahlen) korrespondierenden Dedekindschen Zeta-Funktion.

Wegen der überragenden Bedeutung der Riemannschen Vermutung für die Zahlentheorie und deren Anwendungen bleibt der Themenkreis der Riemannschen Zeta-Funktion ein Gebiet intensiver mathematischer Forschung. Entscheidende Fortschritte erzielten Mathematiker wie zum Beispiel Lindelöf, Hadamard, de La Vallée Poussin, Hardy, Littlewood, Selberg, Woronin und Conrey.

Notation: Im ganzen Artikel bezeichnet die imaginäre Einheit und die Eulersche Zahl. Des Weiteren wird oft die O-Notation von Landau für die Angabe von Fehlergrößen verwendet. Verhalten sich zwei (unbeschränkte) Funktionen und für wachsendes Argument gleich, gilt also , so wird dies mit notiert.

Inhaltsverzeichnis

Einordnung ohne mathematisches Vorwissen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für jede Primzahl macht die Zählfunktion einen Schritt nach oben auf einer unendlich langen und hohen Treppe. Die Vorhersage „schlängelt“ sich stetig um die Zählfunktion herum. Jedoch ist für sehr große Werte eine immer größere Distanz zwischen der Treppe und der Vorhersage zu erwarten.
Die Nullstellen der Zeta-Funktion korrigieren die Vorhersage bis zu einem exakten Term. Je mehr der unendlich vielen Nullstellen einbezogen werden, desto genauer die Annäherung. Das Bild zeigt die Korrektur von 100 Nullstellenpaaren.

Im Zentrum der Zahlentheorie, jenes Zweiges der Mathematik, der sich mit den Eigenschaften der natürlichen Zahlen 1, 2, 3, 4 … beschäftigt, stehen die Primzahlen 2, 3, 5, 7, 11 … . Diese sind ausgezeichnet durch die Eigenschaft, genau zwei Teiler zu haben, nämlich die 1 und sich selbst. Die 1 ist keine Primzahl. Bereits Euklid konnte zeigen, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, weshalb die Liste 2, 3, 5, 7, 11 … niemals enden wird.

Die Primzahlen sind gewissermaßen die Atome der ganzen Zahlen, da sich jede positive ganze Zahl eindeutig multiplikativ in solche zerlegen lässt. Zum Beispiel gilt und . Trotz dieser elementaren Eigenschaft ist nach mehreren Jahrtausenden Mathematikgeschichte bis heute kein einfaches Muster bekannt, dem sich die Primzahlen in ihrer Folge unterwerfen. Ihre Natur ist eines der größten mathematischen Rätsel.

Auch wenn das detaillierte Verständnis der Sequenz 2, 3, 5, 7, 11 … unerreichbar fern ist, kann man nach Mustern suchen, wenn man den Blick ausweitet. Zum Vergleich stelle man sich vor, dass mit Hilfe statistischer Methoden das Verhalten sehr vieler Menschen (zum Beispiel bezüglich des Konsum- und Wahlverhaltens) oft überraschend präzise beschrieben werden kann, obgleich ein einzelner Mensch äußerst komplex ist. Das hat grob gesagt damit zu tun, dass größer werdende relevante Datenmengen immer zuverlässigere Informationen liefern. Im Falle der Primzahlen führt eine solche Ausweitung unter anderem zu der Frage, wie viele Primzahlen es unterhalb einer fest gewählten Zahl gibt.

Zum Beispiel sind nur 4 Primzahlen, nämlich 2, 3, 5 und 7, kleiner als die Zahl 10. Im Falle von 50 gibt es schon 15 kleinere Primzahlen, nämlich

Ende des 19. Jahrhunderts konnte ein verblüffend einfaches (allerdings nicht exaktes) Beschreibungsmuster für das quantitative Verhalten der Primzahlen unter einer Größe bewiesen werden. Ein Vorgänger dieses Musters wurde bereits im 18. Jahrhundert vom 15-jährigen Gauß vermutet. Das Muster tritt als eine Formel in Erscheinung, die die schnelle Berechnung eines Vorhersagewertes zulässt. Aus dieser kann also aus einer gegebenen Zahl die Anzahl der Primzahlen, die kleiner als diese Zahl sind, in vernünftiger Zeit geschätzt werden. Die Formel zur Vorhersage wird prozentual immer genauer, je größer die obere Schranke gewählt wird. Beispielsweise liefert sie für den Wert 50 die Prognose 14,97 (es sind tatsächlich 15 Primzahlen, siehe oben), womit der Fehler bei 0,16 Prozent liegt. Weiter sagt sie rund 78.527 Primzahlen unter der Zahl 1.000.000 voraus – tatsächlich sind es 78.498. Dies entspricht einer Abweichung von 0,037 Prozent.

Das entscheidende Werkzeug zum Beweis dieser schätzungsweise richtigen Formel ist die Riemannsche Zeta-Funktion. Das Besondere an dieser Funktion ist, dass sie das Gesetz der eindeutigen Primfaktorzerlegung in der Sprache der Analysis ausdrückt. Also werden die Eigenschaften der Primzahlen in dieser Funktion versteckt abgespeichert. Interessanterweise erhöht sich mit dem Wissen um die Zeta-Funktion auch unser Wissen um die Primzahlen, sogar in detaillierteren Fragestellungen. So können viele Primzahltests, wie der von Miller-Rabin unter Annahme der Riemannschen Vermutung bewiesen bzw. verbessert werden.

Es gilt allerdings noch mehr: Die Nullstellen der Zeta-Funktion erzeugen einen Korrekturterm obiger Formel, der sie in einen exakten Ausdruck umwandelt. Diese dadurch entstehende „Zauberformel“ kennt also die Verteilung der Primzahlen bis ins letzte Detail. Ist damit nicht das Rätsel bereits gelöst? Leider nein: praktische Berechnungen mit dieser Formel sind numerisch nicht sinnvoll, da der Rechenaufwand mit steigenden Werten sehr stark zunimmt. Geht es also wirklich um exakte Terme, eignen sich moderne Algorithmen besser. Die einstige „Zauberformel“ ist jedoch von immensem theoretischen Interesse: sie birgt nämlich den Fehlerabstand zwischen der einfachen Vorhersage und der tatsächlichen Primzahlverteilung, dessen Größe ein tiefes Mysterium darstellt.

Die Primzahlen sind nicht nur Gegenstand der mathematischen Grundlagenforschung, sondern haben auch praktische Anwendungen. So kommen beispielsweise bei Kryptosystemen wie der RSA-Verschlüsselung sehr große Primzahlen zum Einsatz.

Geschichte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im Gegensatz zu den Primzahlen oder der euklidischen Geometrie ist die mathematische Entdeckungsgeschichte der Riemannschen Zetafunktion sehr jung. So sind alle bis heute wesentlichen Entdeckungen zu dieser Funktion in den letzten 350 Jahren gemacht worden. Der Grund dafür ist, dass vorher die notwendigen mathematischen Methoden (insbesondere die komplexe Analysis) noch nicht entwickelt waren. Zum Zeitpunkt ihrer Entdeckung besaß die Zeta-Funktion außerdem noch keinerlei offensichtliche Anwendung in der Praxis. Ein Grund, weshalb sie trotzdem lange vor Riemann die Aufmerksamkeit vieler Mathematiker erhielt, war, dass sie trotz ihrer recht einfachen Definition bei weitem nicht so triviale Eigenschaften besitzt wie beispielsweise die geometrische Reihe.

Die Zeit um 1735 – Leonhard Euler löst das Basler Problem[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Leonhard Euler, 1735
Eine Seite aus Eulers Originalarbeit De Summis Serierum Reciprocarum.

Einer der ersten Mathematiker, der sich mit einem Vorläufer der wie heute definierten Zeta-Funktion intensiv und ausführlich auseinandersetzte, war Leonhard Euler, einer der produktivsten Mathematiker der Geschichte. Seit Mitte des 17. Jahrhunderts versuchten Mathematiker, den exakten Grenzwert der unendlichen Reihe

zu bestimmen. Persönlichkeiten wie Pietro Mengoli, der das Basler Problem (wie es später bezeichnet wurde) erstmals formulierte, aber auch Jakob I Bernoulli scheiterten zu ihren Lebzeiten mit ihren Lösungsversuchen. Erst um das Jahr 1734 fand Leonhard Euler die äußerst verblüffende Lösung

mit der Kreiszahl , indem er eine neuartige Technik zur Berechnung der Sinusfunktion entwickelte.[2] Dieser Beweis wurde jedoch nach Veröffentlichung von seinen Zeitgenossen zunächst nicht akzeptiert. Daraufhin konterte er mit der Veröffentlichung eines alternativen Beweises im Jahr 1741.[3] Natürlicherweise war Euler bald darauf an der Untersuchung von Reihen des Typs

(Euler verwendete das „reelle “, die Schreibweise mit komplexer Variable wurde erst über Riemann populär) interessiert. Er hatte die Hoffnung, weitere und außerdem weit bedeutendere Aussagen treffen zu können. Tatsächlich ließ der Durchbruch nicht lange auf sich warten und er fand eine allgemeine Formel für gerade positive Argumente (siehe unten), die 1735 in seiner Arbeit De Summis Serierum Reciprocarum erstmals veröffentlicht wurde. Diese zeigte auf, dass sich stets als ein rationales Vielfaches der Potenz schreiben lässt. Auch war er beim Auffinden exakter Werte nicht müßig und berechnete neben von Hand[4] den Wert

Nicht erfolgreich war er hingegen bei ungeraden Argumenten, also zum Beispiel bei der Reihe

da sich hier merkwürdigerweise keine seiner Techniken anwenden ließ. Jedoch berechnete er die Werte für bis auf mehrere Dezimalstellen. Außerdem schrieb er einheitlich , wobei im Falle, dass eine gerade Zahl ist, rational ist. Für den Fall, dass ungerade ist, vermutete Euler, sei „eine Funktion von “.[5] Dies konnte jedoch, unbemerkt der vagen Formulierung Eulers, bis heute nicht bestätigt werden. Die Reihen für ungerade Argumente größer als 1 sind bis heute (Stand 2019) weitestgehend ein Mysterium und Gegenstand tiefer Vermutungen.[6] Ebenfalls wegweisend für die moderne Zahlentheorie war Eulers Entdeckung der für alle Werte gültigen Identität

wobei sich das Produkt zur Rechten über alle Primzahlen erstreckt.[7] Diese Formel wird ihm zu Ehren heutzutage als Euler-Produkt bezeichnet.

