Kleinstes gemeinsames Vielfaches

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Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) ist ein mathematischer Begriff. Sein Pendant ist der größte gemeinsame Teiler (ggT). Beide spielen unter anderem in der Bruchrechnung und der Zahlentheorie eine Rolle.

Das kleinste gemeinsame Vielfache zweier ganzer Zahlen und ist die kleinste positive natürliche Zahl, die sowohl Vielfaches von als auch Vielfaches von ist. Zusätzlich wird für den Fall oder das kgV definiert als .

Die englische Bezeichnung für das kleinste gemeinsame Vielfache ist least common multiple, oder kurz lcm und findet in mathematischen Texten ebenfalls Verwendung.

Berechnung des kgV von natürlichen Zahlen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Beispiel zur kgV-Berechnung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Die positiven Vielfachen von 12 sind: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, …
  • Die positiven Vielfachen von 18 sind: 18, 36, 54, 72, 90, 108, …
  • Die gemeinsamen positiven Vielfachen von 12 und 18 sind also 36, 72, 108, …
  • und das kleinste von diesen ist 36; in Zeichen:

Berechnung über die Primfaktorzerlegung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

ggT und kgV kann man über die Primfaktorzerlegung der beiden gegebenen Zahlen bestimmen. Beispiel:

Für das kgV nimmt man die Primfaktoren, die in mindestens einer der beiden Zerlegungen vorkommen, und als zugehörigen Exponenten den jeweils größeren der Ausgangsexponenten:

Berechnung über den größten gemeinsamen Teiler (ggT)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es gilt die folgende Formel:

Sind beide Zahlen positiv oder negativ, so entfallen die Betragsstriche. Damit lässt sich das berechnen, falls der (z. B. mit dem euklidischen Algorithmus) bereits bestimmt wurde (umgekehrt kann man mit dieser Formel auch den aus dem berechnen).

Am einfachsten ist es meist, nach der Bestimmung des eine der beiden Zahlen durch den zu teilen und mit der anderen Zahl zu multiplizieren. Der Betrag des Ergebnisses ist das gesuchte . Beispiel:

Der von 24 und 18 ist 6 (zur Berechnung des mittels euklidischem Algorithmus siehe den Artikel zum ggT). Das ist folglich (da beide Zahlen positiv sind, entfällt der Betrag)

.

Die Formel zu Beginn des Abschnitts ist übrigens leicht zu verstehen, da sich das Produkt der Zahlen auch durch den wie folgt ausdrücken lässt:

.

Nun ist das mit dem über die Faktoren und bestimmbar, da diese teilerfremd sind und somit ihr Produkt mit dem das kleinste gemeinsame Vielfache ergibt (der Betrag ist notwendig, falls eine der beiden Zahlen negativ ist):

Multipliziert man beide Seiten mit dem und nutzt die Beziehung der vorherigen Gleichung, so ergibt sich die erste Gleichung des Abschnitts.

Das kgV von mehreren Zahlen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Man verwendet alle Primfaktoren, die in mindestens einer der Zahlen vorkommen, mit der jeweils höchsten vorkommenden Potenz, zum Beispiel:

also:

Man könnte auch zunächst berechnen und danach denn als eine zweistellige Verknüpfung auf den ganzen Zahlen ist das assoziativ:

Dies rechtfertigt die Schreibweise

Anwendungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bruchrechnung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Angenommen, man möchte die Brüche und addieren. Dazu müssen diese durch Erweitern auf einen gemeinsamen Nenner gebracht werden. Man könnte mit multiplizieren, was ergibt. Der kleinstmögliche gemeinsame Nenner (der sog. Hauptnenner) ist aber . Die beiden Brüche werden auf diesen Nenner erweitert und dann addiert:

Das kgV in Ringen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Analog zum ist das in Ringen definiert: Ein Ringelement heißt kleinstes gemeinsames Vielfaches zweier Ringelemente und , wenn ein gemeinsames Vielfaches von und ist und seinerseits jedes andere gemeinsame Vielfache von und ein Vielfaches von ist.

Formal schreibt man diese Definition für einen Ring so:

Diese allgemeinere Definition lässt sich auf mehrere Zahlen ausweiten (sogar auf unendlich viele).

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das kgV von Polynomen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das lässt sich nicht nur für natürliche (und ganze) Zahlen definieren. Man kann es z. B. auch für Polynome bilden. Statt der Primfaktorzerlegung nimmt man hier die Zerlegung in irreduzible Faktoren:

Dann ist

.

Die Division mit Rest, die auch für Polynome existiert, erleichtert das Auffinden von gemeinsamen Teilern.

Gaußscher Zahlenring[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im gaußschen Zahlenring ist der größte gemeinsame Teiler von und gerade , denn und . Genau genommen ist ein größter gemeinsamer Teiler, da alle zu dieser Zahl assoziierten Zahlen ebenfalls größte gemeinsame Teiler sind.

Nicht in jedem Ring existiert für zwei Elemente ein oder ein Wenn sie einen haben, können sie mehrere haben. Ist der Ring ein Integritätsring, dann sind alle zueinander assoziiert, in Zeichen .

Ist ein Integritätsring und haben die Elemente und ein , dann haben sie auch einen , und es gilt die Gleichung

Ist jedoch nur bekannt, dass ein von und existiert, dann muss nicht unbedingt auch ein existieren.

Integritätsring[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im Integritätsring haben die Elemente

keinen : Die Elemente und sind zwei maximale gemeinsame Teiler, denn beide haben den gleichen Betrag. Jedoch sind diese zwei Elemente nicht zueinander assoziiert, also gibt es keinen von und .

Die genannten Elemente und haben aber ihrerseits einen ggT, nämlich . Dagegen haben sie kein , denn wenn ein wäre, dann folgt aus der „ggT-kgV-Gleichung“, dass assoziiert zu sein muss. Das gemeinsame Vielfache ist jedoch kein Vielfaches von , also ist kein und die beiden Elemente haben gar kein .

Bemerkungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Integritätsring, in dem je zwei Elemente einen besitzen, heißt ggT-Ring oder ggT-Bereich. In einem ggT-Ring haben je zwei Elemente auch ein .

In einem faktoriellen Ring haben je zwei Elemente einen .

In einem euklidischen Ring lässt sich der zweier Elemente mit dem euklidischen Algorithmus bestimmen.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]