Wölbung (Statistik)

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Die Wölbung, Kyrtosis, Kurtosis oder auch Kurtose (griechisch κύρτωσις kýrtōsis „Krümmen“, „Wölben“) ist eine Maßzahl für die Steilheit bzw. „Spitzigkeit“ einer (eingipfligen) Wahrscheinlichkeitsfunktion, statistischen Dichtefunktion oder Häufigkeitsverteilung.[1] Die Wölbung ist das zentrale Moment 4. Ordnung. Verteilungen mit geringer Wölbung streuen relativ gleichmäßig; bei Verteilungen mit hoher Wölbung resultiert die Streuung mehr aus extremen, aber seltenen Ereignissen.

Der Exzess gibt die Differenz der Wölbung der betrachteten Funktion zur Wölbung der Dichtefunktion einer normalverteilten Zufallsgröße an.[1]

Wölbung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Empirische Wölbung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zur Berechnung der Wölbung einer empirischen Häufigkeitsverteilung wird die folgende Formel benutzt:

Damit die Wölbung unabhängig von der Maßeinheit der Variablen ist, werden die Beobachtungswerte mit Hilfe des arithmetischen Mittelwertes und der Standardabweichung

standardisiert. Durch die Standardisierung gilt

Da die Wölbung nur nicht-negative Werte annehmen kann, deutet ein kleiner Wert darauf, dass die standardisierten Beobachtungen nahe dem Mittelwert stark konzentriert sind (bei einer Varianz von 1), d.h. die Verteilung ist flachgipflig.

Wölbung einer Zufallsvariable[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Analog zur empirischen Wölbung einer Häufigkeitsverteilung ist die Wölbung bzw. Kurtosis der Dichtefunktion bzw. Wahrscheinlichkeitsfunktion einer Zufallsvariablen definiert als ihr auf die vierte Potenz der Standardabweichung normiertes viertes zentrales Moment .

mit dem Erwartungswert .

Als Darstellung mittels der Kumulanten ergibt sich

Schätzung der Wölbung einer Grundgesamtheit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zur Schätzung der unbekannten Wölbung einer Grundgesamtheit mittels Stichprobendaten ( der Stichprobenumfang) müssen der Erwartungswert und die Varianz aus der Stichprobe geschätzt werden, d. h. die theoretischen durch die empirischen Momente ersetzt werden:

mit dem Stichprobenmittel und der Stichprobenstandardabweichung .

Exzess[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Steilgipflig.svg
Flachgipflig.svg

Um das Ausmaß der Wölbung besser einschätzen zu können, wird sie mit der Wölbung einer Normalverteilung verglichen, für die gilt. Der Exzess (auch: Überkurtosis) ist daher definiert als

Mittels der Kumulanten ergibt sich

Nicht selten wird die Wölbung fälschlicherweise als Exzess bezeichnet.

Arten von Exzess[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Verteilungen werden entsprechend ihres Exzesses eingeteilt in:

  • : normalgipflig oder mesokurtisch. Die Normalverteilung hat die Kurtosis und entsprechend den Exzess .
  • : steilgipflig, supergaußförmig oder leptokurtisch. Es handelt sich hierbei um im Vergleich zur Normalverteilung spitzere Verteilungen, d.h. Verteilungen mit starken Peaks.
  • : flachgipflig, subgaußförmig oder platykurtisch. Man spricht von einer im Vergleich zur Normalverteilung abgeflachten Verteilung.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. a b Bernd Rönz, Hans G. Strohe (1994), Lexikon Statistik, Gabler Verlag, S. 115