Wahrscheinlichkeitsvektor

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Ein Wahrscheinlichkeitsvektor oder stochastischer Vektor ist ein Vektor mit reellen und nichtnegativen Einträgen, deren Summe eins ergibt. Wahrscheinlichkeitsvektoren werden sowohl in der linearen Algebra als auch in der Stochastik verwendet. Wahrscheinlichkeitsvektoren sollten nicht mit Zufallsvektoren verwechselt werden, diese sind Zufallsvariablen mit Werten in .

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Vektor heißt Wahrscheinlichkeitsvektor oder stochastischer Vektor, wenn für seine Einträge

für alle und

gilt. In einem Wahrscheinlichkeitsvektor sind demnach alle Einträge größer gleich null und die Summe der Einträge ergibt eins.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Ein Wahrscheinlichkeitsvektor des ist beispielsweise .
  • Jeder Standardbasisvektor des ist ein Wahrscheinlichkeitsvektor.
  • Bezeichnet den Einsvektor, dann ist ein Wahrscheinlichkeitsvektor.
  • Allgemein gilt: Ist eine Zufallsvariable, die nur endlich viele Werte annimmt, dann ist mit den Wahrscheinlichkeiten ein Wahrscheinlichkeitsvektor. Beispielsweise repräsentiert auf diese Weise eine diskrete Gleichverteilung.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Ist eine spaltenstochastische Matrix und ein Wahrscheinlichkeitsvektor, so ist wieder ein stochastischer Vektor.
  • Die Menge der Wahrscheinlichkeitsvektoren der Länge ist abgeschlossen und konvex; sie ist also ein Polyeder im -dimensionalen Raum, nämlich die konvexe Hülle der Standardbasisvektoren.
  • Für jeden Wahrscheinlichkeitsvektor ist die Summennorm .

Verwendung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In der Stochastik werden Wahrscheinlichkeitsvektoren genutzt, um die Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Systems in bestimmten Zuständen zu beschreiben. Hat das System verschiedene Zustände, so ist die -te Komponente eines Wahrscheinlichkeitsvektors genau die Wahrscheinlichkeit, dass sich das System im Zustand befindet. In der Stochastik werden Wahrscheinlichkeitsvektoren im Gegensatz zur linearen Algebra oftmals als Zeilenvektoren definiert und meist mit dem Symbol bezeichnet.

Des Weiteren werden sie auch zur Definition von stochastischen Matrizen genutzt. Bei einer zeilenstochastischen Matrix sind die Zeilenvektoren stochastisch, bei einer spaltenstochastischen Matrix entsprechend die Spaltenvektoren. Eine Matrix, bei der sowohl Zeilen- als auch Spaltenvektoren Wahrscheinlichkeitsvektoren sind, wird doppelt-stochastische Matrix genannt.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Peter Knabner, Wolf Barth: Lineare Algebra. Grundlagen und Anwendungen (= Springer-Lehrbuch). 1. Auflage. Springer, Berlin 2012, ISBN 978-3-642-32185-6 (996 Seiten).