Aus der schon damals gut bekannten Tatsache, dass die harmonische Reihe divergent ist, konnte Euler aus diesem Primzahlprodukt schließen, dass die Summe der Kehrwerte aller Primzahlen ebenfalls keinen endlichen Grenzwert hat. Es gilt also[8]

Dies war für ihn ein Indikator, dass die Primzahlen wesentlich dichter liegen müssen als die Quadratzahlen, da er bei der Lösung des Basler Problems mit bewiesen hatte, dass die unendliche Summe der Kehrwerte aller Quadratzahlen gegen einen endlichen Grenzwert strebt. Dieses Argument ist jedoch nur von heuristischer Natur – bis heute ist nicht einmal bekannt, ob zwischen zwei benachbarten Quadratzahlen stets eine Primzahl liegt (diese Fragestellung ist auch als die Legendresche Vermutung bekannt). Auch die von Riemann später bewiesene Funktionalgleichung soll Euler schon bekannt gewesen sein, auch wenn er diese in einem ganz anderen nicht rigorosen Formalismus beschrieb.[9] In seiner Arbeit Remarques sur un beau rapport entre les series des puissances tant directes que reciproques schreibt Euler:

„Par cette raison je hazarderai la conjecture suivante, que quelque soit l'exposant n, cette équation ait toujours lieu:

Auf der linken Seite kann über die ebenfalls von Euler gefundene Identität

der direkte Bezug zur Funktion hergestellt werden.

Da die Methoden der komplexen Analysis zu Lebzeiten Eulers noch weitgehend unbekannt waren, war er jedoch letztlich nicht imstande, das Problem der Primzahlen in der gleichen Weise anzugehen, wie es später Riemann tun sollte.

Die Riemannsche Initiative – ein Aufsatz liefert den Durchbruch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die erste Seite von Bernhard Riemanns Artikel über Primzahlen
Bernhard Riemann, 1863

Im Jahr 1859 setzte Bernhard Riemann in seiner Arbeit Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe die Zeta-Funktion in zentralen Zusammenhang zu den Primzahlen. Die große Leistung bestand darin, die Relevanz der Ausweitung des Definitionsbereichs auf komplexe Zahlen zu erkennen. Zwar hatte Euler schon ein Jahrhundert zuvor die Gültigkeit des Euler-Produktes aufgezeigt, jedoch war es erst mit Riemanns Herangehensweise mittels komplexer Zahlen möglich geworden, daraus konkrete Informationen über Primzahlen selbst zu gewinnen. Das ist insofern bemerkenswert, als Primzahlen reelle Zahlen sind. Riemann, der ein Schüler von Gauß war, schrieb in seiner achtseitigen Arbeit eine funktionentheoretische Interpretation und Auswertung des Euler-Produkts, die einen Zusammenhang zwischen Primzahlen und den nicht-trivialen Nullstellen der Zeta-Funktion schaffte. Damit war ihm ein völlig neuer Zugang zum Primzahlrätsel gelungen. Er etablierte das griechische (Zeta) als Funktionssymbol und formulierte außerdem seine bis heute unbewiesene berühmte Riemannsche Vermutung, die eine wichtige Aussage über die genaue Lage der Nullstellen der Zeta-Funktion macht. Zudem beschäftigte sich Riemann auch mit der numerischen Berechnung der Zeta-Funktion und fand sogar die ziemlich genaue Lage einiger nicht-trivialer Nullstellen in der komplexen Ebene, ohne dafür eine Rechenmaschine zu benutzen. Die dafür verwendete Formel wurde später von dem deutschen Mathematiker Carl Ludwig Siegel bei der Auswertung seiner Dokumente wiederentdeckt und wird seit diesem Zeitpunkt Riemann-Siegel-Formel genannt.

Da viele von Riemanns Aufzeichnungen nach seinem Ableben von seiner Haushälterin verbrannt wurden, kann bis heute nur spekuliert werden, wie weit seine Untersuchungen tatsächlich gingen.[11] Insbesondere fanden sich in seinen Aufzeichnungen wenig Hinweise darauf, wie er gewisse Kurvenintegrale berechnet hatte. Da Riemann eine gute Intuition für funktionentheoretische Umformungen hatte, geht man davon aus, dass er manche Auswertungen schlicht für zu trivial hielt, um sie detailliert zu erklären. Das hatte zur Folge, dass manche von Riemanns Herleitungen noch Jahre nach ihrer Veröffentlichung nur als Vermutung akzeptiert werden konnten. Heutzutage gilt die berühmte Riemannsche Vermutung als die letzte noch unbewiesene Aussage aus Riemanns Arbeit über die Zeta-Funktion.

Anfang des 20. Jahrhunderts[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Srinivasa Ramanujan
Godfrey Harold Hardy

Im Jahre 1910 veröffentlichte der indische Mathematiker Srinivasa Ramanujan im Journal of the Indian Mathematical Society einen Artikel, in dem unter anderem die folgende Gleichung behauptet wurde:

Die meisten Mathematiker, die diese Gleichung zu Gesicht bekamen, hatten sie als offensichtlichen Schwachsinn gewertet. So kam es, dass Professor Hill vom University College in London schrieb:

„Mr. Ramanujan ist ein Opfer der Fallstricke des sehr schwierigen Gebietes der divergenten Reihen geworden.“

Hill verhielt sich jedoch nicht völlig ablehnend und ermutigte Ramanujan, es weiter zu versuchen. Und so schickte dieser seine Ergebnisse direkt an einige Mathematiker in Cambridge. Zwei davon waren nicht in der Lage, die Aussagen hinter Ramanujans verschlüsselten Formeln zu erkennen und lehnten die Bitte um Unterstützung ab. Als Ramanujan jedoch schließlich auch Godfrey Harold Hardy brieflich auf seine Theorie aufmerksam machte, wurde diesem in der Gleichung die korrekte Auswertung des Werts bewusst, auch wenn sie bezüglich ihrer mathematischen Formalität natürlich inkorrekt war. Auch andere Aussagen erweckten letztendlich die Neugier Hardys. Ramanujan behauptete nämlich in seinem Brief auch, eine Formel gefunden zu haben, mit der sich die Anzahl der Primzahlen bis 100.000.000 praktisch fehlerfrei, manchmal mit Abweichungen von 1 bis 2, bestimmen ließe. Natürlich waren Hardy und dessen Kollegen John Edensor Littlewood die Arbeiten von Riemann bezüglich der Zeta-Funktion und den Primzahlen bereits bekannt. Jedoch mussten sie frustriert feststellen, dass Ramanujan auf die genaue Angabe seiner Formel in seinem Brief verzichtet hatte. Erst in einem zweiten Brief stellte sich heraus, dass Ramanujan (völlig autodidaktisch) die Herleitung von Riemanns Verbesserung der Gaußschen Formel zur Schätzung der Primzahlfunktion unter einer gegebenen Größe gelungen war. Dennoch gab Ramanujan keine Beweise für seine entwickelten Theorien an. Littlewood äußerte dazu:

„Dieser Brief konnte einen rasend machen.“

Hardy war sich sicher, dass Ramanujan, trotz seiner fremden Art, Mathematik zu betreiben, ein Genie sein müsse. Der anfänglich ausschließlich schriftliche Austausch gipfelte schließlich in einem Aufenthalt Ramanujans in England, wo sich das Duo aus Ramanujan und Hardy zu einer der produktivsten und außergewöhnlichsten mathematischen Korrespondenzen der Geschichte entwickelte.[13]

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Zeta-Funktion wird in der Literatur generell über ihre Darstellung als Dirichlet-Reihe definiert.

