Tschebyschow-Funktion

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Die Tschebyschow-Funktion, etwa im Englischen auch Chebyshev-Funktion oder ähnlich bezeichnet, ist eine von zwei zahlentheoretischen Funktionen, die nach dem russischen Mathematiker Pafnuti Lwowitsch Tschebyschow benannt sind. Sie erhalten durch ihren Zusammenhang mit der Primzahlzählfunktion und dem Primzahlsatz und damit der Riemannschen Zeta-Funktion an Bedeutung.

Die erste Tschebyschow-Funktion, üblicherweise mit oder bezeichnet, ist die Summe der Logarithmen der Primzahlen bis :

Die zweite Tschebyschow-Funktion ist die summierte Funktion der Mangoldt-Funktion:

wobei die Mangoldt-Funktion definiert ist als

Grundlegende Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Erstere Tschebyschow-Funktion lässt sich auch darstellen als

wobei die Primfakultät bezeichnet.

Die zweite lässt sich auch schreiben als der Logarithmus des kleinsten gemeinsamen Vielfachen von 1 bis :

Nach Erhard Schmidt gibt es für jedes positive reelle Werte für , sodass

und

unendlich oft.

Asymptotik[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es gilt

d.h.

Ebenso gilt

Pierre Dusart fand eine Reihe von Schranken für die beiden Funktionen:[1]

Verwandtschaft der beiden Funktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es gilt

wobei ganz und dann durch und eindeutig bestimmt ist.

Ein direkterer Zusammenhang entsteht durch

Man bemerke, dass für

Die „exakte Formel“[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

1895 bewies Hans Karl Friedrich von Mangoldt folgende Formel, die im Englischen auch als "explicit formula" bezeichnet wird:[2]

Dabei ist und nicht prim oder eine Primzahlpotenz und die Summe läuft über alle nichttrivialen Nullstellen der Riemannschen Zeta-Funktion .

Referenzen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Pierre Dusart: Sharper bounds for ψ, θ, π, pk. In: Rapport de recherche n° 1998-06, Université de Limoges. PDF
  2. Eric W. Weisstein: Explicit Formula. In: MathWorld (englisch).

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

 Wikiversity: Die Abschätzungen von Tschebyschow – Kursmaterialien, Forschungsprojekte und wissenschaftlicher Austausch