Teilerfunktion

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Die ersten Werte von σ0 ... σ4
n = σ0(n) σ1(n) σ2(n) σ3(n) σ4(n)
1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 3 5 9 17
3 3 2 4 10 28 82
4 22 3 7 21 73 273
5 5 2 6 26 126 626
6 2‧3 4 12 50 252 1394
7 7 2 8 50 344 2402
8 23 4 15 85 585 4369
9 32 3 13 91 757 6643
10 2‧5 4 18 130 1134 10642
11 11 2 12 122 1332 14642
12 22‧3 6 28 210 2044 22386
13 13 2 14 170 2198 28562
14 2‧7 4 24 250 3096 40834
15 3‧5 4 24 260 3528 51332
16 24 5 31 341 4681 69905
17 17 2 18 290 4914 83522
18 2‧32 6 39 455 6813 112931
19 19 2 20 362 6860 130322
20 22‧5 6 42 546 9198 170898
21 3‧7 4 32 500 9632 196964
22 2‧11 4 36 610 11988 248914
23 23 2 24 530 12168 279842
24 23‧3 8 60 850 16380 358258
25 52 3 31 651 15751 391251
26 2‧13 4 42 850 19782 485554
27 33 4 40 820 20440 538084
28 22‧7 6 56 1050 25112 655746
29 29 2 30 842 24390 707282
30 2‧3‧5 8 72 1300 31752 872644

In der Zahlentheorie ist die Teilerfunktion die Funktion, die einer natürlichen Zahl die Summe ihrer Teiler, erhoben zu einer gewissen Potenz, zuordnet.[1] Sie wird üblicherweise mit dem griechischen Buchstaben bezeichnet.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für eine natürliche Zahl ist definiert:

.

Hierbei erstreckt sich die Summe über alle positiven Teiler von , einschließlich und . Beispielsweise ist demnach

Spezialisierungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Werte und durchschnittliche Größenordnung von σ1
Werte und durchschnittliche Größenordnung von σ2
Werte und durchschnittliche Größenordnung von σ3
  • ist multiplikativ, das heißt, für teilerfremde gilt: .
  • Hat die Primfaktorzerlegung , so ist
    • ,
    • für , und für   gilt: .
  • Die durchschnittliche Größenordnung von für ist , mit der Riemannschen Zetafunktion .[2]
  • Die durchschnittliche Größenordnung der Teileranzahlfunktion ist . Genauer gilt mit der Eulerschen Konstanten
.

Reihenformeln[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zwei Dirichletreihen mit der Teilerfunktion sind: (S. 285, Satz 291)[3]

  für 

was speziell für d(n) = σ0(n) ergibt:

 für  

und (S. 292, Satz 305)

Eine Lambert-Reihe mit der Teilerfunktion ist:

für beliebiges komplexes |q| ≤ 1 und a.

Die Teilerfunktion lässt sich für mittels Ramanujansummen auch explizit als Reihe darstellen:[4]

Die Berechnung der ersten Werte von zeigt das Schwanken um den "Mittelwert" :

Quellen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Eric W. Weisstein: Divisor Function. In: MathWorld (englisch).
  2. E. Krätzel: Zahlentheorie. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1981, S. 134.
  3. Godfrey Harold Hardy, E. M. Wright: Einführung in die Zahlentheorie. R. Oldenbourg, München 1958, S. 285, 292.
  4. E. Krätzel: Zahlentheorie. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1981, S. 130.