Für komplexe Zahlen , deren Realteil größer als 1 ist, ist die Zeta-Funktion definiert durch die Dirichlet-Reihe

Wie man leicht über das Integralkriterium für unendliche Reihen beweist, ist diese Reihe im angegebenen Bereich absolut konvergent. Zudem ist die Konvergenz auf kompakten Teilmengen gleichmäßig, weshalb nach dem Satz von Weierstraß die dargestellte Funktion holomorph ist. Wegen der Divergenz der harmonischen Reihe ist diese Darstellung für alle komplexen Zahlen mit Realteil kleiner oder gleich 1 jedoch ungültig. In besonderem Maße wird dies für negative Argumente ersichtlich, wenn man zum Beispiel versuchte, die -Funktion für über die Dirichlet-Reihe auszuwerten. Man hätte dann

und diese Reihe hat offensichtlich keinen endlichen Grenzwert.

Dennoch wird die Dirichlet-Reihe aufgrund ihrer Einfachheit und ihrer zahlentheoretischen Relevanz (siehe Euler-Produkt) als Basisdefinition verwendet. Mittels analytischer Fortsetzung wird eine sinnvolle Berechnung für alle komplexen Zahlen mit möglich. Damit kann schließlich auch scheinbar unendlich großen Werten wie ein Sinn gegeben werden, es gilt zum Beispiel .

Euler-Produkt[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine wesentliche Eigenschaft der Zeta-Funktion ist ihre Verbindung zu den Primzahlen. Euler, der als Erster diesen Zusammenhang entdeckte, betrachtete dafür das später nach ihm benannte Euler-Produkt, das für alle mit gültig ist:

Hierbei stellt jeder einzelne Faktor des Produktes eine geometrische Reihe gebildet über den Wert dar, während sich das ganze Produkt über alle Primzahlen erstreckt. Das Euler-Produkt ist so erstaunlich, weil Primzahlen aufgrund ihrer chaotischen Verteilung sehr schwer in analytischen Ausdrücken unterzubringen sind. Es stellt aber eine überraschend einfache Identität zwischen den „chaotischen Primzahlen“ und einer wohlgeordneten Reihe dar.

Das Euler-Produkt konvergiert im betrachteten Bereich unbedingt. Da kein Faktor dort den Wert 0 annimmt, ist eine direkte Konsequenz, dass die Zeta-Funktion in diesem Bereich keine Nullstellen besitzt. Mittels des Identitätssatzes für Dirichlet-Reihen lässt sich zeigen, dass das Euler-Produkt und der Fundamentalsatz der Arithmetik zueinander äquivalent sind. Daher wird es zuweilen auch als dessen analytische Version bezeichnet.

Zeigen lässt sich das Euler-Produkt wie folgt: Man nehme eine Teilmenge und eine Primzahl , so dass und . Ist also , so folgt ebenfalls . Dann gilt ganz allgemein für

Bezeichnen wir jetzt als die Folge der Primzahlen in aufsteigender Folge, und als die Menge der Zahlen, die nicht durch teilbar sind (z. B. ). Setze zudem . Dann hat jedes die obere Eigenschaft mit der nächsten Primzahl und es gilt . Also:

und damit induktiv

Bildet man auf beiden Seiten gedanklich den Limes, ergibt sich

da die 1 die einzige natürliche Zahl ist, die durch keine Primzahl teilbar ist.

Für einen alternativen Beweis betrachtet man für eine Schranke zunächst

Da jeder Faktor eine geometrische Reihe ist, gilt

für alle Primzahlen . Dann gilt aber auch

wobei der Strich an der zweiten Summe anzeigt, dass nur über alle summiert wird, deren Primteiler sämtlich sind. Daraus folgt mit

und mit und folgt die Behauptung.

Globale Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Analytische Fortsetzung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Dirichlet-Reihe ist nur auf der um 1 verschobenen rechten Halbebene definiert. Der für sie undefinierte Bereich, in dem die Reihe divergiert, ist grau dargestellt. Das untere Bild zeigt die analytisch fortgesetzte Zeta-Funktion.
Im Vergleich: die analytische Fortsetzung. Ihre Werte stimmen innerhalb der um 1 verschobenen rechten Halbebene exakt mit denen der Dirichlet-Reihe überein. Jedoch besitzt sie generell Werte für alle mit .

Die anfänglich nur für komplexe Zahlen definierte Zeta-Funktion kann zu einer in ganz holomorphen Funktion ausgeweitet werden. Diese Tatsache mag zunächst ungewöhnlich wirken, da ihre Dirichlet-Reihe an vielen Stellen nicht mehr konvergiert. Tatsächlich aber steht die Dirichlet-Reihe nicht überall für die Definition der Zeta-Funktion zur Verfügung.

An der Stelle besitzt die Zeta-Funktion zunächst mit Sicherheit eine Definitionslücke, denn mit der Divergenz der harmonischen Reihe folgt

Also wird sie in jedem Intervall beliebig anwachsen. Diese Lücke bildet gleichzeitig eine natürliche Barriere für die Konvergenz der Dirichlet-Reihe, was aus den Regeln für Abszissen von Dirichlet-Reihen folgt: die betrachtete Dirichlet-Reihe hat Konvergenzabszisse .

Eine analytische Fortsetzung der im Gebiet durch die Reihe definierten holomorphen Funktion ist eine auf einem größeren Gebiet holomorphe Funktion, die auf ganz mit dieser übereinstimmt. Nach dem Identitätssatz für holomorphe Funktionen ist eine solche Fortsetzung stets eindeutig bestimmt. Damit wären/sind alle Werte der Zeta-Funktion im erweiterten Bereich bereits durch die Dirichlet-Reihe festgelegt, obwohl sie hier nicht mehr an allen Stellen konvergiert.

Obwohl es für den ganz allgemeinen Fall kein konstruktives Verfahren gibt, Berechnungsformeln für analytische Fortsetzungen anzugeben, ist es durch die Einfachheit der Dirichlet-Reihe nicht schwierig, für die Zeta-Funktion eine zu finden. Besonders einfach erweist sich dies für die gelochte Halbebene

mittels folgender Beobachtung:[14]

Die Reihe zur Rechten konvergiert nachweislich in der Halbebene gegen eine holomorphe Funktion und wird in der Literatur auch manchmal als Dirichletsche Eta-Funktion bezeichnet. Damit lässt sich die Zeta-Funktion zu einer in ganz holomorphen Funktion fortsetzen. Die Lücke in wird mittels des Faktors gehoben und muss daher ein Pol erster Ordnung sein. Das Residuum der Zeta-Funktion ist dort 1, das heißt, es gilt:

Alle Stellen mit sind hingegen hebbare Singularitäten, denn es gilt dann Dies zeigt man am besten mittels partieller Summation: Für alle gilt

Für eine weitere holomorphe Ausdehnung des Definitionsbereiches eignen sich nun viele Methoden, die jedoch nach dem Identitätssatz alle dieselbe Funktion darstellen. Eine davon bietet die Anwendung der Eulerschen Reihentransformation auf die obere alternierende Reihe. Man erhält damit eine 1930 von Konrad Knopp veröffentlichte und auf ganz definierte Reihenidentität

Diese wurde von Helmut Hasse bewiesen. Es treten daher während der weiteren Fortsetzung keine weiteren Lücken bzw. Pole mehr auf. Daraus folgt schließlich Holomorphie in .

Global konvergente Laurent-Reihe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Als holomorphe Funktion mit einfachem Pol in 1 kann man die Riemannsche Zeta-Funktion um ihre Singularität in eine global konvergente Laurent-Reihe (also mit Konvergenzradius ) entwickeln. Diese hat die Form

Bei den Koeffizienten

handelt es sich um die Stieltjes-Konstanten, wobei die Euler-Mascheroni-Konstante ist,[15] für die sich daraus insbesondere der Ausdruck

ergibt.

Ordnung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Funktion ist ganz und hat die Ordnung 1. Das heißt für jedes gibt es Konstanten und , sodass für alle :

Hierbei ist eine andere Schreibweise für , die Exponentialfunktion.

Funktionalgleichung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Reelles Schaubild der Funktion . Deutlich zu erkennen ist die Spiegelsymmetrie an der Geraden x = 1/2.

Im Folgenden bezeichnet die Gammafunktion, die die Fakultät auf komplexe Zahlen verallgemeinert. Auf ganz gilt als Identität zwischen meromorphen Funktionen[16]

Aus dieser geht durch einfache Umformung die alternative Darstellung

für alle hervor. Oft wird auch die symmetrische Variante der Funktionalgleichung, nämlich

in der Literatur zitiert. Man beachte die Invarianz, die unter der Variablentransformation entsteht.[17][18][19] Aus der symmetrischen Variante können die oberen Gleichungen mittels der Legendreschen Duplikationsformel und des Eulerschen Ergänzungssatzes einfach hergeleitet werden.

Die Erfüllung einer Funktionalgleichung obigen Typs ist charakteristisch für L-Funktionen (spezielle Dirichlet-Reihen unter anderem mit analytischer Fortsetzung). Diese stehen wegen ihres Transformationsverhaltens oft in Beziehung mit Modulformen. Beispielsweise korrespondiert die Zeta-Funktion zur Jacobischen Theta-Funktion, einer Modulform halbganzen Gewichts. Aus dieser Beziehung geht, startet man mit dem Transformationsverhalten der Theta-Funktion, die Funktionalgleichung hervor.

Die Funktionalgleichung schafft einen Zusammenhang zwischen bedeutenden mathematischen Funktionen und zieht wichtige Resultate bezüglich Nullstellen- und Wachstumsverhalten der Zeta-Funktion nach sich. Sehr vielen Schlussfolgerungen ist dabei folgendes Prinzip gemein: Durch das (wegen absoluter Konvergenz der Dirichlet-Reihe) einfache Verhalten der Zeta-Funktion in der Halbebene wird automatisch eine Trivialisierung der mittels gespiegelten Halbebene erreicht.

Die Riemannsche -Funktion in der komplexen Zahlenebene

In seiner Arbeit definierte Riemann ursprünglich für die ganze Funktion[20]

In der heutigen Konvention ist es allerdings üblicher, statt die Variable zu verwenden; man setzt dann . In dieser neuen Notation gilt dann die Reflexion

Beide Interpretationen werden heutzutage als Riemannsche Xi-Funktion bezeichnet.[21]

Charakterisierung durch Hamburger[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im Jahre 1921 gelang es Hans Hamburger, die Riemannsche Zeta-Funktion anhand ihrer Funktionalgleichung wie folgt zu charakterisieren.

Es sei , wobei eine ganze Funktion endlicher Ordnung und ein Polynom ist, für durch die Dirichlet-Reihe darstellbar. Ferner gelte die Funktionalgleichung

wobei ebenfalls auf der Halbebene als Dirichlet-Reihe darstellbar sei. Dann folgt bereits die Identität .[22]

Eigenschaften der Dirichlet-Reihe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für reelle Argumente [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Abbildungseigenschaften und Folgerungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Auf dem offenen Intervall ist die Zeta-Funktion eine unbeschränkte, reellwertige und streng monoton fallende Funktion. Insbesondere ist sie in diesem Bereich injektiv. Dabei ist 1 ihre größte untere Schranke, weshalb sie (wegen ihrer Stetigkeit) das Intervall bijektiv auf sich selbst abbildet. Aus ihrer Holomorphie folgt unterdessen sofort, dass sie auf beliebig oft reell differenzierbar (also glatt) ist.

Da , folgt bereits . Eine Eigenschaft analytischer Funktionen ist, unter diesen Voraussetzungen ein Spiegelungsgesetz unter der komplexen Konjugation zu erfüllen: Wir haben . Dies hat wichtige Konsequenzen für die Nullstellenverteilung, da die Nullstellen an der reellen Achse gespiegelt werden und damit paarweise auftreten.

Ungleichungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Recht elementar aus der für alle und reellen gültigen Ungleichung

folgt in diesem Bereich

Ebenfalls interessant ist die Ungleichung[23]

Konvergenzgeschwindigkeit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definiert man

so gilt für alle

wobei Dies folgt aus der Euler-Maclaurin-Summenformel, die auch zur numerischen Berechnung der Zeta-Funktion herangezogen werden kann. Daraus folgt, dass die Konvergenzgeschwindigkeit der Dirichlet-Reihe für kleiner werdende Realteile stark abnimmt. Zudem folgt, dass die Reihe in keinem Punkt konvergiert.

Verhalten in der vertikalen und horizontalen Richtung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Funktionsgraph der Funktion für 0 < t < 2000. Dieser ist nach oben durch und nach unten durch beschränkt.

Für unbegrenzt größer werdende Realteile hat die Zeta-Funktion ein leicht zu bestimmendes asymptotisches Verhalten, es gilt

Dies folgt unmittelbar aus der gleichmäßigen Konvergenz der Dirichlet-Reihe in den Bereichen und Vertauschen von Limes und Summation. Vergleiche hierzu auch den komplexen Graphen der Zeta-Funktion zu Beginn des Artikels, der in Richtung der positiven reellen Achse zunehmend konstant rot gefärbt ist.

Fixiert man den Realteil für mit , so gilt für alle

Diese Konstanten sind optimal gewählt. Mit dem Euler-Produkt und Kroneckers Approximationssatz lassen sich nämlich zusätzlich die Aussagen

beweisen.[24]

Beziehungen zu zahlentheoretischen Funktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Dirichlet-Reihen einiger elementarer und wichtiger (sehr häufig multiplikativer) zahlentheoretischer Funktionen können über die Riemannsche Zeta-Funktion ausgedrückt werden. Von großer Bedeutung ist dabei zum Beispiel die Beobachtung, dass das multiplikative Inverse der Zeta-Funktion wieder durch eine Dirichlet-Reihe dargestellt werden kann. Es gilt die Formel

wobei hier die Möbiusfunktion bezeichnet. Die Reihe zur Rechten konvergiert (wegen für alle ) absolut auf der Halbebene , und, falls die Riemannsche Vermutung richtig ist, sogar (bedingt) auf der Halbebene (was man schnell mittels partieller Summation sieht). Zur informellen Erklärung der Dirichlet-Reihen-Identität betrachtet man

also einfach den Kehrwert des Euler-Produkts, und bildet durch konsequentes Ausmultiplizieren die dazugehörige Dirichlet-Reihe.

Über die Faltungsformel mit (diese definiert einen Homomorphismus vom Ring der zahlentheoretischen Funktionen in den Ring der (formalen) Dirichlet-Reihen ) ergeben sich weitere Identitäten. Für die Zahlentheorie sehr wichtig sind dabei zum Beispiel Formeln wie

mit der Teilerfunktion oder auch

mit der Eulerschen Phi-Funktion. Es existiert darüber hinaus eine ganze Galaxie weiterer Identitäten. So geht zum Beispiel die verblüffende Formel

auf Ramanujan zurück.[25] Diese Identitäten zeugen von einer engen Verbindung zwischen interessanten zahlentheoretischen Funktionen auf der einen Seite und einer mit guten analytischen Eigenschaften (wie Meromorphie usw.) ausgestatteten Funktion auf der anderen Seite. Mittels Methoden der analytischen Zahlentheorie können damit oft frappierende Verhaltensmuster dieser zahlentheoretischen Funktionen bewiesen werden.

Dirichlet-Reihe der Ableitungen und Stammfunktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ihre -te Ableitung besitzt für Argumente mit Realteil größer als 1 die Darstellung

Dies folgt mittels gliedweiser Differentation, was wegen gleichmäßiger Konvergenz der Reihe auf kompakten Teilmengen erlaubt ist. Ähnlich gilt dort für eine Stammfunktion:

Mellin-Transformation – die Verbindung zur Gamma-Funktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die nach der Definition als Dirichlet-Reihe und dem Euler-Produkt wohl elementarste und wichtigste Darstellung der Zeta-Funktion ist die sogenannte Mellin-Transformation. Dabei wird die Zeta-Funktion über ein unendliches Integral ausgedrückt.

Grundlage dieser Darstellung ist das eulersche Integral für die Gamma-Funktion

aus dem nach der Substitution mit und Division durch nach beidseitigem Summieren der Ausdruck

hervorgeht.[26] Das Vertauschen von Summe und Integral kann mit absoluter Konvergenz und dem Satz von Lebesgue begründet werden. Diese Darstellung von gilt naturgemäß nur auf der Halbebene . Zu beachten ist jedoch, dass der Integrand neben der Kernfunktion eine um analytische Funktion ist:

Diese Tatsache schafft eine enge Beziehung zwischen Zeta-Funktion und den Bernoulli-Zahlen . Durch sukzessives Abspalten der Taylor-Polynome von im Integrationsintervall von 0 bis 1 kann die Zeta-Funktion auf ganz fortgesetzt werden:

[15]

Dabei wird ausgenutzt, dass eine ganze Funktion ist.

Integration über eine Hankel-Kontur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Funktion hat einen singulären Punkt in . Durch den plötzlichen Farbwechsel deutlich zu erkennen ist die positive reelle Achse als Unstetigkeitsgerade. Der Verlauf der Hankel-Kontur mit ist eingezeichnet und das Integral hat den Wert .
Für ganze Zahlen lässt sich die Hankel-Kontur zu einem Kreis zusammenziehen. Hier das Beispiel .

Eng verwandt zur obigen Transformation ist eine Kurvenintegraldarstellung. Diese wurde von Riemann selbst verwendet, um die Zeta-Funktion in die komplexe Ebene fortzusetzen. Die Funktion ist je nach Wahl des Zweiges des Logarithmus in unterschiedlichen Bereichen holomorph. Für die Hankel-Kontur (ein spezieller Integrationsweg) ist es von Vorteil, die Gerade aus dem Holomorphiebereich auszuschließen via:

Nun definiert man für die Funktion als ein Kurvenintegral über . Die gewählte Kurve , kommt von , verläuft mit Abstand über der reellen Geraden, umläuft den Ursprung in einem Halbkreis und erstreckt sich dann wieder mit Abstand unterhalb der reellen Geraden gegen .

Wegen gleichmäßiger Konvergenz auf kompakten Mengen in ist eine ganze Funktion. Wählt man nun , so kann man wegen

die Schlaufe beliebig zusammenziehen und erhält mit der Mellin-Transformation

Daraus ergibt sich mit dem Ergänzungssatz die Formel

Ist , so ist innerhalb des gelochten Streifens holomorph. Damit lässt sich die Hankel-Kontur zu einer Kreiskurve zusammenziehen, ohne den Wert des Integrals zu verändern. Dies ermöglicht eine schnelle Berechnung der Werte für ganze Zahlen mittels des Residuensatzes. Unter anderem folgt daraus die enge Beziehung der Werte der Zeta-Funktion an nicht-positiven ganzen Argumenten und den Bernoulli-Zahlen.

Spezielle Funktionswerte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Funktionswerte für gerade natürliche Zahlen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Funktionswerte der Riemannschen Zeta-Funktion für positive gerade Zahlen haben eine enge Beziehung zur Kreiszahl . Für eine positive ganze Zahl ist

wobei die -te Bernoulli-Zahl bezeichnet.[27] Diese Formel wurde zuerst von Leonhard Euler entdeckt. Somit ist für ein rationales Vielfaches von Daraus folgt sofort mit dem Satz von Lindemann-Weierstraß, dass jeder Wert für natürliche Zahlen irrational und sogar transzendent ist.[28]

Herleitung zu Eulers Formel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Euler wurde bei seinen Überlegungen durch die Taylor-Reihe des Kardinalsinus inspiriert. Über Vergleich der Koeffizienten auf beiden Seiten, wobei auf der rechten Seite zunächst ausmultipliziert,

folgerte er beispielsweise

Ein alternativer und direkterer Zugang zu den Werten an geraden Stellen liefert die Kotangensfunktion. Aus deren unendlicher Partialbruchzerlegung ergibt sich einerseits die Potenzreihe[29]

andererseits folgt über den komplexen Sinus und Kosinus

Durch Koeffizientenvergleich beider Potenzreihen ergibt sich Eulers Formel.

Weitere Formeln[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es gilt die bemerkenswerte Rekursionsformel

für natürliche Zahlen , die Euler noch nicht bekannt war.[30]

Anwendung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Obgleich die Bernoulli-Zahlen rational sind, ist ihre explizite Berechnung für größer werdende Indizes schwierig, da zunächst nur aufwändige Rekursionsformeln vorliegen. Für lange Zeit galt daher Eulers Formel für die Werte (kombiniert mit dem Staudt-Clausenschen Satz) als beste Grundlage zur Berechnung der Werte . Jedoch fand David Harvey im Jahr 2008 einen etwas schnelleren Algorithmus, der ohne die Verwendung der Zeta-Funktion auskommt.[31]

Funktionswerte für ungerade natürliche Zahlen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Über den Wert der Zeta-Funktion für ungerade natürliche Zahlen ist nur sehr wenig bekannt. Das hat den Grund, dass alle bekannten Verfahren zur expliziten Bestimmung von Werten mit eigentlich den Wert der unendlichen Reihe

ermitteln, die für gerade Werte den Wert hat, für ungerade aber durch Herauskürzen der Summanden trivialerweise 0 ist, womit die wesentlichen Informationen verloren gehen. Dennoch weiß man zum Beispiel, dass die Apéry-Konstante irrational ist, was 1979 von dem französischen Mathematiker Roger Apéry bewiesen wurde.[32] Sein Beweis fand in Mathematikerkreisen große Beachtung – z. B. zitierte Carl Ludwig Siegel:

„Man kann den Beweis nur wie einen Kristall vor sich hertragen“

mündlich durch Wilhelm Maak überliefert

Apéry-Reihen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im Wesentlichen verwendete Apéry die rasch konvergente Reihe

mit rationalen Gliedern. Es gilt hingegen auch

Reihen dieser Art werden auch als Apéry-Reihen bezeichnet.[33] In dem Wunsche, Apérys Beweismethode gegebenenfalls auch auf andere Zeta-Werte anwenden zu können, sind diese bis heute Gegenstand intensiver Forschung. Beiträge lieferten unter anderem Ablinger, Bailey, Borwein, Sun und Zucker.[34][35][36][37] Beim Versuch einer Verallgemeinerung stößt man natürlicherweise auf Verbindungen zu allgemeinen harmonischen Summen und multiplen Polylogarithmen. Doch trotz verblüffender Formeln wie zum Beispiel[38]

steht der Durchbruch bis heute aus.

Lineare Unabhängigkeit über [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es ist immerhin bekannt, dass unendlich viele Werte irrational sind. Genauer lässt sich sagen, dass es zu jedem ein gibt, sodass für alle die Ungleichung

gilt.[39] Aus dieser Ungleichung geht hervor, dass unendlich viele Werte der Menge linear unabhängig über dem Körper sind. Das bedeutet aber zwangsläufig, dass die betroffenen Werte alle irrationale Zahlen sein müssen. Wadim Zudilin konnte sogar zeigen, dass mindestens einer der Werte , , und irrational sein muss.[40]

Perioden zu Eisensteinreihen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ramanujan gab die für ganze und reelle Zahlen mit gültige Identität[41]

an. Das hintere Polynom in und mit rationalen Koeffizienten wird auch Ramanujan-Polynom genannt. Dies impliziert gewissermaßen eine engere Verwandtschaft zwischen den Werten und . Durch Einsetzen spezieller Werte findet sich daraus eine reiche Fülle erstaunlicher expliziter Formeln. Setzt man beispielsweise und ein, so entsteht die um 1900 von Matyáš Lerch angegebene Reihe[42]

und allgemeiner eine Darstellung, die Zeta-Werte gerader Argumente mit einschließt:[43]

Ramanujans Formel lässt sich zum Beispiel durch Anwendung des Residuensatzes auf die Funktion zeigen. Sie findet jedoch ihren tieferen Ursprung in der Tatsache, dass die auf der oberen Halbebene definierten Funktionen

gerade die Eichler-Integrale zu Eisensteinreihen von Gewicht zur vollen Modulgruppe sind.[44] Insbesondere haben sie das von Ramanujan beschriebene Transformationsverhalten (wenn man zum Beispiel mit setzt, wird der Bezug zur modularen Sprache deutlicher) und die Koeffizienten des Ramanujan-Polynoms sowie die Zeta-Werte an ungeraden Stellen treten als sog. Perioden der jeweiligen Eisensteinreihe auf. 2011 zeigten Ram, Murty, Smyth und Wang, dass es mindestens eine algebraische Zahl mit gibt, sodass

Gleichzeitig bewiesen sie aber, dass die Menge

höchstens eine algebraische Zahl enthält, wobei den algebraischen Abschluss von bezeichnet.[45] Es ist bis heute ungeklärt, ob einer der Werte als rationales Vielfaches von darstellbar ist. Viele Mathematiker halten dies jedoch für äußerst unwahrscheinlich. Nach einer Vermutung von Kohnen, die 1989 ebenfalls im Zusammenhang mit Perioden von Modulformen formuliert wurde, sind alle Quotienten mit transzendente Zahlen.[46]

Numerische Berechnung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gerade für kleinere Werte ist die Dirichlet-Reihe zur schnellen numerischen Berechnung der Werte nicht optimal. Bei der Suche nach schnell konvergenten Reihen machte sich Bailey durch Angabe verschiedener BBP-Formeln verdient.[47] Exemplare für solche existieren für und . Ein Beispiel ist die äußerst schnell konvergente Reihe

Andere schnell konvergente Reihen, verfügbar für alle Werte , stammen von Wilton:[48]

Hierbei bezeichnet die n-te harmonische Zahl. Zu beachten ist hier allerdings, dass dies eine rekusrive Formel ist, welche genaue Kenntnis der Werte (d. h. der Bernoulli-Zahlen) erfordert.

Die Dezimalstellen einiger Werte sind der folgenden Tabelle zu entnehmen.

2n + 1 ζ(2n + 1) OEIS Folge
3 1,2020569031595942853997381… Folge A002117 in OEIS
5 1,0369277551433699263313654… Folge A013663 in OEIS
7 1,0083492773819228268397975… Folge A013665 in OEIS
9 1,0020083928260822144178527… Folge A013667 in OEIS
11 1,0004941886041194645587022… Folge A013669 in OEIS
13 1,0001227133475784891467518… Folge A013671 in OEIS
15 1,0000305882363070204935517… Folge A013673 in OEIS
17 1,0000076371976378997622736… Folge A013675 in OEIS
19 1,0000019082127165539389256… Folge A013677 in OEIS

Funktionswerte für nichtpositive ganze Zahlen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im Gegensatz zu den Zeta-Werten positiver ganzer Argumente, über die im Falle der ungeraden Werte bis heute nahezu nichts bekannt ist, sind die Funktionswerte für nichtpositive ganze Zahlen sämtlich bekannt. Man weiß zum Beispiel, dass sie alle rationale Zahlen sind. Sie hängen, wie die Zeta-Werte gerader positiver Zahlen, sehr eng mit den Bernoulli-Zahlen zusammen.

Über die mit einer Hankel-Kontur hergeleiteten Integralformel

folgert man durch Einsetzen einer nicht-positiven ganzen Zahl über den Residuensatz:[49]

Dabei ist die n-te Bernoulli-Zahl. Dies kann ebenfalls mittels Eulers Formel für gerade Funktionswerte und der Funktionalgleichung hergeleitet werden (und umgekehrt).[50]

Unter anderem erhält man damit:

Für alle negativen ganzen Zahlen erhält man für die Ableitung

Andere Werte sind:

wobei hier die Glaisher-Kinkelin-Konstante bezeichnet.

Funktionswerte für halbzahlige Argumente[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für die Funktionswerte für halbzahlige Argumente gilt:

  (Folge A059750 in OEIS),
  (Folge A078434 in OEIS).

Dieser Wert wird u. a. in der Physik bei der Berechnung der kritischen Temperatur für die Ausbildung eines sogenannten Bose-Einstein-Kondensats und in der Spinwellen-Theorie bei magnetischen Systemen benötigt.

Ramanujan gab in seinem Tagebuch folgende Reihenidentität an, die den Wert beinhaltet. Für positive reelle Zahlen mit gilt

[51]

Diese wurde von einigen Mathematikern aufgegriffen und weiter verallgemeinert. So haben zum Beispiel Kanemitsu, Tanigawa und Yoshimoto ähnliche Identitäten gefunden, welche die Werte für Dirichletsche L-Funktionen mit ungeraden und geraden beinhalten.[52] 2017 gab Franke[53] folgende Identität für halbzahlige Funktionswerte:

mit , , , und . Hierbei bezeichnet die verallgemeinerte Teilerfunktion. Diese Identität ist Spezialfall eines sehr allgemeinen Frameworks, das Reihenidentitäten von Ramanujan für L-Funktionen wesentlich ausweitet.[54]

Nullstellen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die ersten „trivialen“ Nullstellen der -Funktion
Blau ist der Realteil und rot der Imaginärteil der Funktion dargestellt, sodass man klar die ersten nicht-trivialen Nullstellen erkennen kann

Triviale Nullstellen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Aus der Darstellung als Euler-Produkt kann man leicht folgern, dass für gilt. Zusammen mit der Funktionalgleichung ergibt sich, dass die einzigen Nullstellen außerhalb des kritischen Streifens die „trivialen“ Nullstellen sind. Diese sind alle einfach, denn es gilt für alle

Nicht-triviale Nullstellen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Neben den trivialen Nullstellen besitzt die Zeta-Funktion weitere Nullstellen im kritischen Streifen . Diese werden auch als nicht-triviale Nullstellen bezeichnet, da bis heute nur sehr wenig über die deren genaue Lage bekannt ist. Aus ihrer Verbindung zur Dirichletschen Eta-Funktion,

kann man zumindest folgern, dass für alle reellen gilt.

Existenz und asymptotische Verteilung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Aufgrund des Euler-Produktes und der Funktionalgleichung müssen alle nicht-trivialen Nullstellen innerhalb des abgeschlossenen kritischen Streifens liegen, falls sie existieren. Dass es sogar unendlich viele nicht-triviale Nullstellen gibt, war bereits Riemann bewusst:

„Die Anzahl der Wurzeln von , deren reeller Theil zwischen und liegt, ist etwa denn das Integral positiv um den Inbegriff der Werthe von erstreckt, deren imaginärer Theil zwischen und und deren reeller Theil zwischen und liegt, ist (bis auf einen Bruchtheil von der Ordnung der Grösse ) gleich ; dieses Integral aber ist gleich der Anzahl der in diesem Gebiet liegenden Wurzeln von .“

Riemann gab in seiner Arbeit also eine Formel zur asymptotischen Verteilung der nicht-trivialen Nullstellen erstmals an. Er behauptete, die Anzahl (mit Vielfachheit gerechnet) der Nullstellen innerhalb des Rechtecks erfülle die asymptotische Äquivalenz

Seinen Gedankengang begründete er (wie oben knapp beschrieben) über eine Auswertung des nullstellenzählenden Integrals

wobei die (etwas anders skalierte) Riemannsche Xi-Funktion bezeichnet, die insbesondere dieselben Nullstellen im kritischen Streifen besitzt wie die Zeta-Funktion. Diese Aussage wurde jedoch erst über 50 Jahre nach Riemanns Veröffentlichung von Mangoldt rigoros bewiesen.[56] Beim Beweis macht man sich die Funktionalgleichung zunutze. Ein von Gérald Tenenbaum gegebener Standardbeweis nutzt das erweiterte Rechteck und kommt zu

wobei wegen der ganzen Symmetrien von auch über den Linienzug integriert werden kann.[57] Mittels der einfachen Formel für logarithmische Ableitungen,

und der Tatsache, dass Imaginärteile des Logarithmus über das Argument gegeben sind, folgt

Während die meisten Faktoren der -Funktion in dieser Formel leicht auszuwerten sind und die Größenordnung liefern, besteht der schwierigste Teil in der Schätzung

Der Fehler konnte bis heute nicht verbessert werden. Von Littlewood stammt die Einsicht, dass die Imaginärteile der nicht-trivialen Nullstellen immer dichter zusammenrücken. Setzte man also (wobei die nach wachsenden, positiven Imaginärteilen aufsteigende Folge der nicht-trivialen Nullstellen bezeichnet), so gilt also . Dies folgert man recht direkt aus

Neben den trivialen Nullstellen bei besitzt die Riemannsche Zeta-Funktion auch nicht-triviale im kritischen Streifen. Potenzielle Nullstellenpaare sind hier sporadisch eingezeichnet: Aufgrund der Invarianz der Funktionalgleichung über nach und der Spiegelung von Funktionswerten komplex konjugierter Argumente an der reellen Achse treten die Nullstellenpaare jeweils doppelt (also gespiegelt) auf. Nur wenn die Riemannvermutung richtig ist, treffen sich alle horizontalen Paare auf der kritischen Geraden .

Symmetrieeigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Funktionalgleichung der Zeta-Funktion und ihre grundlegende Spiegelungseigenschaft bezüglich konjugierter Argumente implizieren ein paarweises Auftreten der nicht-trivialen Nullstellen. Ist z. B. eine Nullstelle im kritischen Streifen, so ist aufgrund der Funktionalgleichung

auch Nullstelle. Zusätzlich aber ist , weshalb auch Nullstelle ist; analog aber auch Zu bemerken ist, dass alle Werte und im kritischen Streifen liegen, dort zu einem Rechteck verbunden werden können und somit quasi ein Nullstellen-Doppelpaar bilden.

Ist jedoch die Riemannsche Vermutung richtig, so liegen alle Nullstellen auf der Geraden , wobei dann stets bzw. gilt.

Ordnungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Über die Ordnung der nicht-trivialen Nullstellen ist bis heute wenig bekannt. Es wird angenommen, dass alle Nullstellen der Zeta-Funktion die Ordnung 1 haben. Diese Vermutung wird von numerischen Untersuchungen unterstützt: Bisher waren alle gefundenen Nullstellen von erster Ordnung.

J. B. Conrey, A. Ghosh und S. M. Gonek fanden jedoch Aussagen unter der Annahme der Riemannschen Vermutung und der verallgemeinerten Lindelöfschen Vermutung. Letztere besagt, dass für alle und jeden Dirichlet-Charakter modulo , die zugehörige L-Funktion für anwächst wie

Setzt man beides voraus, ergibt sich für die Anzahl der einfachen Nullstellen :[58]

2013 konnten H. M. Bui und D. R. Heath-Brown zeigen, dass man dies im Wesentlichen auch ohne die Lindelöfsche Vermutung beweisen kann.[59] Des Weiteren gilt für Werte

wobei über Nullstellen summiert wird. Also liegt in jedem Intervall der Imaginärteil einer einfachen Nullstelle.[60]

Nach einer Vermutung von Hardy und Littlewood existiert für jedes eine Zahl , sodass die Funktion für alle im Intervall eine Nullstelle von ungerader Ordnung hat. Zudem gibt es eine Konstante so dass

gilt. Hierbei ist die Anzahl der Nullstellen ungerader Ordnung auf .[61]

Im Falle, dass alle Nullstellen einfach sein sollten, kommt den nicht-verschwindenden Werten eine Bedeutung zu über die für nicht-natürliche gültige Formel:

Dabei ist die Möbiusfunktion. Diese kann jedoch nur unter zusätzlichen Annahmen an das Verhalten der Zeta-Funktion im kritischen Streifen gezeigt werden; dies bezieht sich auch darauf, über welchen Intervallen die partiellen Nullstellensummen zu erstrecken sind.[62]

Nullstellenfreie Regionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bereits Ende des 19. Jahrhunderts konnte mit Hilfe eines einfachen Widerspruchsbeweises gezeigt werden, dass die Zeta-Funktion keine Nullstellen auf der Geraden besitzt. Grundlage dieses Beweises ist die von Mertens gezeigte, für alle mit gültige Ungleichung[63]

Diese nullstellenfreie Region konnte danach immer weiter vergrößert werden. So wurde gezeigt, dass eine Konstante existiert, sodass für keinen Wert mit

eine Nullstelle besitzt.[64] Solche Verbesserungen führen (in verallgemeinerter Form für Dirichletsche L-Funktionen) unter anderem zum Satz von Siegel-Walfisz.[65]

Das bis heute schärfste nullstellenfreie Gebiet, mit großem technischem Aufwand gewonnen, ist für gegeben durch[66]

Dieses führt beim Primzahlsatz zu einem verbesserten Fehler: Für eine Konstante gilt[67][68]

Ein expliziter Wert für die Konstante in der Fehlerfunktion, nämlich , wurde 2002 von Ford gegeben.[69] Insbesondere ist bis heute (Stand 2019) nicht einmal bekannt, ob es ein gibt, sodass gilt für alle mit .

Lage auf der kritischen Geraden[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Atle Selberg

Im Jahr 1914 konnte Godfrey Harold Hardy zeigen, dass unendlich viele nicht-triviale Nullstellen auf der kritischen Geraden liegen. In seinem damals revolutionären Beweis machte er sich zunutze, dass für alle reellen Zahlenwerte der Ausdruck

nur reelle Funktionswerte annimmt. Dies vereinfachte das Problem auf die zu klärende Existenz unendlich vieler Nullstellen einer reellwertigen Funktion. Der durch Widerspruch geführte Beweis zeigt auf, dass für unendlich oft sein Vorzeichen wechseln muss, was schon zeigt, dass unendlich viele Nullstellen auf besitzt.[70] 1921 verbesserte Hardy zusammen mit seinem Freund und Kollegen John Edensor Littlewood die Aussage auf das wesentlich stärkere Resultat, dass für hinreichend große Werte die Anzahl der Nullstellen auf der kritischen Geraden im Segment mindestens beträgt, wobei eine positive Konstante bezeichnet. Selberg verbesserte dieses Ergebnis 1942 auf [71] und zeigte außerdem, dass ein positiver Anteil aller Nullstellen auf der kritischen Geraden liegen.[72] Es gibt also eine Konstante , sodass

Für diesen und andere Beiträge wurde er im Jahre 1950 mit der Fields-Medaille geehrt. Ab diesem Punkt wurde daran gearbeitet, möglichst hohe Werte für zu finden. Anfang der 1970er Jahre konnte Levinson zeigen, dass mindestens ein Drittel () der nicht-trivialen Nullstellen auf der kritischen Geraden liegen muss, wobei jedoch als hinreichend groß vorausgesetzt wird.[73] 1989 verbesserte Conrey diesen Wert auf , wobei er Techniken von Levinson verfeinerte.[74]

Die Riemannsche Vermutung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Funktion ist im Kleinen eine Treppenfunktion von hochgradiger Unregelmäßigkeit. Im Großen jedoch zeigt sie durch eine verblüffende Glätte (siehe Bild) eines der größten Mysterien auf, die die Mathematik bietet.

Riemann vermutete im Jahr 1859, dass alle nicht-trivialen Nullstellen auf der parallel zur imaginären Achse verlaufenden Geraden liegen. Wegen der Funktionalgleichung ist dies äquivalent zu für alle . Diese sogenannte Riemannsche Vermutung konnte bislang weder bewiesen noch widerlegt werden.

Die Lage der Nullstellen im kritischen Streifen hängt eng mit Aussagen über die Verteilung der Primzahlen zusammen. Beispielsweise ist die Aussage, dass auf dem Rand des kritischen Streifens keine Nullstellen liegen, ein möglicher Zwischenschritt beim Beweis des Primzahlsatzes. Mit anderen Worten: Die Nullstellen kodieren die Abweichung der Primzahlfunktion von der durch den Primzahlsatz gegebenen Größenordnung . Deren (durch das nicht mehr konvergente Euler-Produkt) gewährleistete Existenz ist also als natürliche Barriere zu verstehen, die eine gewisse Unschärfe bei der Identifikation als Tribut fordert. Doch obwohl man weiß, dass diese Unschärfe natürlicherweise existiert, ist ihre Intensität nicht geklärt und hängt mit der Verteilung der Nullstellen zusammen. Je näher sich Nullstellen an der Geraden befinden, desto größer werden die Abweichungen sein. Haben wir für alle mit , so folgt für alle

Liegen jedoch alle Nullstellen auf der mittleren Geraden , so ist diese Unschärfe kleinst möglich (man beachte, dass mit auch nicht-triviale Nullstelle ist). Dies hätte eine erstaunliche Glattheit bei der Verteilung der Primzahlen zur Folge, zum Beispiel gölte dann ganz explizit[75]

Hierbei ist zu beachten, dass zwar beliebig groß wird, jedoch asymptotisch betrachtet deutlich kleiner als ist!

Numerische Berechnungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bereits früh gab es Anstrengungen, die Riemannsche Vermutung und andere Phänomene durch explizite numerische Berechnungen zu überprüfen. Die Methoden wurden, insbesondere im Zeitalter von leistungsstarken Computern, explosionsartig besser. Bisher liegen alle gefundenen nicht-trivialen Nullstellen auf der Geraden . Da es unendlich viele nicht-triviale Nullstellen gibt, können Algorithmen jedoch höchstens für die Suche eines Gegenbeispiels und nicht für einen Beweis der Riemannschen Vermutung herangezogen werden.

Jahr Anzahl der Nullstellen Autor
1859? 3 B. Riemann benutzte die Riemann-Siegel-Formel (unveröffentlicht, aber aufgezeichnet[76]).
1903 15 J. P. Gram benutzte die Euler–Maclaurin Summenformel und entdeckte das Gramsche Gesetz.[77] Er zeigte, dass alle 10 Nullstellen (mit Imaginärteil von maximal 50) auf der kritischen Linie mit Realteil 1/2 liegen, indem er die Summe der inversen zehnten Potenzen der gefundenen Wurzeln berechnete.
1914 79 (γn ≤ 200) R. J. Backlund verbesserte die bisherige Methodik, um festzustellen, dass alle bisher gefundenen Nullstellen auf der kritischen Geraden liegen.[78]
1925 138 (γn ≤ 300) J. I. Hutchinson deckte das Scheitern des Gramschen Gesetzes am Punkt g126 auf.[79]
1935 195 E. C. Titchmarsh machte sich die kürzlich wiederentdeckt Riemann–Siegel-Formel zu Nutze. Diese ist schneller als die Euler-Maclaurin Summenformel: Sie benötigt in etwa O(T3/2+ε) um Nullstellen mit Imiginärteil kleiner als T aufzuspüren, während letztere in etwa O(T2+ε) Schritte braucht.[80]
1936 1041 E. C. Titchmarsh und L. J. Comrie gelten als die Letzten, die Nullstellen per Hand berechneten.[81]
1953 1104 A. M. Turing fand einen effizienteren Weg, um zu überprüfen, ob bis zu einem gewissen Punkt alle gefundenen Nullstellen auch wirklich auf der Geraden liegen, indem er überprüfte, dass die Funktion Z(t) das richtige Vorzeichen an aufeinanderfolgenden Gramschen Punkten hat (und dass S(T) den Durchschnittswert 0 hat). Dies benötigte quasi keine neue Arbeit, da die Vorzeichen von Z(t) bereits an den Gramschen Punkten aus vergangenen Nullstellensuchen bekannt waren. Diese Methode wird bis heute benutzt. Erstmals kam ein Computer zum Einsatz.[82]
1956 15.000 D. H. Lehmer entdeckte ein paar Fälle, in welchen Nullstellen „gerade so“ auf der Geraden liegen: zwei Nullstellen liegen dabei so nahe beieinander, dass es ungewöhnlich schwer ist den Vorzeichenwechsel zu erkennen. Dies nennt man heute "Lehmersches Phänomen", und tritt das erste Mal bei den Nullstellen mit Imaginärteilen 7005.063 und 7005.101 auf, die sich lediglich um .04 unterscheiden, während in dieser Region ein durchschnittlicher Abstand von 1 erwartet wird.[83]
1956 25.000 D. H. Lehmer
1958 35.337 N. A. Meller
1966 250.000 R. S. Lehman
1968 3.500.000 Rosser, Yohe und Schoenfeld formulierten die Rossersche Regel.[84]
1977 40.000.000 R. P. Brent
1979 81.000.001 R. P. Brent
1982 200.000.001 R. P. Brent, J. van de Lune, H. J. J. te Riele, D. T. Winter
1983 300.000.001 J. van de Lune, H. J. J. te Riele
1986 500.000.001 van de Lune, te Riele und Winter gaben statistische Daten über die Nullstellen und verschiedene Graphen der Funktion Z(t) an Stellen mit ungewöhnlichem Verhalten.[85]
1987 Einige mit Höhe der Größenordnung (~1012) A. M. Odlyzko berechnete einige wenige Nullstellen mit Imaginärteilen um 1012 um Montgomery's pair correlation conjecture numerisch zu prüfen.[86]
1992 Einige mit Höhe der Größenordnung (~1020) A. M. Odlyzko berechnete ca. 175 Millionen Nullstellen mit Imaginärteilen um 1020 und diskutierte die Ergebnisse eingehend.[87]
1998 10.000 mit Höhe der Größenordnung (~1021) A. M. Odlyzko berechnete einige Nullstellen mit Imaginärteilen um 1021[88]
2001 10.000.000.000 J. van de Lune (unveröffentlicht)
2004 900.000.000.000 S. Wedeniwski (ZetaGrid Projekt)
2004 10.000.000.000.000 und ein paar weitere im Höhenbereich (bis zu ~1024) X. Gourdon and Patrick Demichel verwenden das Verfahren von Odlyzko und Schönhage. Sie überprüfen auch zwei Milliarden Nullstellen in den Bereichen 1013, 1014 …, 1024.[89]

Numerische Werte der frühen Nullstellen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Imaginärteile der „ersten“ Nullstellen sind beispielsweise[90]

±k ±Im(ρk) ±k ±Im(ρk)
1 14,134725141734693790… 11 52,970321477714460644…
2 21,022039638771554993… 12 56,446247697063394804…
3 25,010857580145688763… 13 59,347044002602353079…
4 30,424876125859513210… 14 60,831778524609809844…
5 32,935061587739189690… 15 65,112544048081606660…
6 37,586178158825671257… 16 67,079810529494173714…
7 40,918719012147495187… 17 69,546401711173979252…
8 43,327073280914999519… 18 72,067157674481907582…
9 48,005150881167159727… 19 75,704690699083933168…
10 49,773832477672302181… 20 77,144840068874805372…

Über die Eigenschaften dieser Imaginärteile (Irrationalität, Transzendenz …) ist bis heute nichts bekannt.[91]

Hadamard-Produktentwicklung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Jacques Salomon Hadamard

Neben dem Euler-Produkt gibt es eine weitere Produktdarstellung der Zeta-Funktion, die erstmals ihre Nullstellen in eine mögliche Definition direkt mit einschließt. Diese ist so bedeutend, weil sie der Schlüssel für den Zusammenhang zwischen Primzahlen und Nullstellen ist. Der entscheidende Schritt in Bernhard Riemanns Arbeit war nämlich der „Vergleich“ dieser beiden Produkte, was schließlich ein enges Verhältnis zwischen den Produktelementen (in diesem Falle Primzahlen und Nullstellen) impliziert. Wegen ihrer niedrigen Konvergenzgeschwindigkeit ist die Produktdarstellung jedoch in der Praxis nicht als Grundlage für einen numerischen Berechnungsalgorithmus für die Zeta-Funktion geeignet.

Über den Produktsatz von Weierstraß für holomorphe Funktionen ist es möglich, die Zeta-Funktion anhand ihrer Nullstellen über ein Produkt zu rekonstruieren:

Sowohl die linke Seite als auch sind ganze Funktionen. Unter Zuhilfenahme der Produktentwicklung der Gammafunktion erhält man (mittels der Jensenschen Formel) das Hadamard-Produkt,[92] benannt nach seinem Entdecker Jacques Hadamard, das global in konvergiert:

Eine etwas einfachere (jedoch nur bedingt konvergente) Form des Hadamard-Produktes ist

Absolute Konvergenz ergibt sich, wenn man die Nullstellen „paarweise“ ordnet. und sind ein solches Paar. Also:

Weitere Eigenschaften im kritischen Streifen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Jede auf dem kritischen Streifen definierte und in einem Gebiet nullstellenfreie holomorphe Funktion wird beliebig genau approximiert
Die Zeta-Funktion verhält sich im kritischen Streifen sehr chaotisch. Hier ein Ausschnitt für

Universalitätssatz von Woronin[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Nach dem Universalitätssatz von Woronin ist die Riemannsche -Funktion imstande, jede beliebige (holomorphe) Funktion in einer nullstellenfreien Kreisscheibe mit Radius 1/4 beliebig genau zu approximieren.

Als anschaulichen Vergleich stelle man sich dafür vor, dass es für jede (holomorphe) Funktion eine Art „Landkarte“ gibt, die Höhen und Tiefen sowie Himmelsrichtung der Funktionswerte in der komplexen Ebene darstellt. Der Universalitätssatz besagt nun, dass man, wenn man die Landkarte der Zeta-Funktion in einem bestimmten unendlichen Bereich scannen würde, früher oder später auf Gebiete stieße, die Ausschnitten der Landkarten anderer Funktionen, also mitsamt allen darin eingetragenen „Bergen“ und „Tälern“, sehr ähneln – ja, sogar beliebig genau ähneln. Als einzige Voraussetzung gelte hierbei jedoch, dass auf dem Kartenausschnitt der fremden Funktion nie der Wert 0 eingetragen sei.

Formal ausgedrückt: Sei eine kompakte Teilmenge des Streifens mit zusammenhängendem Komplement.

Sei nun eine stetige Funktion, die holomorph im Innern von sei und für kein verschwinde. Es existiert dann für jedes ein , sodass

für alle . Zu beachten ist hierbei, dass es sich im Allgemeinen nur um eine Approximation handelt, also gewährleistet werden muss. Hätte man für eine Teilmenge mit Häufungspunkt im Inneren von , so folgte mit dem Identitätssatz für holomorphe Funktionen (wegen Eindeutigkeit der stetigen Fortsetzung) bereits auf ganz .

Es gilt sogar noch mehr: Die untere asymptotische Dichte aller , die eine Approximation erfüllen, ist positiv, wie die Ungleichung

beweist. Hier ist das Standard-Lebesgue-Maß auf den reellen Zahlen.[93] Für sehr kleine Kreisscheiben können sogar effektive Schranken angegeben werden, falls bestimmte Voraussetzungen erfüllt. So existiert für alle in analytischen mit und eine Zahl , sodass

Ein ähnliches Resultat findet sich auch für die untere asymptotische Dichte.[94] Es ist zu beachten, dass in dieser Version die modifizierte Funktion universell ist.

Diese erstaunliche Eigenschaft zieht einige Konsequenzen nach sich. Zum Beispiel lässt sich zeigen, dass die Riemannsche Zeta-Funktion keiner algebraischen Differentialgleichung gehorcht. Genauer gesagt kann man zeigen: Sind eine stetige Funktion, Konstanten, natürliche Zahlen mit , sodass

so folgt bereits .[95] Ist zudem mit beliebig gewählt, folgt, dass die Menge

stets dicht in liegt.[96]

Approximate functional equation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Obwohl die Dirichlet-Reihe im kritischen Streifen nicht mehr konvergiert, können ihre Partialsummen zu einer guten Approximation der Zeta-Funktionen führen. Eine sehr einfache Formel dieses Typs, gültig für , ist beispielsweise

Für feste Werte wird der Fehler für hinreichend große Werte klein. Jedoch ist ein schwerer Nachteil für große Imaginärteile. Um dem entgegenzuwirken, sei nun fest. Unter Zuhilfenahme der van der Corputschen Summenformel kann für das Restglied weiter verbessert werden zu

indem der Summationsbereich an das Argument angepasst wird. Damit lässt sich die Zeta-Funktion in durch die ersten Glieder der Dirichlet-Reihe annähern. Im Bereich folgt mittels der Funktionalgleichung die folgende Darstellung durch eine Dirichlet-Reihe:

Auch hier ist eine entsprechende Annäherung im kritischen Streifen zu erwarten und kombiniert man beide Ergebnisse, so ergibt sich mit und , die Formel

die auch Approximate functional equation genannt wird.[97] Diese wurde 1921 von Hardy und Littlewood entdeckt, jedoch war sie, wie sich später herausstellte, bereits Bernhard Riemann bekannt.[98] Sie ist ein mächtiges Werkzeug zur Untersuchung der Zeta-Funktion im kritischen Streifen. Unter anderem folgt über relativ mühelos

Vertikales Wachstum und die Lindelöfsche Vermutung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ernst Lindelöf

Für alle reellen ist die Größe

endlich. Sie ist ein Maß dafür, wie schnell die Riemannsche Zeta-Funktion entlang vertikaler Geraden anwächst. Für reelle Zahlen außerhalb des kritischen Streifens lässt sich sehr leicht berechnen. Für gilt offensichtlich : Da für alle Werte mit nach trivialer Abschätzung der Summe mittels absoluter Konvergenz folgt, haben wir . Über die Möbius-Funktion folgt andererseits die untere Schranke , weshalb gleichzeitig und damit bewiesen ist. Zusammen mit diesem einfachen Resultat folgt über die Stirlingsche Formel und die Funktionalgleichung der Zeta-Funktion ziemlich direkt für alle . Ebenfalls gesichert sind die Randwerte sowie .

Der Verlauf der (Lindelöfschen) -Funktion ist für und geklärt. Vermutet wird im reellen kritischen Streifen der rote Verlauf. Man weiß, dass dort kleiner ist als der blaue Verlauf.

Die genauen Werte von für kritische Werte sind bis heute mysteriös. Schuld daran ist, dass Größencharakterisierungen dieser Genauigkeit ohne absolute Konvergenz sehr schwierig und mitunter unmöglich sind. Es wird vermutet, dass die Zeta-Funktion in den vertikalen Bereichen zu weiterhin langsam anwächst, also gilt, jedoch nicht mehr zwangsläufig durch eine Konstante beschränkt ist. Dies ist äquivalent zu für alle . Diese Aussage wird auch als Lindelöfsche Vermutung (nach Ernst Leonard Lindelöf) bezeichnet und ist bis heute unbewiesen.

Nichtsdestotrotz kann man Abschätzungen für das Verhalten von angeben. Über die Approximate functional equation folgert man beispielsweise

Man kann außerdem zeigen, dass konvex ist und dass die folgende Abschätzung nach unten gilt: